湖南省108所学校2022-2023学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

2023年上学期高一期中联考

数学

本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，能正确表示图中阴影部分的集合是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求得集合，结合题意及集合的运算，即可求解.

【详解】由题意，集合，

根据图中阴影部分表示集合中元素除去集合中的元素，即为.

故选：B.

2. 用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（    ）

A. 长方体 B. 圆锥 C. 棱锥 D. 圆台

【答案】D

【解析】

【分析】作图，结合空间想象，即可得出答案.

【详解】

对于A项，如图1，用平面截长方体，得到的截面是三角形，故A项正确；

对于B项，如图2，用平面截圆锥，得到的截面是三角形，故B项正确；

对于C项，三棱锥各个面即为三角形；除三棱锥外，过棱锥底面不相邻两顶点和棱锥顶点的截面为三角形，故C项正确；

对于D项，圆台的截面不可能为三角形，故D项错误.

故选：D.

3. 复平面内表示复数的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】化简复数可得，即可根据复数的几何意义得出答案.

【详解】根据复数的除法运算求解，

所以，复平面内表示该复数的点为，

所以，复平面内表示复数的点位于第三象限.

故选：C.

4. 已知，为非零实数，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】由，即成立，故充分性成立；

取，，则成立，但不成立，故必要性不成立.

因此，“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

5. 函数的部分图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性排除AB，再由特殊值排除D即可得解.

【详解】因为的定义域为，关于原点对称，

所以，即函数为奇函数，排除AB，

当时，，排除D.

故选：C

6. 如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，某同学选择地面CD作为水平基线，使得C，D，B在同一直线上，在C，D两点用测角仪器测得A点的仰角分别是45°和75°，，则建筑物AB的高度为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据正弦定理求出，再在直角三角形中求解即可.

【详解】在中，根据正弦定理可得，

在中，

，

故选：A

7. 如图，在中，点O在BC上，，则的最小值为（    ）

A. 5 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由已知可推得，又，根据“1”的代换，利用基本不等式，即可求出最小值.

【详解】由题意可得，三点共线，则共线.

则存在唯一实数，使得，，

即，

整理可得，.

又，所以，，

所以，且，，

又，

当且仅当，即，时等号成立.

所以， 的最小值为.

故选：D.

8. 已知，是不共线的两个向量，，，若，，则的最小值为

A. 2 B. 4 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由可推得，.令，根据函数的最大值，即可得出，进而得出答案.

【详解】由可得，，

即.

因为，，所以，

所以，.

令，

因，，所以.

又对，恒成立，所以，

所以.

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 向量满足：，，，则向量在向量上的投影向量的模的可能值是（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】CD

【解析】

【分析】根据题意，结合向量在向量上的投影向量的模公式，即可求解.

【详解】由题意，向量满足且，

所以向量在向量上的投影向量的模为.

故选：CD

10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列选项正确的是（    ）

A.

B.

C. 若为锐角三角形，则

D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据大边对大角，即可得出A项；根据正弦定理，结合A项，即可得出B项；由已知可推出，根据正弦函数单调性，即可得出C项；，根据诱导公式化简，即可判断D项.

【详解】对于A项，根据大边对大角，知A项正确；

对于B项，由A知，.

由正弦定理可得，，所以.

由，根据正弦定理可得，

，所以，所以，故B项正确；

对于C项，由已知可得，，所以，

因为正弦函数在上单调递增，所以，故C项正确；

对于D项，，故D项错误.

故选：ABC.

11. 已知，，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】辅助角公式化简已知，即可得出A项；由已知可得，，展开即可得出B项；先得出，根据已知可得，开方即可判断C项；根据，结合三角函数的符号，即可推出，进而得出，即可得出D项.

【详解】对于A项，因为，

所以，故A项正确；

对于B项，由已知可得，，

即，

所以，，故B项正确；

对于C项，.

由已知，，可知，所以，

所以，，故C项错误；

对于D项，因为，，，所以，

所以，.

又，所以，故D项正确.

故选：ABD.

12. 已知函数，下列说法正确的是（    ）

A. 若函数为偶函数，则

B. 若时，且在上单调，则

C. 若时，的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，则

D. 若函数在上至少有两个最大值点，则

【答案】BD

【解析】

【分析】由已知求出的表达式，代入即可判断A；求出的范围，根据已知列出方程组，求解即可得出B项；先解，然后得出相邻交点最小的距离为，最大距离为.结合已知列出的不等式，求解即可判断C项；由已知可推出，进而结合正弦函数的图象与性质，得出所有的可能，分别列出不等式组，求解即可得出的取值范围，进而判断D项.

【详解】对于A项，要使函数为偶函数，则，

则，故A项错误；

对于B项，时，，

因，所以，

因为在上单调，所以有，解得，故B项正确；

对于C项，由题意，则，或，

则或，

所以，相邻交点最小的距离为，最大距离为.

由题意，相邻四个交点之间的最大距离不大于，相邻五个交点之间的最小距离不小于，

所以，，且，

所以，，故C项错误；

对于D项，，

故，所以，所以.

因为，所以.

由于，所以，

则①，解得；

②，解得；

③，解得.

④当时，，满足在上至少有两个最大值点.

综上所述，.

故选：BD

【点睛】思路点睛：D项，先化简函数表达式，进而根据已知得出的大致范围，进而结合正弦函数的图象与性质，列出关系式，求解即可得出的取值范围.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 幂函数的图象过点，则函数恒过定点___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据幂函数过点求出，再由对数函数的性质求出所过定点.

【详解】因为幂函数的图象过点，

所以，解得，

即，当时，，

所以函数恒过定点.

故答案为：

14. 若，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】因为，根据诱导公式可得，然后根据二倍角的余弦公式展开，即可得出答案.

【详解】因为，

所以，.

故答案为：.

15. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图是一个半径为6m的筒车，筒车转轮的中心到水面的距离为3m，每2分钟逆时针匀速旋转一圈.筒车上的一个盛水筒P（视为质点）从水中浮现（图中点A）时开始记时.建立如图平面直角坐标系，将P到水面距离表示为时间的函数，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据三角函数的周期求出角速度，再利用正弦函数求圆上点的纵坐标即可得出.

【详解】由题意周期秒，所以角速度（rad/s），

当经过时间秒，质点从运动到如图所在位置，如图，

此时，

因为水车半径米，水车中心离水面距离米,

所以，，

所以P到水面距离，

即，

故答案为：

16. 定义在上的函数满足，且当时，；当时，；当时，.若对，都有，则的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据已知可得出函数在区间以及区间上的对称性，进而可作出函数的图象.根据图象设，以及.进而根据已知条件，推出函数在内的解析式，进而求解即可得出的值，进而得出的取值范围.

【详解】由当时，，可得的图象在该区间内关于直线对称；

由当时，，可得的图象在该区间内关于点对称.

结合已知条件，作出函数的部分图象如下图

由图象可设，且时，都有，且.

设，则，.

因为，当时，，所以，.

当时，，所以.

又函数满足，

所以，，

所以，.

令，解得，即.

所以，.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17. 已知关于的方程，.

（1）当时，在复数范围内求方程的解；

（2）已知复数，若方程有虚根，求的模的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）代入，配方得到，开方即可得出答案；

（2）由已知可得，求解得出的取值范围，进而得出，开方即可得出答案.

【小问1详解】

当时，方程为，

配方可得，，

两边开方可得，，

所以，方程的解为.

【小问2详解】

要使方程有虚根，则，

所以，所以.

又，所以，

所以，.

18. 为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，我校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建一个羊驼养殖场，规定ABCD的每条边长均不超过20米．如图所示，矩形EFGH为羊驼养殖区，且点A，B，E，F四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径．设AB＝x（单位：米），养殖区域EFGH的面积为S（单位：平方米）．

（1）将S表示为x的函数，并写出函数的定义域；

（2）当AB为多长时，S取得最大值？并求出此最大值．

【答案】（1）S＝102－－x，定义域为[5，20]；（2）当AB＝10米时，S取得最大值，最大值为102－20．

【解析】

【分析】（1）由已知得到AD＝，进一步得到EF,FG的长度用x表示，即可得到S；

（2）利用基本不等式即可求得最大值.

【详解】解：（1）因为AB＝x，所以AD＝，EF＝x－2，FG＝－1，

所以S＝(x－2)(－1)＝102－－x，

因为0＜x≤20，0＜≤20，解得5≤x≤20，

所以S＝102－－x，定义域为[5，20]．

（2）S＝102－－x≤102－2＝102－20，

当且仅当x＝10∈[5，20]时取等号，

答：当AB＝10米时，S取得最大值，最大值为102－20．

19. 如图，在四边形ACBD中，AB与CD交于点M，且.

（1）若，，求，的值；

（2）若，，，，求，满足的等量关系.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据已知条件可推得，，进而得出.根据，即可得出的值；

（2）根据数量积公式，求出.进而求出，又根据数量积公式有，即可得出.同理可得出，联立即可得出关系式.

【小问1详解】

由已知可得，.

又，所以.

所以，.

又，所以.

又，所以，.

【小问2详解】

由已知可得，，

则，

则.

则，

又,

所以，，则.

.

又，

所以，.

所以，有，

整理可得，.

20. 函数在一个周期内的图象如图所示，与为该图象上两点，且函数的一个零点为.

（1）求的解析式；

（2）将的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到的图象.令，求的最大值，若取得最大值时的值为，求.

【答案】（1）   

（2），

【解析】

【分析】（1）求出对称轴可得出函数周期，由周期求出，再由过点求出，代入求A，即可得出函数解析式；

（2）根据图象平移得出解析式，利用三角恒等变换化简，即可得出最大值及对应的自变量，再求出对应正切即可.

【小问1详解】

由图象过与知为函数的对称轴，

所以，即，

所以，

又函数图象经过，所以，即，

又，所以，

因为图象过点，所以，解得，

所以函数解析式为.

【小问2详解】

的图象向左平移个单位长度可得，

得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到，

所以

，

当，即时，有最大值，

此时.

21. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AC边上的点，.

（1）求的大小；

（2）若，，求BC的长.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由正弦定理角化边，整理可得，然后根据余弦定理即可求得，进而根据角的范围，即可得出答案；

（2）在以及中，分别根据余弦定理，结合，整理化简可得.在中，根据余弦定理推出.联立两个方程，即可得出答案.

【小问1详解】

由正弦定理以及已知可得，，

整理可得，.

由余弦定理可得，.

又，所以.

【小问2详解】

在中，由余弦定理可得，.

在中，由余弦定理可得，.

又，所以，

即，整理可得.

因为，

在中，由余弦定理可得，，

即，

整理可得，.

联立可得.

所以，.

22. 已知是定义在上的奇函数，.

（1）若时，的最大值为2，求的值；

（2）设直线，与函数的图象分别交于A，B两点，直线，与函数的图象分别交于C，D两点，若存在，且，使得，求的取值范围.

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据，求出，然后代入函数验证奇偶性.化简得到，结合的单调性，根据与0的关系，得到函数的单调性，进而得出最大值，列出方程，即可求出答案；

（2）写出各点的坐标，得出向量，根据易知即可得出.令，代入整理可得，令换元，根据题意结合对勾函数的单调性，即可求出的取值范围.

小问1详解】

因为为R上的奇函数，所以，

即，所以.

当时，，，

因此，为奇函数.

所以，.

当时，单调递增，

若，则恒成立，不符合题意；

若，则单调递增，此时，所以；

若，则单调递减，此时，所以.

综上所述，或.

【小问2详解】

由题意可得，，，，，

则，.

由可知，，

即，

设，

由题意可得，存在，使得.

.

令，该函数关于单调递增，且时，.

设，由题意可知在上不单调，

当时，不符合题意；

当时，对勾函数上单调递减，在上单调递增，

因此，解得.