2023年北京市丰台区高考数学一模试卷（含答案解析）

2023年北京市丰台区高考数学一模试卷

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2.  设a，b，，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知圆与y轴相切，则(    )

A.  B.  C. 2 D. 3

4.  已知是定义在R上的奇函数，当时，，则(    )

A.  B. 0 C. 1 D. 2

5.  在平面直角坐标系xOy中，若角以x轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为，则的一个可能取值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在中，若，则该三角形的形状一定是(    )

A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

7.  设数列的前n项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不是充分也不是必要条件

8.  已知抛物线C：的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为过点A向抛物线C的准线作垂线、垂足为若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为(    )

A. 1 B.  C. 2 D.

9.  已知函数的定义域为R，存在常数，使得对任意，都有，当时，若在区间上单调递减，则t的最小值为(    )

A. 3 B.  C. 2 D.

10.  如图，在直三棱柱中，，，，，点D在棱AC上，点E在棱上，给出下列三个结论：
①三棱锥的体积的最大值为；
②的最小值为；
③点D到直线的距离的最小值为
其中所有正确结论的个数为(    )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

11.  若复数是纯虚数，则______ .

12.  已知正方形ABCD的边长为2，则______ .

13.  从，，1，2，3这5个数中任取2个不同的数，记“两数之积为正数”为事件A，“两数均为负数为事件则______ .

14.  设函数若存在最小值，则a的一个取值为______；a的最大值为______.

15.  三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题.古希腊数学家约前后借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段AB的三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线双曲线H与弧AB的交点记为E，连接CE，则
①双曲线H的离心率为______ ；
②若，，CE交AB于点P，则______ .

16.  已知函数的部分图象如图所示.
求的解析式；
若函数，求在区间上的最大值和最小值.

17.  如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O，，点E是棱PA的中点，连接OE，
求证：平面PCD；
若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求线段OP的长.
条件①：平面平面ABCD；
条件②：
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

18.  交通拥堵指数是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：

某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的统计数据如图：

从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；
从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为X，求X的分布列及数学期望；
把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为，，⋯，，将2022年同期TPI依次记为，，⋯，，记，请直接写出取得最大值时i的值.

19.  已知椭圆的一个顶点为，焦距为
求椭圆E的方程；
过点的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线l：的垂线点B，C在直线l的两侧垂足分别为M，N，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数t，使得，，总成等比数列？若存在，求出t的值.若不存在，请说明理由.

20.  已知函数
求函数的极值；
若函数有两个不相等的零点，
求a的取值范围；
证明：

21.  已知集合，对于集合的非空子集若中存在三个互不相同的元素a，b，c，使得，，均属于A，则称集合A是集合的“期待子集”.
试判断集合，是否为集合的“期待子集”；直接写出答案，不必说明理由
如果一个集合中含有三个元素x，y，z，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质对于集合的非空子集A，证明：集合A是集合的“期待子集”的充要条件是集合A具有性质P；
若的任意含有m个元素的子集都是集合的“期待子集”，求m的最小值.

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：因为集合，，
所以
故选：
根据并集运算求解．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
 

2.【答案】D 

【解析】解：，，因此D正确．
时，A不正确；时，B不正确；取，，C不正确．
故选：
利用不等式的基本性质即可判断出结论．
本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：由圆的方程可得圆心的坐标，
再由圆与y轴相切，可得半径，
故选：
由圆的方程可得圆心坐标，再由与y轴相切，可得半径等于圆心到y轴的距离，可得半径的值．
本题考查直线与圆相切的性质的应用，属于基础题．
 

4.【答案】A 

【解析】解：因为是定义在R上的奇函数，
当时，，
所以
故选：
根据奇函数的性质及所给函数解析式计算可得．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：依题意可得，则，或，，
所以的一个可能取值为
故选：
根据三角函数的定义得到，再根据特殊角的三角函数判断即可．
本题主要考查三角函数的定义，属于基础题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：在中，，
，即，
，，
，
，即，则为等腰三角形．
故选：
利用内角和定理及诱导公式得到，利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知等式变形，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到，即，即可确定出三角形形状．
本题主要考查了诱导公式及和差角公式在三角形形状判断中的的应用，属于基础题．
 

7.【答案】A 

【解析】解：数列中，对任意，，则，；
所以数列是递增数列，充分性成立；
当数列为递增数列时，，；
即，所以，
如数列，2，2，2，…；不满足题意，必要性不成立；
所以“对任意，”是“数列为递增数列”的充分不必要条件．
故选：
根据题意，分别判断充分性和必要性是否成立即可．
本题利用数列的前n项和考查了充分与必要条件的应用问题，是基础题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：如图所示：

过点不妨设为第一象限点向x轴作垂线、垂足为E，
设准线交x轴于D，
因为四边形ABOF为等腰梯形，
所以，，
所以，
又，
所以，
所以，
所以，
所以，
由抛物线的定义可得：，
在直角三角形AEF中，，，
由勾股定理可得：，解得
故选：
过点A向x轴作垂线、垂足为E，设准线交x轴于D，利用几何法求出直角三角形AEF的三边，利用勾股定理即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，考查转化能力，属于中档题．
 

9.【答案】B 

【解析】解：因为存在常数，使得对任意，都有，
所以函数的周期为t，
当时，函数在单调递减，
所以当时，函数在上单调递减，
因为在区间上单调递减，
所以，
故，
所以，
所以t的最小值为
故选：
根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可．
本题主要考查了函数的单调性及周期性在不等式求解中的应用，据函数的周期的性质，结合绝对值型函数的单调性是解题的关键．
 

10.【答案】C 

【解析】解：在直三棱柱中平面ABC，
对于①：因为点E在棱上，所以，又，
又，，，点D在棱AC上，所以，，
所以，当且仅当D在C点、E在点时取等号，故①正确；
对于②：如图将翻折到与矩形共面时连接交AC于点D，此时取得最小值，
因为，，所以，所以，
即的最小值为，故②错误；

对于③：如图建立空间直角坐标系，

设，，，，，
所以，，
则点D到直线的距离，
当时，
当时，，，则，
所以当取最大值，且时，
即当D在C点E在B点时点D到直线的距离的最小值为，故③正确；
故选：
根据锥体的体积公式判断①，将翻折到与矩形共面时连接交AC于点D，此时取得最小值，利用勾股定理求出距离最小值，即可判断②，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到距离，再根据函数的性质计算可得．
本题主要考查了三棱柱的结构特征，考查了利用空间向量求点到直线的距离，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，解得
故答案为：
将复数化成代数形式，令其实部为0，虚部不为0，解出即可．
本题考查复数的运算、复数的分类．属于基础题．
 

12.【答案】4 

【解析】解：在正方形ABCD中，，
即有

故答案为：
由向量加法的平行四边形法则，以及向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到所求值．
本题考查向量的平行四边形法则和向量的数量积的性质，考查运算能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：从，，1，2，3这5个数中任取2个不同的数有种取法，
其中满足两数之积为正数的有种取法，
满足两数之积为正数且两数均为负数的有种取法，
所以，，
所以
故答案为：
根据古典概型的概率公式求出，，再由条件概率的概率公式计算可得．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了条件概率公式，属于基础题．
 

14.【答案】0 1 

【解析】解：当时，函数图像如图所示，不满足题意，

当时，函数图像如图所示，满足题意；

当时，函数图像如图所示，要使得函数有最小值，需满足，解得：；

当时，函数图像如图所示，不满足题意，

当时，函数图像如图所示，要使得函数有最小值，需，无解，故不满足题意；

综上所述：a的取值范围是，
故答案为：0，
对函数分段函数的分界点进行分类讨论，研究其不同图像时函数取最小值时a的范围即可．
本题主要考查利用分段函数图像确定函数最小值是分界点的讨论，属于较难题目．
 

15.【答案】 

【解析】解：①由题可得，，所以，
所以双曲线H的离心率为；
②因为，且，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，
因为，解得，
所以，
故答案为：2； 
①根据图形关系确定即可求解；
②利用面积之比，进而可求出，再根据求解．
本题主要考查了双曲线的性质，考查了双曲线离心率的求法，属于中档题．
 

16.【答案】解：由图象可知：，
，
将点代入得，
，，
，
，
；；
，
由得，
当时，即，，
当时，即 

【解析】由图象及三角函数的性质可以得到，，进而得到的解析式；
根据三角恒等变换化简，进而分析在区间上的最大值和最小值．
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．
 

17.【答案】解：由题意可知，O是AC中点，
又因为E是棱PA的中点，所以，
又因为平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD；
选择条件①：
因为，O是BD的中点，所以，
因为平面平面ABCD，平面平面，平面PBD，
所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以，
又，所以OB，OC，OP两两垂直，
以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

因为菱形的边长为2，，
所以，
所以，设，
所以，
设为平面PCD的一个法向量，
由，可得，
取，所以，
因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为，
平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为，
所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以线段OP的长为
选择条件②：
因为在菱形ABCD中，，
因为平面PBD，平面PBD，，
所以平面PBD，
因为平面PBD，所以，因为，，
所以OB，OC，OP两两垂直，
以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
因为菱形的边长为2，，
所以，
所以，设，
所以，
设为平面PCD的一个法向量，
由，可得，
取，所以，
因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为，
平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为，
所以，所以，
所以，所以，
因为，所以
所以线段OP的长为 

【解析】根据线面平行的判定定理证明；
利用空间向量的坐标运算表示出平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值，即可求解．
本题主要考查了线面平行的判定定理，考查了利用空间向量求二面角，属于中档题．
 

18.【答案】解：由图可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天，
所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为；
由图可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI高的天数只有1月3日和1月4日这2天，
所以，，，
所以X的分布列为：

数学期望；
由题意，，，，，，，，
所以，
所以取得最大值时， 

【解析】根据随机事件的概率公式即可求解；
结合题意先求出X的分布列，再结合数学期望的公式求解即可；
结合题意先求得，进而即可求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
 

19.【答案】解：根据已知可得，，
所以，，，
所以椭圆E的方程为；
由已知得，BC的斜率存在，且B，C在x轴的同侧，
设直线BC的方程为，，，不妨设，
则，，
由得，
所以，
因为，
所以，，
要使，，总成等比数列，则应有解得，
所以存在，使得，，总成等比数列． 

【解析】根据a，b，c的关系求解；
表示，，的面积，利用韦达定理表示出即可求出常数t的值．
本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
 

20.【答案】解：因为，所以，因为，
由有：，由有：，
所以函数在单调递减，在单调递增，
所以函数无极大值，有极小值；
由有：函数在单调递减，在单调递增，
若函数有两个不相等的零点，，则，解得，
所以，因为当时，，所以，
所以在上有1个零点，
当时，，又“指数爆炸”，所以，
所以在上有1个零点，
综上，当时，函数有两个不相等的零点，
证明：由有：当时，函数有两个不相等的零点，，
不妨设，构造函数，则，
因为，所以，
因为，所以，当前仅当时取到等号，
所以，所以在R上单调递减，
又，所以，
即，即，又，
所以，又，所以，
由有：函数在单调递减，所以，
即，结论得证． 

【解析】利用导数研究函数的单调性和极值；
利用导数研究函数的单调性与极值，再结合图象与零点进行求解；利用构造对称函数以及导数进行证明．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了函数的零点问题，属于中档题．
 

21.【答案】解：因为，
对于集合，
令，解得，
显然，，
所以是集合的“期待子集”；
对于集合，
令，则，
因为，，，即，故矛盾，
所以不是集合的“期待子集”；
先证明必要性：
当集合A是集合的“期待子集”时，
由椭圆，存在互不相同的a，b，，使得，，，
不妨设，令，，，
则，即条件P中的①成立；
又，
所以，即条件P中的②成立；
因为，
所以为偶数，即条件P中的③成立；
所以集合A满足条件P，
再证明充分性：
当集合A满足条件P时，有存在x，y，，
满足①，②，③为偶数，
令，，，
由③得a，b，，由①得，由②得，
所以a，b，，
因为，，，
所以，，均属于A，
即集合A是集合的“期待子集”，
的最小值为，理由如下：
一方面，当时，对于集合，
其中任意三个元素之和均为奇数，由知，M不是的“期待子集”；
当时，对于集合，
从中任取三个不同的元素，若不含有2，则不满足条件P的③，
若含有2，则另外两个数必都是奇数，
因为任意两个奇数之差大数减小数都不小于2，
故不满足条件P中的②，所以M不是的“期待子集”；
所以
另一方面，我们用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”：
当时，对于集合的任意含有6个元素的子集，记为B，
当4、6、8三个数中恰有1个属于B时，则，
因为数组3，4，5、3，5，6、5，7，8、5，6，7、5，7，8都满足条件P，
当4，6，8三个数都属于B，因为数组4，6，8满足条件P，
所以此时集合B必是集合的“期待子集”，
所以当时的任意含有6个元素的子集都是集合的“期待子集”．
假设当时结论成立，即集合的任意含有个元素的子集都是的“期待子集”，
那么时，对于集合的任意含有个元素的子集C，
分成两类，①若，至多有1个属于C，则C中至少有个元素都在集合，由归纳假设知，结论成立；
②若，，则集合C中恰含的个元素，
此时，当C中只有一个奇数时，则集合C中包含中的所有偶数，
此时数组，，2k符合条件P，结论成立；
当集合C中至少有两个奇数时，则必有一个奇数c不小于3，
此时数组c，，2k符合条件P，结论成立，所以时结论成立，
根据知，集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，
所以m的最小值为 

【解析】根据所给定义判断即可．
先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质P的定义证明即可；
首先利用反例说明当、时不成立，再利用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，即可得解．
本题考查集合新定义问题，集合的相关知识的应用，数学归纳法的应用，逻辑推理能力要求较高，化归转化思想，分类讨论思想，属难题．