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中考数学二轮复习第14讲 圆（易错点梳理+微练习）（教师版）
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第14讲 圆易错点梳理
易错点梳理
易错点01 在弧、弦、圆心角之间的关系中忽略“在同圆或等圆中”这一前提条件
只有“在同圆或等圆中”，弧、弦、圆心角之间的关系才能成立。
易错点02 忽视弦所对的圆周角的多种可能而漏解
忽视弦所对的圆周角的多种可能而漏解在同一个圆中，一条弦对着两种圆周角，这两种圆周角互补。
易错点03 忽视弦的位置的不同情况而漏解
在同一个圆中，求两条平行弦的距离时，两条弦可能在圆心的同侧，也可能在圆心的两侧，解题时应分类讨论。
易错点04 混淆三角形的外心和内心
三角形的内心是指三角形内切圆的圆心，是三角形3条角平分线的交点；三角形的外心是指三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点.。
例题分析
考向01 与圆有关的性质
例题1：（2021·山东临清·九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．80° B．75° C．70° D．65°
【答案】C
【思路分析】连接BC，证明∠ACB＝90°，∠DCB＝20°，可得结论．
【解析】解：连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠DCB＝∠DEB＝20°，
∴∠ACD＝90°﹣∠DCB＝70°，
故选：C．
【点拨】本题主要考查圆周角定理，准确分析计算是解题的关键．
例题2：（2021·山东陵城·九年级期中）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则△OFC的面积是（ ）
A．40cm2 B．20cm2 C．10cm2 D．5cm2
【答案】D
【思路分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，从而得到OC的长，即可求出△BOC的面积，再根据三线合一定理得到BF=CF，则，由此求解即可．
【解析】解：连接OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．
∴，
在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2
解得：OE=3cm，
∴，
∴，
∵OB=OC，OF⊥BC，
∴BF=CF，
∴
∴，
故选D．
【点拨】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，三线合一定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．
考向02 与圆有关的位置关系
例题3：下列说法：①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；③等弧所对的圆心角相等；④过三点可以画一个圆；⑤圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等．正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【思路分析】由垂径定理的推论可判断①，由圆心角，弧，弦之间的关系可判断②③，由不在同一直线上的三点确定一个圆可判断④，由圆的对称轴是直线可判断⑤，由三角形的外心的性质可判断⑥，从而可得答案.
【解析】解：当被平分的这条弦是直径时，平分弦的直径，不平分这条弦所对的弧；故①不符合题意；
在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也不一定相等；因为圆当中任意一条弦都与两条弧相对，故②不符合题意；等弧所对的圆心角相等；正确，故③符合题意；过不在同一直线上的三点可以画一个圆；故④不符合题意；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；故⑤不符合题意；三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．故⑥不符合题意；故选A
【点拨】本题考查的是圆的基本性质，垂径定理的推论，圆心角，弧，弦之间的关系，圆的确定，三角形的外心的性质，掌握以上基础知识是解题的关键.
例题4：（2021·山东·德州市第九中学九年级期中）如图，在Rt△AOB中，OB＝4，∠A＝30°，⊙O的半径为3，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路分析】连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，根据切线的性质得到OQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ＝，根据垂线段最短得到当OP⊥AB时，OP最小，根据30度角直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解析】连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
∴PQ＝＝，
当OP最小时，线段PQ的长度最小，
当OP⊥AB时，OP最小，
在Rt△AOB中，∠A＝30°，，
∴，
由勾股定理得：
在Rt△AOP′中，∠A＝30°，
∴OA=2OP′＝12，
∴OP′＝6，
∴线段PQ长度的最小值＝＝3，
故选：C．
【点拨】本题考查的是切线的性质、勾股定理、含30度角直角三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
考向03 正多边形与圆
例题5：（2021·江苏宿迁·九年级期中）如图，在正六边形中，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路分析】由正六边形的性质得出∠B=∠BAF=∠AFE=120°，BC=AB=AF=FE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠BAC=∠BCA=30°，∠FAE=∠FEA=30°，求出∠CAE=30°．
【解析】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠B=∠BAF=∠AFE=120°，BC=AB=AF=FE，
∴∠BAC=∠BCA=30°，
∵AB∥CF，
∴∠CAB=∠ACF=30°．
故选：A．
【点拨】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握正六边形的性质，求出∠B、∠BAF和∠F的度数是解题的关键．
例题6：（2021·浙江·杭州市采荷中学九年级期中）下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）
A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．存在一个正多边形，它的外角和为720°
C．任何正多边形都有一个外接圆
D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形
【答案】C
【思路分析】根据正多边形、轴对称、中心对称的性质分析，即可判断选项A；根据多边形外角和的性质，即可判断选项B；根据正多边形与圆的性质分析，即可判断选项C；根据正多边形和外角的性质分析，即可判断选项D，从而得到答案．
【解析】正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不正确；
任何多边形的外角和都为360°，故选项B不正确；
任何正多边形都有一个外接圆，故选项C正确；
等边三角形的每个外角都是对应每个内角两倍，故选项D不正确；
故选：C．
【点拨】本题考查了正多边形、轴对称、中心对称、正多边形与圆、外角的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形、轴对称、中心对称、正多边形与圆、外角的性质，从而完成求解．
考向04 弧长与扇形面积的计算
例题7：（2021·浙江·杭州市天杭实验学校九年级期中）如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为弧AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10π B．9π C．8π D．6π
【答案】A
【思路分析】连接OC交DE于F，证得四边形ODCE是矩形，得到△ODE≌△ECO≌△DOC≌△ECD，推出，∠COE=∠CDE=36°，再利用扇形面积公式计算．
【解析】解：如图，连接OC交DE于F，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO=∠CEO=∠AOB＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴△ODE≌△ECO≌△DOC≌△ECD，
∴，∠COE=∠CDE=36°，
∴阴影部分的面积=，
故选：A．
【点拨】此题考查了矩形的判定及性质，扇形面积的计算公式，熟记矩形的判定及性质定理是解题的关键．
例题8：（2021·江苏宿迁·九年级期中）如图，正方形内接于⊙O，线段在对角线上运动．若⊙O的面积为，，则△AMN周长的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【思路分析】由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．
【解析】解：连接AC，
⊙O的面积为6π，则圆的半径为，则BD＝2＝AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，BD⊥AC，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
∴CA′⊥AC，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，
理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，
则A′A＝＝5，
则△AMN的周长的最小值为5+1＝6，
故选：C．
【点拨】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键．
微练习
一、单选题
1．（2021·天津滨海新·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，连接AC，CD，AD，若，则的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．75°
【答案】A
【解析】解：连结BC，
∵AB是⊙O的直径，
，
∵∠ABC=∠ADC=75°，
，
故选A．
2．（2021·浙江省宁波市实验学校九年级期中）如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为斜边向外作等腰直角三角形△ACD，△BCE，弧AC和弧BC的中点分别是M，N．连接DM，EN，若C在半圆上由点A向B移动的过程中，DM：EN的值的变化情况是（ ）
A．变大 B．变小
C．先变大再变小 D．保持不变
【答案】D
【解析】解：如图，连接OD，OE，OC．
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ADC＝90°，DA＝DC，
∵OA＝OC，
∴OD垂直平分线段AC，
∴点M在线段OD上，
∴∠ODC＝45°，
同法点N在OE上，∠OED＝45°，
∴∠DOE＝90°，
∵∠ODE＝∠OED，
∴OD＝OE，
∵OM＝ON，
∴DM＝EN，
∴DM：EN的值不变．
故选：D．
3．（2021·广东·广州市第七中学九年级期中）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，△ABC是等腰直角三角形，⊙D是它的外接圆，⊙E是它的内切圆，连接AE、BE，
∵等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，
∴AB=4，
∴在Rt△ABC中，，
∵⊙E是内切圆，
∴EF=EG=ED，
∴
，
∵，
∴，
即，
∴．
故选：B．
4．（2021·江苏玄武·九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝62°，E是BC的中点，连接OE并延长交⊙O于点D，连接BD，则∠D的度数为（ ）
A．58° B．59° C．60° D．61°
【答案】B
【解析】解：连接CD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，∠A＝62°，
∴∠CDB+∠A＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣∠A＝118°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝∠BDC＝59°，
故选：B．
5．（2021·江西兴国·九年级期末）如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2020时，顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，﹣2） D．（2，2）
【答案】B
【解析】解：连接OA，
∠AOH=30°，AH=2，
∴OH=，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴点A的坐标为（-2，2），点F的坐标为（2，2），点E的坐标为（4，0），点D的坐标为（2，-2），点C的坐标为（-2，-2），点B的坐标为（-4，0），
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原位置，
2020÷6=336…4，
∴当n=2020时，顶点A与顶点C重合，
∴此时顶点A的坐标为（-2，-2），
故选：B．
6．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在⊙O上任取一点A，连接AO并延长交⊙O于点B；②以点B为圆心，BO为半径作圆弧分别交⊙O于C，D两点；③连接CO，DO并延长分别交⊙O于点E，F；④顺次连接BC，CF，FA，AE，ED，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，EF，交于点G，则下列结论错误的是 ．
A．△AOE的内心与外心都是点G B．∠FGA＝∠FOA
C．点G是线段EF的三等分点 D．EF＝AF
【答案】D
【解析】解：如图，
在正六边形AEDBCF中，∠AOF=∠AOE=∠EOD=60°，
∵OF=OA=OE=OD，
∴△AOF，△AOE，△EOD都是等边三角形，
∴AF=AE=OE=OF，OA=AE=ED=OD，
∴四边形AEOF，四边形AODE都是菱形，
∴AD⊥OE，EF⊥OA，
∴△AOE的内心与外心都是点G，故A正确，
∵∠EAF=120°，∠EAD=30°，
∴∠FAD=90°，
∵∠AFE=30°，
∴∠AGF=∠AOF=60°，故B正确，
∵∠GAE=∠GEA=30°，
∴GA=GE，
∵FG=2AG，
∴FG=2GE，
∴点G是线段EF的三等分点，故C正确，
∵AF=AE，∠FAE=120°，
∴EF=AF，故D错误，
故答案为：D．
7．（2021·山东巨野·九年级期中）如图，等边△ABC及其内切圆与外接圆构成的图形中，若外接圆的半径为3，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵△ABC是等边三角形，大⊙O是△ABC的外切圆，
∴AO=OB=OC，
∵小⊙O是△ABC的内切圆，
∴OM=ON=OP，
∴∠AOC=120°，∠AON=∠BON=∠AOP=∠CON=60°，BN=CM=AP=CP，
∴S阴影=S扇形AOC==3π ，
故选：B．
8．（2021·河北古冶·九年级期中）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】D
【解析】解：如图，连接，，．．
垂直平分，垂直平分，由“垂径定理的逆定理”可知，和都是的直径，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，故（Ⅰ）正确，
观察图形可知当，
，
观察图形可知，这样的点不唯一（如下图所示），故（Ⅱ）错误，
故选：D．
二、填空题
9．（2021·福建福清·九年级期中）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，下列四个结论正确的有_____．（填序号）
①点B与点C的距离是3；②CE＝BE；③CE长的最大值2.4；④BE的长的最小值是2﹣2．
【答案】①③
【解析】解：连接BC，取AC的中点T，连接ET，BT．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝3，故①正确，
当点D与C重合时，BE＞CE，故②错误，
当点D与B重合时，CE的值最大，最大值＝＝＝2.4，故③正确，
∵EC⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∵CT＝AT，
∴ET＝AC＝2，
∵BT＝＝＝，
∴BE≥BT﹣ET＝﹣2，
∴BE的最小值为﹣2．故④错误，
故答案为：①③．
10．（2021·江苏宿迁·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，，，点B、C在⊙O上，边、分别交⊙O于D、E两点，点B是弧的中点，求的度数．
【答案】
【解析】解：连结.
∵，
∴
∵点是弧的中点
∴弧=弧
∴
∵
∴
∴
又∵(同弧所对的圆周角相等）
∴
11．（2021·江苏灌南·九年级期中）在RtABC中，∠C＝90°，AB＝5，周长为12，那么△ABC内切圆半径为_____．
【答案】1
【解析】解：设切点分别为D、F、E，连结OD，OF，OE
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AB+BC+AC=12，
∴BC+AC=12-AB=12-5=7，
∵AC,BC AB为圆的切线，
∴AF=AE，BD=BE，CD=CF，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴CD+CF=BC+AC-AB=7-5=2，
∴CD=1，
∵∠C=90°，∠ODC=∠OFC=90°，
∴四边形CDOF为矩形，
∵CD=CF，
∴四边形CDOF为正方形，
∴△ABC内切圆半径r=CD=1．
故答案为1．
12．（2021·江苏新吴·九年级期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值为________．
【答案】4
【解析】解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，
理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，
则A′A3，
则△AMN的周长的最小值为3+1＝4，
故答案为：4．
13．（2021·山东青岛·中考真题）如图，正方形内接于⊙O，，分别与⊙O相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】
【解析】解：连接AC，OD，
∵四边形BCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，
∵PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，
∴∠PAO=∠PDO=90°，
∴四边形AODP是矩形，
∵OA=OD，
∴矩形AODP是正方形，
∴∠P=90°，AP=AO，AC∥PE，
∴∠E=∠ACB=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴AC=2AO=2，DE=CD=2，
∴AP=PD=AO=，
∴PE=3，
∴图中阴影部分的面积
故答案为：5-π．
14．（2021·江苏新吴·九年级期中）如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】解：连接AC，延长AP，交BC于E，
在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，
∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
在△APB和△APC中，
，
∴△APB≌△APC（SSS），
∴∠PAB＝∠PAC，
∴AE⊥BC，BE＝CE＝1，
∵△BPC为等腰直角三角形，
∴，
在Rt△ABE中，AE＝AB＝，
∴AP＝﹣1，
∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝，
故答案为：．
三、解答题
15．如图，是的直径，点C在⊙O上，D为⊙O外一点，且，．
（1）求证：直线为⊙O的切线．
（2）若DC=，AD=2，求⊙P的半径．
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明过程见解析；（2）4；（3）
【解析】（1）证明：如图1，
连接PC，则∠APC=2∠B，
∵2∠B+∠DAB=180°，
∴∠APC+∠DAB=180°，
∴AD∥PC，
∵∠ADC=90°，
∴∠DCP=90°，
∴PC⊥DC，
故直线CD为⊙P的切线；
（2）如图2，连接AC、PC，
∵DC=，AD=2，∠ADC=90°，
∴AC=
∴∠CAD=60°，
由（1）得AD∥PC，
∴∠CAD=∠ACP=60°，
又PA=PC，
∴△APC是等边三角形，
∴PC=PA=AC=4，
故⊙P的半径是4；
（3）∵S梯形ADCP= （AD+PC）×CD=（2+4）×=，S扇形APC== ，
∴S阴影部分=S梯形ADCP-S扇形APC=，
故阴影部分的面积为．
16．（2021·浙江·杭州市天杭实验学校九年级期中）图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D＝108°，连结AC．
（1）求∠BAC的度数；
（2）若AB＝8，且∠DCA＝27°，求DC的长度；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】（1）∠BAC的度数为18°；（2）DC的长度为；（3）．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=108°，
∴∠B=180°－∠ADC=180°－108°=72°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°－72°=18°；
（2）如图，连接OC，OD，
∵∠ADC=108°，∠DCA=27°，
∴∠DAC=180°－108°－27°=45°，
∴∠DOC=2∠DAC=90°，
∵AB=8，
∴OD=OC=OA=4，
∴在中，；
（3）∵∠DOC=90°，OD=4，
∴S扇形OCD，
又∵，
∴S阴影=S扇形OCD－S△OCD=．
17．（2021·湖北新洲·九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，CD⊥AE交直线AE于D点．
（1）求证：OC//AD；
（2）若DE＝1，CD＝2，求⊙O的直径．
【答案】（1）见解析；（2）5．
【解析】（1）连接BE．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，即AD⊥BE，
∵点C为的中点，
∴，
∴OC⊥EB，
∴OC//AD；
（2）设BE交OC于点T．
∵CD⊥AD，
∴∠D＝∠DET＝∠CTE＝90°，
∴四边形DETC是矩形，
∴CD＝ET＝2，DE＝CT＝1，
∵OC⊥EB，
∴BT＝TE＝2，
设OB＝OC＝r，
∴OT=OC-CT=r-1
在Rt△BOT中，由勾股定理得：r2＝（r﹣1）2+22，
∴r＝，
∴AB＝2r＝5，即⊙O的直径为5．
18．如图1，二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）．
（2）若以AD为直径的圆经过点C．
①求a的值．
②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段BF=2MF，求点M、N的坐标．
③如图3，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，求点Q的坐标．
【答案】（1）；（2）①；②，、，；③或
【解析】解：（1），
．
（2）①以为直径的圆经过点，
为直角三角形，且；
由知，
、、，则：
、、
由勾股定理得：，
即：，
化简，得：，由，得：，
②，
抛物线的解析式：，．
将绕平面内某一点旋转得到，
轴，且；
设，则，
，；
，
，
化简，得：，
解得：（舍去）、，
，，
，
，
点的横坐标相同，
，
又到抛物线上，
，
，．
③设⊙Q与直线的切点为，连接，过作于，如下图：
、，
，即是等腰直角三角形，
也是等腰直角三角形，
即：；
设，则，；
得：，
化简，得：，
解得：；
即点的坐标为或．
19．（2021·江苏新吴·九年级期中）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段BC＝4，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
学习小组通过操作、观察、讨论后得到：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外）……小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为 ；
②△ABC面积的最大值为 ；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明＞30°；
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长为AB＝2，BC＝4，点P在直线CD的左侧，且∠DPC＝60°．
①线段PB长的最小值为 ；
②若＝，则线段PD长为 ．
【答案】（1）①4；②；（2）见解析；（3）①；②
【解析】（1）解：①设O为圆心，连接BO，CO，
∵∠BCA＝30°，
∴∠BOC＝60°，又OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝4，即半径为4，
故答案为：4；
②∵△ABC以BC为底边，BC＝4，
∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，
如图，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，以BC为底，则当A与D重合时，△ABC的面积最大，
∴BE＝CE＝2，DO＝BO＝4，
∴OE2，
∴DE＝DO+OE＝4+2，
∴△ABC的最大面积为4×（4+2，
故答案为：8+4；
（2）证明：如图，延长BA′，交圆于点D，连接CD，
∵点D在圆上，
∴∠BDC＝∠BAC＝30°，
∵∠BA′C＝∠BDC+∠A′CD，
∴∠BA′C＞∠BDC，
∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；
（3）解：①如图，当点P在BC上，且PC＝2时，
∵∠PCD＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，
∴PD4，∠DPC＝60°，为定值，
连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，PD为半径画圆，
∴当点P在优弧CPD上时，∠DPC＝60°，连接BQ，与圆Q交于P′，
此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊥BE，垂足为E，
∵点Q是PD中点，
∴点E为PC中点，即QECD，PE＝CEPC＝1，
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣1＝3，
∴BQ2，
∵PD＝4，
∴圆Q的半径为2，
∴BP′＝BQ﹣P′Q＝22，即BP的最小值为22，
故答案为：22；
②∵AD＝4，CD＝2，S△PCDS△PAD，
∴，
∴△PAD中AD边上的高＝△PCD中CD边上的高，
即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，
∴点P在∠ADC的平分线上，
如图，过点C作CF⊥PD，垂足为F，
∵PD平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠CDP＝45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，又CD＝2，
∴CF＝DF，
∵∠DPC＝60°，
∴PF，
∴PD＝DF+PF．
故答案为：．
20．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级期中）在⊙O中，CD为弦，OP为⊙O的半径，OP交CD于点H，若弧PC＝弧PD．
（1）如图1：求证：CD⊥OP；
（2）如图2：直径AB∥CD，弦BE⊥OD于F．求证：BE＝2OH；
（3）如图3：在（2）的条件下，连接EC，过C作CN⊥CE交⊙O于N，交AB于M，若PH＝AM，OF＝4，求线段CN的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】解：（1）连接OA、OD
在△COH与中，
CD⊥OP；
（2）AB∥CD，
弦BE⊥OD于F,
由垂径定理得，
BE＝2OH；
（3）连接EN，
CN⊥CE
EN为直径，
，
，
CD=8，
PH＝AM，
OH=OM=BF
BE=2OH．
第14讲 圆易错点梳理
易错点梳理
易错点01 在弧、弦、圆心角之间的关系中忽略“在同圆或等圆中”这一前提条件
只有“在同圆或等圆中”，弧、弦、圆心角之间的关系才能成立。
易错点02 忽视弦所对的圆周角的多种可能而漏解
忽视弦所对的圆周角的多种可能而漏解在同一个圆中，一条弦对着两种圆周角，这两种圆周角互补。
易错点03 忽视弦的位置的不同情况而漏解
在同一个圆中，求两条平行弦的距离时，两条弦可能在圆心的同侧，也可能在圆心的两侧，解题时应分类讨论。
易错点04 混淆三角形的外心和内心
三角形的内心是指三角形内切圆的圆心，是三角形3条角平分线的交点；三角形的外心是指三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点.。
例题分析
考向01 与圆有关的性质
例题1：（2021·山东临清·九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．80° B．75° C．70° D．65°
【答案】C
【思路分析】连接BC，证明∠ACB＝90°，∠DCB＝20°，可得结论．
【解析】解：连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠DCB＝∠DEB＝20°，
∴∠ACD＝90°﹣∠DCB＝70°，
故选：C．
【点拨】本题主要考查圆周角定理，准确分析计算是解题的关键．
例题2：（2021·山东陵城·九年级期中）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则△OFC的面积是（ ）
A．40cm2 B．20cm2 C．10cm2 D．5cm2
【答案】D
【思路分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，从而得到OC的长，即可求出△BOC的面积，再根据三线合一定理得到BF=CF，则，由此求解即可．
【解析】解：连接OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．
∴，
在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2
解得：OE=3cm，
∴，
∴，
∵OB=OC，OF⊥BC，
∴BF=CF，
∴
∴，
故选D．
【点拨】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，三线合一定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．
考向02 与圆有关的位置关系
例题3：下列说法：①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；③等弧所对的圆心角相等；④过三点可以画一个圆；⑤圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等．正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【思路分析】由垂径定理的推论可判断①，由圆心角，弧，弦之间的关系可判断②③，由不在同一直线上的三点确定一个圆可判断④，由圆的对称轴是直线可判断⑤，由三角形的外心的性质可判断⑥，从而可得答案.
【解析】解：当被平分的这条弦是直径时，平分弦的直径，不平分这条弦所对的弧；故①不符合题意；
在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也不一定相等；因为圆当中任意一条弦都与两条弧相对，故②不符合题意；等弧所对的圆心角相等；正确，故③符合题意；过不在同一直线上的三点可以画一个圆；故④不符合题意；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；故⑤不符合题意；三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．故⑥不符合题意；故选A
【点拨】本题考查的是圆的基本性质，垂径定理的推论，圆心角，弧，弦之间的关系，圆的确定，三角形的外心的性质，掌握以上基础知识是解题的关键.
例题4：（2021·山东·德州市第九中学九年级期中）如图，在Rt△AOB中，OB＝4，∠A＝30°，⊙O的半径为3，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路分析】连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，根据切线的性质得到OQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ＝，根据垂线段最短得到当OP⊥AB时，OP最小，根据30度角直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解析】连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
∴PQ＝＝，
当OP最小时，线段PQ的长度最小，
当OP⊥AB时，OP最小，
在Rt△AOB中，∠A＝30°，，
∴，
由勾股定理得：
在Rt△AOP′中，∠A＝30°，
∴OA=2OP′＝12，
∴OP′＝6，
∴线段PQ长度的最小值＝＝3，
故选：C．
【点拨】本题考查的是切线的性质、勾股定理、含30度角直角三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
考向03 正多边形与圆
例题5：（2021·江苏宿迁·九年级期中）如图，在正六边形中，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路分析】由正六边形的性质得出∠B=∠BAF=∠AFE=120°，BC=AB=AF=FE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠BAC=∠BCA=30°，∠FAE=∠FEA=30°，求出∠CAE=30°．
【解析】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠B=∠BAF=∠AFE=120°，BC=AB=AF=FE，
∴∠BAC=∠BCA=30°，
∵AB∥CF，
∴∠CAB=∠ACF=30°．
故选：A．
【点拨】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握正六边形的性质，求出∠B、∠BAF和∠F的度数是解题的关键．
例题6：（2021·浙江·杭州市采荷中学九年级期中）下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）
A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．存在一个正多边形，它的外角和为720°
C．任何正多边形都有一个外接圆
D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形
【答案】C
【思路分析】根据正多边形、轴对称、中心对称的性质分析，即可判断选项A；根据多边形外角和的性质，即可判断选项B；根据正多边形与圆的性质分析，即可判断选项C；根据正多边形和外角的性质分析，即可判断选项D，从而得到答案．
【解析】正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不正确；
任何多边形的外角和都为360°，故选项B不正确；
任何正多边形都有一个外接圆，故选项C正确；
等边三角形的每个外角都是对应每个内角两倍，故选项D不正确；
故选：C．
【点拨】本题考查了正多边形、轴对称、中心对称、正多边形与圆、外角的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形、轴对称、中心对称、正多边形与圆、外角的性质，从而完成求解．
考向04 弧长与扇形面积的计算
例题7：（2021·浙江·杭州市天杭实验学校九年级期中）如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为弧AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10π B．9π C．8π D．6π
【答案】A
【思路分析】连接OC交DE于F，证得四边形ODCE是矩形，得到△ODE≌△ECO≌△DOC≌△ECD，推出，∠COE=∠CDE=36°，再利用扇形面积公式计算．
【解析】解：如图，连接OC交DE于F，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO=∠CEO=∠AOB＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴△ODE≌△ECO≌△DOC≌△ECD，
∴，∠COE=∠CDE=36°，
∴阴影部分的面积=，
故选：A．
【点拨】此题考查了矩形的判定及性质，扇形面积的计算公式，熟记矩形的判定及性质定理是解题的关键．
例题8：（2021·江苏宿迁·九年级期中）如图，正方形内接于⊙O，线段在对角线上运动．若⊙O的面积为，，则△AMN周长的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【思路分析】由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．
【解析】解：连接AC，
⊙O的面积为6π，则圆的半径为，则BD＝2＝AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，BD⊥AC，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
∴CA′⊥AC，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，
理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，
则A′A＝＝5，
则△AMN的周长的最小值为5+1＝6，
故选：C．
【点拨】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键．
微练习
一、单选题
1．（2021·天津滨海新·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，连接AC，CD，AD，若，则的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．75°
【答案】A
【解析】解：连结BC，
∵AB是⊙O的直径，
，
∵∠ABC=∠ADC=75°，
，
故选A．
2．（2021·浙江省宁波市实验学校九年级期中）如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为斜边向外作等腰直角三角形△ACD，△BCE，弧AC和弧BC的中点分别是M，N．连接DM，EN，若C在半圆上由点A向B移动的过程中，DM：EN的值的变化情况是（ ）
A．变大 B．变小
C．先变大再变小 D．保持不变
【答案】D
【解析】解：如图，连接OD，OE，OC．
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ADC＝90°，DA＝DC，
∵OA＝OC，
∴OD垂直平分线段AC，
∴点M在线段OD上，
∴∠ODC＝45°，
同法点N在OE上，∠OED＝45°，
∴∠DOE＝90°，
∵∠ODE＝∠OED，
∴OD＝OE，
∵OM＝ON，
∴DM＝EN，
∴DM：EN的值不变．
故选：D．
3．（2021·广东·广州市第七中学九年级期中）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，△ABC是等腰直角三角形，⊙D是它的外接圆，⊙E是它的内切圆，连接AE、BE，
∵等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，
∴AB=4，
∴在Rt△ABC中，，
∵⊙E是内切圆，
∴EF=EG=ED，
∴
，
∵，
∴，
即，
∴．
故选：B．
4．（2021·江苏玄武·九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝62°，E是BC的中点，连接OE并延长交⊙O于点D，连接BD，则∠D的度数为（ ）
A．58° B．59° C．60° D．61°
【答案】B
【解析】解：连接CD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，∠A＝62°，
∴∠CDB+∠A＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣∠A＝118°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝∠BDC＝59°，
故选：B．
5．（2021·江西兴国·九年级期末）如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2020时，顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，﹣2） D．（2，2）
【答案】B
【解析】解：连接OA，
∠AOH=30°，AH=2，
∴OH=，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴点A的坐标为（-2，2），点F的坐标为（2，2），点E的坐标为（4，0），点D的坐标为（2，-2），点C的坐标为（-2，-2），点B的坐标为（-4，0），
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原位置，
2020÷6=336…4，
∴当n=2020时，顶点A与顶点C重合，
∴此时顶点A的坐标为（-2，-2），
故选：B．
6．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在⊙O上任取一点A，连接AO并延长交⊙O于点B；②以点B为圆心，BO为半径作圆弧分别交⊙O于C，D两点；③连接CO，DO并延长分别交⊙O于点E，F；④顺次连接BC，CF，FA，AE，ED，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，EF，交于点G，则下列结论错误的是 ．
A．△AOE的内心与外心都是点G B．∠FGA＝∠FOA
C．点G是线段EF的三等分点 D．EF＝AF
【答案】D
【解析】解：如图，
在正六边形AEDBCF中，∠AOF=∠AOE=∠EOD=60°，
∵OF=OA=OE=OD，
∴△AOF，△AOE，△EOD都是等边三角形，
∴AF=AE=OE=OF，OA=AE=ED=OD，
∴四边形AEOF，四边形AODE都是菱形，
∴AD⊥OE，EF⊥OA，
∴△AOE的内心与外心都是点G，故A正确，
∵∠EAF=120°，∠EAD=30°，
∴∠FAD=90°，
∵∠AFE=30°，
∴∠AGF=∠AOF=60°，故B正确，
∵∠GAE=∠GEA=30°，
∴GA=GE，
∵FG=2AG，
∴FG=2GE，
∴点G是线段EF的三等分点，故C正确，
∵AF=AE，∠FAE=120°，
∴EF=AF，故D错误，
故答案为：D．
7．（2021·山东巨野·九年级期中）如图，等边△ABC及其内切圆与外接圆构成的图形中，若外接圆的半径为3，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵△ABC是等边三角形，大⊙O是△ABC的外切圆，
∴AO=OB=OC，
∵小⊙O是△ABC的内切圆，
∴OM=ON=OP，
∴∠AOC=120°，∠AON=∠BON=∠AOP=∠CON=60°，BN=CM=AP=CP，
∴S阴影=S扇形AOC==3π ，
故选：B．
8．（2021·河北古冶·九年级期中）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】D
【解析】解：如图，连接，，．．
垂直平分，垂直平分，由“垂径定理的逆定理”可知，和都是的直径，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，故（Ⅰ）正确，
观察图形可知当，
，
观察图形可知，这样的点不唯一（如下图所示），故（Ⅱ）错误，
故选：D．
二、填空题
9．（2021·福建福清·九年级期中）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，下列四个结论正确的有_____．（填序号）
①点B与点C的距离是3；②CE＝BE；③CE长的最大值2.4；④BE的长的最小值是2﹣2．
【答案】①③
【解析】解：连接BC，取AC的中点T，连接ET，BT．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝3，故①正确，
当点D与C重合时，BE＞CE，故②错误，
当点D与B重合时，CE的值最大，最大值＝＝＝2.4，故③正确，
∵EC⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∵CT＝AT，
∴ET＝AC＝2，
∵BT＝＝＝，
∴BE≥BT﹣ET＝﹣2，
∴BE的最小值为﹣2．故④错误，
故答案为：①③．
10．（2021·江苏宿迁·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，，，点B、C在⊙O上，边、分别交⊙O于D、E两点，点B是弧的中点，求的度数．
【答案】
【解析】解：连结.
∵，
∴
∵点是弧的中点
∴弧=弧
∴
∵
∴
∴
又∵(同弧所对的圆周角相等）
∴
11．（2021·江苏灌南·九年级期中）在RtABC中，∠C＝90°，AB＝5，周长为12，那么△ABC内切圆半径为_____．
【答案】1
【解析】解：设切点分别为D、F、E，连结OD，OF，OE
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AB+BC+AC=12，
∴BC+AC=12-AB=12-5=7，
∵AC,BC AB为圆的切线，
∴AF=AE，BD=BE，CD=CF，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴CD+CF=BC+AC-AB=7-5=2，
∴CD=1，
∵∠C=90°，∠ODC=∠OFC=90°，
∴四边形CDOF为矩形，
∵CD=CF，
∴四边形CDOF为正方形，
∴△ABC内切圆半径r=CD=1．
故答案为1．
12．（2021·江苏新吴·九年级期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值为________．
【答案】4
【解析】解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，
理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，
则A′A3，
则△AMN的周长的最小值为3+1＝4，
故答案为：4．
13．（2021·山东青岛·中考真题）如图，正方形内接于⊙O，，分别与⊙O相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】
【解析】解：连接AC，OD，
∵四边形BCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，
∵PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，
∴∠PAO=∠PDO=90°，
∴四边形AODP是矩形，
∵OA=OD，
∴矩形AODP是正方形，
∴∠P=90°，AP=AO，AC∥PE，
∴∠E=∠ACB=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴AC=2AO=2，DE=CD=2，
∴AP=PD=AO=，
∴PE=3，
∴图中阴影部分的面积
故答案为：5-π．
14．（2021·江苏新吴·九年级期中）如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】解：连接AC，延长AP，交BC于E，
在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，
∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
在△APB和△APC中，
，
∴△APB≌△APC（SSS），
∴∠PAB＝∠PAC，
∴AE⊥BC，BE＝CE＝1，
∵△BPC为等腰直角三角形，
∴，
在Rt△ABE中，AE＝AB＝，
∴AP＝﹣1，
∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝，
故答案为：．
三、解答题
15．如图，是的直径，点C在⊙O上，D为⊙O外一点，且，．
（1）求证：直线为⊙O的切线．
（2）若DC=，AD=2，求⊙P的半径．
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明过程见解析；（2）4；（3）
【解析】（1）证明：如图1，
连接PC，则∠APC=2∠B，
∵2∠B+∠DAB=180°，
∴∠APC+∠DAB=180°，
∴AD∥PC，
∵∠ADC=90°，
∴∠DCP=90°，
∴PC⊥DC，
故直线CD为⊙P的切线；
（2）如图2，连接AC、PC，
∵DC=，AD=2，∠ADC=90°，
∴AC=
∴∠CAD=60°，
由（1）得AD∥PC，
∴∠CAD=∠ACP=60°，
又PA=PC，
∴△APC是等边三角形，
∴PC=PA=AC=4，
故⊙P的半径是4；
（3）∵S梯形ADCP= （AD+PC）×CD=（2+4）×=，S扇形APC== ，
∴S阴影部分=S梯形ADCP-S扇形APC=，
故阴影部分的面积为．
16．（2021·浙江·杭州市天杭实验学校九年级期中）图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D＝108°，连结AC．
（1）求∠BAC的度数；
（2）若AB＝8，且∠DCA＝27°，求DC的长度；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】（1）∠BAC的度数为18°；（2）DC的长度为；（3）．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=108°，
∴∠B=180°－∠ADC=180°－108°=72°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°－72°=18°；
（2）如图，连接OC，OD，
∵∠ADC=108°，∠DCA=27°，
∴∠DAC=180°－108°－27°=45°，
∴∠DOC=2∠DAC=90°，
∵AB=8，
∴OD=OC=OA=4，
∴在中，；
（3）∵∠DOC=90°，OD=4，
∴S扇形OCD，
又∵，
∴S阴影=S扇形OCD－S△OCD=．
17．（2021·湖北新洲·九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，CD⊥AE交直线AE于D点．
（1）求证：OC//AD；
（2）若DE＝1，CD＝2，求⊙O的直径．
【答案】（1）见解析；（2）5．
【解析】（1）连接BE．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，即AD⊥BE，
∵点C为的中点，
∴，
∴OC⊥EB，
∴OC//AD；
（2）设BE交OC于点T．
∵CD⊥AD，
∴∠D＝∠DET＝∠CTE＝90°，
∴四边形DETC是矩形，
∴CD＝ET＝2，DE＝CT＝1，
∵OC⊥EB，
∴BT＝TE＝2，
设OB＝OC＝r，
∴OT=OC-CT=r-1
在Rt△BOT中，由勾股定理得：r2＝（r﹣1）2+22，
∴r＝，
∴AB＝2r＝5，即⊙O的直径为5．
18．如图1，二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）．
（2）若以AD为直径的圆经过点C．
①求a的值．
②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段BF=2MF，求点M、N的坐标．
③如图3，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，求点Q的坐标．
【答案】（1）；（2）①；②，、，；③或
【解析】解：（1），
．
（2）①以为直径的圆经过点，
为直角三角形，且；
由知，
、、，则：
、、
由勾股定理得：，
即：，
化简，得：，由，得：，
②，
抛物线的解析式：，．
将绕平面内某一点旋转得到，
轴，且；
设，则，
，；
，
，
化简，得：，
解得：（舍去）、，
，，
，
，
点的横坐标相同，
，
又到抛物线上，
，
，．
③设⊙Q与直线的切点为，连接，过作于，如下图：
、，
，即是等腰直角三角形，
也是等腰直角三角形，
即：；
设，则，；
得：，
化简，得：，
解得：；
即点的坐标为或．
19．（2021·江苏新吴·九年级期中）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段BC＝4，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
学习小组通过操作、观察、讨论后得到：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外）……小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为 ；
②△ABC面积的最大值为 ；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明＞30°；
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长为AB＝2，BC＝4，点P在直线CD的左侧，且∠DPC＝60°．
①线段PB长的最小值为 ；
②若＝，则线段PD长为 ．
【答案】（1）①4；②；（2）见解析；（3）①；②
【解析】（1）解：①设O为圆心，连接BO，CO，
∵∠BCA＝30°，
∴∠BOC＝60°，又OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝4，即半径为4，
故答案为：4；
②∵△ABC以BC为底边，BC＝4，
∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，
如图，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，以BC为底，则当A与D重合时，△ABC的面积最大，
∴BE＝CE＝2，DO＝BO＝4，
∴OE2，
∴DE＝DO+OE＝4+2，
∴△ABC的最大面积为4×（4+2，
故答案为：8+4；
（2）证明：如图，延长BA′，交圆于点D，连接CD，
∵点D在圆上，
∴∠BDC＝∠BAC＝30°，
∵∠BA′C＝∠BDC+∠A′CD，
∴∠BA′C＞∠BDC，
∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；
（3）解：①如图，当点P在BC上，且PC＝2时，
∵∠PCD＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，
∴PD4，∠DPC＝60°，为定值，
连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，PD为半径画圆，
∴当点P在优弧CPD上时，∠DPC＝60°，连接BQ，与圆Q交于P′，
此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊥BE，垂足为E，
∵点Q是PD中点，
∴点E为PC中点，即QECD，PE＝CEPC＝1，
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣1＝3，
∴BQ2，
∵PD＝4，
∴圆Q的半径为2，
∴BP′＝BQ﹣P′Q＝22，即BP的最小值为22，
故答案为：22；
②∵AD＝4，CD＝2，S△PCDS△PAD，
∴，
∴△PAD中AD边上的高＝△PCD中CD边上的高，
即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，
∴点P在∠ADC的平分线上，
如图，过点C作CF⊥PD，垂足为F，
∵PD平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠CDP＝45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，又CD＝2，
∴CF＝DF，
∵∠DPC＝60°，
∴PF，
∴PD＝DF+PF．
故答案为：．
20．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级期中）在⊙O中，CD为弦，OP为⊙O的半径，OP交CD于点H，若弧PC＝弧PD．
（1）如图1：求证：CD⊥OP；
（2）如图2：直径AB∥CD，弦BE⊥OD于F．求证：BE＝2OH；
（3）如图3：在（2）的条件下，连接EC，过C作CN⊥CE交⊙O于N，交AB于M，若PH＝AM，OF＝4，求线段CN的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】解：（1）连接OA、OD
在△COH与中，
CD⊥OP；
（2）AB∥CD，
弦BE⊥OD于F,
由垂径定理得，
BE＝2OH；
（3）连接EN，
CN⊥CE
EN为直径，
，
，
CD=8，
PH＝AM，
OH=OM=BF
BE=2OH．
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