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2022-2023年苏科版数学七年级下册专项复习精讲精练：期中模拟预测卷02（原卷版 解析版）
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期中模拟预测卷02
满分：150分
一、单选题(共24分)
1．(本题3分)小明读了“子非鱼，安知鱼之乐？”后，兴高采烈地画出了一幅鱼的图案．由图所示的图案通过平移后能得到的图案是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平移不改变图形的形状、大小和方向逐项进行判断即可．
【详解】解：∵平移不改变图形的形状、大小和方向，
∴将题图所示的图案通过平移后可以得到的图案是D选项中的图案，而其它三项皆改变了方向，通过平移不可能得到，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了图形的平移，解题的关键是熟练掌握平移的特点．
2．(本题3分)下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方法则，逐项分析可得答案．
【详解】解：A、，本选项符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，除法，幂的乘方．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
3．(本题3分)下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义解答即可．
【详解】A.从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左至右的变形属于整式乘法且计算错误，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式是解题的关键．
4．(本题3分)若下列各组值都代表线段的长度，则三条线段首尾顺次相接能构成三角形的是（ ）
A．3，3，4 B．4，9，5 C．5，18，8 D．9，15，3
【答案】A
【分析】根据三角形的三边关系逐一判断即可得答案．
【详解】解：A、，所以能构成三角形，故符合题意；
B、，所以不能构成三角形，故不符合题意；
C、，所以不能构成三角形，故不符合题意
D、，所以不能构成三角形，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，熟记三角形的三边关系是解题的关键．
5．(本题3分)计算的正确结果为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】将转化为，再利用积的乘方和零次幂的性质进行运算即可．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法，零次幂，熟悉运算法则是解题的关键．
6．(本题3分)如图，直线，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质得出，根据对顶角得出，根据三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，，
∴,
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形的外角性质，掌握以上知识是解题的关键．
7．(本题3分)如图，四边形、均为正方形，其中正方形面积为，若图中阴影部分面积为，则正方形面积为（ ）．
A．6 B．16 C．26 D．46
【答案】B
【分析】根据正方形面积为，得出正方形边长为，将阴影部分面积根据三角形面积公式表示出来可得，即可求解．
【详解】解：∵正方形面积为，
∴正方形边长为，
设正方形边长为x，则，
∴，，
∵阴影部分面积为，
∴，
整理得：，
∴，解得：，
∴正方形面积为．
故选：B．
【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积以及用平方差公式求解．．
8．(本题3分)如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H，点F是边AB上一点，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G．若∠BEG＝40°，则∠DEH的度数为（ ）
A．50° B．75° C．100° D．125°
【答案】C
【分析】∠BEG=∠FEG-∠FEB=，∠AEF=180°-∠FEG-∠HEG=180°-2β，在△AEF中，，AD∥BC，∠D=∠ABC，得到AB∥CD，由平行线的性质和邻补角的定义即可求解．
【详解】解：设∠FBE=∠FEB=α，则∠AFE=2α，
∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH=∠GEF=β，
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠D=∠ABC，
∴∠D+∠BAD=180°，
∴AB∥CD，
∵∠BEG=40°，
∴∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，
∵∠AEF=180°-∠FEG-∠HEG=180°-2β，
在△AEF中，180°-2β+2α+∠FAE=180°，
∴∠FAE=2β-2α=2（β-α）=80°，
∵AB∥CD，
∴∠CEH=∠FAE=80°，
∴∠DEH=180°-∠CEH=100°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平行线性质定理、三角形外角定理，本题关键是用有关α，β的等式表示出△AEF内角和为180°，题目难度较大．
二、填空题(共30分)
9．(本题3分)今年，新型冠状病毒再次肆虐全国多地，给人民的生活带来较大的影响.但在党和政府的领导下，全民共同抗疫，一定会取得最终的胜利.新型冠状病毒大小和形状比细菌小得多，其中有一种新型冠状病毒的大小约为85纳米，即0.000000085米，将数据0.000000085用科学记数法表示为______.
【答案】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．(本题3分)已知一个多边形的内角和与外角和的和为，则这个多边形的边数为__________．
【答案】11
【分析】根据多边形的外角和为，内角和为，列式计算即可．
【详解】解：设这个多边的边数为，由题意，得：，
解得：；
∴这个多边形的边数为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查多边形的内角和和外角和．熟练掌握多边形的外角和为，内角和为是解题的关键．
11．(本题3分)若，则_______．
【答案】或或
【分析】根据任意非零数的0次方为1、1的任意次方都为1、-1的偶次方为1，分类讨论，得出结论．
【详解】解：当时，即时，
，符合题意；
当时，即时，
，符合题意；
当时，即时，
，符合题意；
综上所述，或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查乘方的符号规律，零指数幂．正确掌握乘方的符号规律和零指数幂的公式，能分类讨论是解题关键．
12．(本题3分)若，用的代数式表示为_______
【答案】
【分析】根据积的乘方的逆运算，幂的乘方的逆运算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查积的乘方，幂的乘方的逆运算，掌握同底数幂运算法则是解题的关键．
13．(本题3分)已知，，，那么、、之间满足的等量关系是________．
【答案】
【分析】逆用积的乘方和幂的乘方，即可得出结论．
【详解】解：，
∴、、之间满足的等量关系是；
故答案为：．
【点睛】本题考查积的乘方和幂的乘方的逆用．熟练掌握积的乘方和幂的乘方的运算法则，是解题的关键．
14．(本题3分)如图，将沿、翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则的度数为______．
【答案】##80度
【分析】延长交于点．根据三角形内角和定理可求出．由翻折的性质可知，即得出，从而可求出．由三角形外角性质结合三角形内角和定理即可得出，从而可求出．
【详解】解：如图，延长交于点．
∵，
∴．
由翻折可知，
∴，即，
∴．
∵，，
∴，即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，翻折的性质．正确的作出辅助线是解题关键．
15．(本题3分)已知，，则的值为______．
【答案】57
【分析】将代数式变形后，再将，代入即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴
故答案为：57．
【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
16．(本题3分)若关于x的多项式是完全平方式，则m的值为_____________．
【答案】或##或
【分析】根据完全平方公式：，观察其构造得到，即可得出的值；
【详解】解：∵关于x的多项式是完全平方式，
∴，
当时，；
当时，；
综上所述，m的值为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查的是完全平方式，观察公式的构成是解题的关键．
17．(本题3分)如图，在五边形中，若去掉一个的角后得到一个六边形，则的度数为____________．
【答案】##210度
【分析】根据多边形的内角和定理可求得，，进而可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
18．(本题3分)已知，，的角平分线和的角平分线的反向延长线交于点P，且，则____________度．
【答案】24
【分析】延长KP交AB于F，设∠C=α，则∠BPG=2α+54°，利用三角形的外角性质，即可得到2α+54°-∠ABP=α+180°-（2α+54°）-∠CBP，再根据∠ABP=∠CBP，即可得出2α+54°=α+180°-（2α+54°），进而得到∠C的度数．
【详解】解：如图，延长KP交AB于F，
∵ABDE，DK平分∠CDE，
∴∠BFP=∠EDK=∠CDK，
设∠C=α，则∠BPG=2α+54°，
∵∠BPG是△BPF的外角，∠CDK是△CDG的外角，
∴∠BFP=∠BPG-∠ABP=2α+54°-∠ABP，∠CDK=∠C+∠CGD=α+∠BGP=α+（180°-∠BPG-∠CBP），
∴2α+54°-∠ABP=α+180°-（2α+54°）-∠CBP，
∵PB平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∴2α+54°=α+180°-（2α+54°），
解得α=24°．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，解答此题的关键是熟知以下知识：①三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和；②三角形的内角和是180°．
三、解答题(共96分)
19．(本题8分)计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可；
（2）根据同底数幂乘法和除法，积的乘方运算法则，合并同类项运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算和幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂运算法则，同底数幂乘法和除法，积的乘方运算法则，合并同类项运算法则，准确计算．
20．(本题8分)计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据多项式乘以单项式的法则即可求解；
（2）根据多项式乘以多项式的法则即可求解．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用法则，准确计算．
21．(本题8分)因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，然后根据平方差公式进行计算即可求解；
（2）先根据完全平方公式展开，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法以及乘法公式是解题的关键．
22．(本题8分)先化简，再求值：，其中，．
【答案】，9
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：
，
当，时，原式
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算——化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23．(本题10分)如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：
(1)画出；
(2)画出的高BD；
(3)若连接、，那么与的关系是______，的面积为______．
(4)在AB的右侧确定格点Q，使的面积和的面积相等，这样的Q点有______个．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)平行且相等，7.5；
(4)8个
【分析】（1）分别作出，，的对应点，，即可．
（2）根据三角形高的定义画出图形即可．
（3）利用分割法求解即可．
（4）构造菱形，利用等高模型解决问题即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作．
（2）解：如图，BD即为所求作．
（3）解：∵△ABC经过平移后得到，
∴，；
的面积．
故答案为：平行且相等，7.5．
（4）解：满足条件的点Q有8个．
【点睛】本题主要考查平移作图、平移的性质、三角形的面积、三角形的高等知识，灵活掌握平移作图及其性质是解答本的关键．
24．(本题10分)如图，已知：，
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求∠AFG的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）由，可证，得到，进一步证明，即可证明；
（2）先根据角之间的关系求出，再根据垂直的定义得到，则．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，垂直的定义，熟知同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
25．(本题10分)阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设①
则②
②①得，．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）______；
（2）求______；
（3）求的和；（请写出计算过程）
（4）求的和（其中且）．（请写出计算过程）
【答案】（1）221−2；（2）2-；（3）；（4）+
【分析】（1）根据阅读材料可得：设s＝①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果；
（2）设s＝①，s＝②，②−①即可得结果；
（3）设s＝①，-2s＝②，②−①即可得结果；
（4）设s＝①，as＝②，②−①得as-s=-a-，同理：求得-，进而即可求解．
【详解】解：根据阅读材料可知：
（1）设s＝①，
2s＝22＋23＋…＋220＋221②，
②−①得，2s−s＝s＝221−2；
故答案为：221−2；
（2）设s＝①，
s＝②，
②−①得，s−s＝-s＝-1，
∴s＝2-，
故答案为：2-；
（3）设s＝①
-2s＝②
②−①得，-2s−s＝-3s＝+2
∴s＝；
（4）设s＝①，
as＝②，
②-①得：as-s=-a-，
设m=-a-③，
am=-④，
④-③得：am-m=a-，
∴m=，
∴as-s=+，
∴s=+．
【点睛】本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算．
26．(本题10分)如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于多少？________．
(2)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是________；
(3)若，，求的值；
(4)拓展应用：若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)16；
(4)．
【分析】（1）由图2可知，阴影部分的正方形的边长为；
（2）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用含a和b的代数式表示可得出答案；
（3）由（1）可得出，整体代入数据即可得出答案；
（4）设，，则，，利用完全平方公式即可求解．
【详解】（1）解：由图2可知，阴影部分的正方形的边长为；
故答案为：；
（2）解：大正方形的边长为，阴影部分的正方形的边长为，小长方形的长为b，宽为a，
∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为，
由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和，
即．
故答案为：；
（3）解：∵，，
∴；
（4）解：设，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，理解图形中各部分面积之间的关系是解题关键．
27．(本题12分)数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
(1)探究一：
将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．
(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________；
(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．
(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求的值．
(6)类比以上探究，尝试因式分解：= ．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)
(5)252
(6)
【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得；
（2）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案；
（3）根据长方体的体积公式即可得；
（4）根据（2）和（3）的结论可得，再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案；
（5）先利用完全平方公式求出，再根据（4）的结论即可得；
（6）将改写成，再根据（4）的结论进行因式分解即可得．
（1）
解：图1中阴影部分的面积为，
图2中阴影部分的面积为，
拼图前后图形的面积不变，
，
可得一个多项式的分解因式为，
故答案为：．
（2）
解：由题意，得到的几何体的体积为，
故答案为：．
（3）
解：，
长方体②的体积为，
，
长方体③的体积为，
故答案为：，．
（4）
解：由（2）和（3）得：，
则可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为，
故答案为：．
（5）
解：，
，
．
（6）
解：由（4）可知，，
则
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键．
28．(本题12分)今年除夕夜长江两岸的灯光秀璀璨夺目，照亮山城的山水桥梁城市楼阁，人民欢欣鼓舞．观看表演的小语同学发现两岸的灯光运动是有规律的，如图1所示，灯A射出的光线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射出的光线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停旋转．
假设长江两岸是平行的，即，点A在上，B、C、D在上，连接、、，已知平分，平分．
(1)如图1，若，则______；
(2)如图2，在上另有一点E，连接交于点F，点G在上，连接，若，，试证明：．
(3)如图3，已知灯A射出的光线旋转的速度是每秒，灯B射出的光线旋转的速度是每秒，若灯B射出的光线从出发先转动2秒，灯A射出的光线才从出发开始转动，设灯A转动的时间为t秒，在转动过程中，当时，请直接写出灯A射出的光线与灯B射出的光线相交且互相垂直时的时间t的值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)的值秒或秒或秒
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等，得出，再根据平角的定义，得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据角之间的数量关系，计算即可得出答案；
（2）根据角平分线的定义，得出，进而得出，再根据对顶角相等和三角形的内角和定理，得出，，进而得出，再根据等量代换，得出，即，再根据角平分线的定义，得出，再根据等量代换，得出，再根据内错角相等两直线平行，即可得出结论；
（3）根据题意，分三种情况：当时、当时、当时，分别画出图形，根据角之间的数量关系，列出方程进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故答案为：
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，即，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当时，如下图，
，，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：；
当时，如下图，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当时，如下图，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
综上所述，的值秒或秒或秒．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、对顶角相等、三角形的内角和定理、一元一次方程的应用，解本题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答．
期中模拟预测卷02
满分：150分
一、单选题(共24分)
1．(本题3分)小明读了“子非鱼，安知鱼之乐？”后，兴高采烈地画出了一幅鱼的图案．由图所示的图案通过平移后能得到的图案是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平移不改变图形的形状、大小和方向逐项进行判断即可．
【详解】解：∵平移不改变图形的形状、大小和方向，
∴将题图所示的图案通过平移后可以得到的图案是D选项中的图案，而其它三项皆改变了方向，通过平移不可能得到，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了图形的平移，解题的关键是熟练掌握平移的特点．
2．(本题3分)下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方法则，逐项分析可得答案．
【详解】解：A、，本选项符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，除法，幂的乘方．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
3．(本题3分)下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义解答即可．
【详解】A.从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左至右的变形属于整式乘法且计算错误，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式是解题的关键．
4．(本题3分)若下列各组值都代表线段的长度，则三条线段首尾顺次相接能构成三角形的是（ ）
A．3，3，4 B．4，9，5 C．5，18，8 D．9，15，3
【答案】A
【分析】根据三角形的三边关系逐一判断即可得答案．
【详解】解：A、，所以能构成三角形，故符合题意；
B、，所以不能构成三角形，故不符合题意；
C、，所以不能构成三角形，故不符合题意
D、，所以不能构成三角形，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，熟记三角形的三边关系是解题的关键．
5．(本题3分)计算的正确结果为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】将转化为，再利用积的乘方和零次幂的性质进行运算即可．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法，零次幂，熟悉运算法则是解题的关键．
6．(本题3分)如图，直线，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质得出，根据对顶角得出，根据三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，，
∴,
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形的外角性质，掌握以上知识是解题的关键．
7．(本题3分)如图，四边形、均为正方形，其中正方形面积为，若图中阴影部分面积为，则正方形面积为（ ）．
A．6 B．16 C．26 D．46
【答案】B
【分析】根据正方形面积为，得出正方形边长为，将阴影部分面积根据三角形面积公式表示出来可得，即可求解．
【详解】解：∵正方形面积为，
∴正方形边长为，
设正方形边长为x，则，
∴，，
∵阴影部分面积为，
∴，
整理得：，
∴，解得：，
∴正方形面积为．
故选：B．
【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积以及用平方差公式求解．．
8．(本题3分)如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H，点F是边AB上一点，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G．若∠BEG＝40°，则∠DEH的度数为（ ）
A．50° B．75° C．100° D．125°
【答案】C
【分析】∠BEG=∠FEG-∠FEB=，∠AEF=180°-∠FEG-∠HEG=180°-2β，在△AEF中，，AD∥BC，∠D=∠ABC，得到AB∥CD，由平行线的性质和邻补角的定义即可求解．
【详解】解：设∠FBE=∠FEB=α，则∠AFE=2α，
∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH=∠GEF=β，
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠D=∠ABC，
∴∠D+∠BAD=180°，
∴AB∥CD，
∵∠BEG=40°，
∴∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，
∵∠AEF=180°-∠FEG-∠HEG=180°-2β，
在△AEF中，180°-2β+2α+∠FAE=180°，
∴∠FAE=2β-2α=2（β-α）=80°，
∵AB∥CD，
∴∠CEH=∠FAE=80°，
∴∠DEH=180°-∠CEH=100°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平行线性质定理、三角形外角定理，本题关键是用有关α，β的等式表示出△AEF内角和为180°，题目难度较大．
二、填空题(共30分)
9．(本题3分)今年，新型冠状病毒再次肆虐全国多地，给人民的生活带来较大的影响.但在党和政府的领导下，全民共同抗疫，一定会取得最终的胜利.新型冠状病毒大小和形状比细菌小得多，其中有一种新型冠状病毒的大小约为85纳米，即0.000000085米，将数据0.000000085用科学记数法表示为______.
【答案】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．(本题3分)已知一个多边形的内角和与外角和的和为，则这个多边形的边数为__________．
【答案】11
【分析】根据多边形的外角和为，内角和为，列式计算即可．
【详解】解：设这个多边的边数为，由题意，得：，
解得：；
∴这个多边形的边数为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查多边形的内角和和外角和．熟练掌握多边形的外角和为，内角和为是解题的关键．
11．(本题3分)若，则_______．
【答案】或或
【分析】根据任意非零数的0次方为1、1的任意次方都为1、-1的偶次方为1，分类讨论，得出结论．
【详解】解：当时，即时，
，符合题意；
当时，即时，
，符合题意；
当时，即时，
，符合题意；
综上所述，或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查乘方的符号规律，零指数幂．正确掌握乘方的符号规律和零指数幂的公式，能分类讨论是解题关键．
12．(本题3分)若，用的代数式表示为_______
【答案】
【分析】根据积的乘方的逆运算，幂的乘方的逆运算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查积的乘方，幂的乘方的逆运算，掌握同底数幂运算法则是解题的关键．
13．(本题3分)已知，，，那么、、之间满足的等量关系是________．
【答案】
【分析】逆用积的乘方和幂的乘方，即可得出结论．
【详解】解：，
∴、、之间满足的等量关系是；
故答案为：．
【点睛】本题考查积的乘方和幂的乘方的逆用．熟练掌握积的乘方和幂的乘方的运算法则，是解题的关键．
14．(本题3分)如图，将沿、翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则的度数为______．
【答案】##80度
【分析】延长交于点．根据三角形内角和定理可求出．由翻折的性质可知，即得出，从而可求出．由三角形外角性质结合三角形内角和定理即可得出，从而可求出．
【详解】解：如图，延长交于点．
∵，
∴．
由翻折可知，
∴，即，
∴．
∵，，
∴，即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，翻折的性质．正确的作出辅助线是解题关键．
15．(本题3分)已知，，则的值为______．
【答案】57
【分析】将代数式变形后，再将，代入即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴
故答案为：57．
【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
16．(本题3分)若关于x的多项式是完全平方式，则m的值为_____________．
【答案】或##或
【分析】根据完全平方公式：，观察其构造得到，即可得出的值；
【详解】解：∵关于x的多项式是完全平方式，
∴，
当时，；
当时，；
综上所述，m的值为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查的是完全平方式，观察公式的构成是解题的关键．
17．(本题3分)如图，在五边形中，若去掉一个的角后得到一个六边形，则的度数为____________．
【答案】##210度
【分析】根据多边形的内角和定理可求得，，进而可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
18．(本题3分)已知，，的角平分线和的角平分线的反向延长线交于点P，且，则____________度．
【答案】24
【分析】延长KP交AB于F，设∠C=α，则∠BPG=2α+54°，利用三角形的外角性质，即可得到2α+54°-∠ABP=α+180°-（2α+54°）-∠CBP，再根据∠ABP=∠CBP，即可得出2α+54°=α+180°-（2α+54°），进而得到∠C的度数．
【详解】解：如图，延长KP交AB于F，
∵ABDE，DK平分∠CDE，
∴∠BFP=∠EDK=∠CDK，
设∠C=α，则∠BPG=2α+54°，
∵∠BPG是△BPF的外角，∠CDK是△CDG的外角，
∴∠BFP=∠BPG-∠ABP=2α+54°-∠ABP，∠CDK=∠C+∠CGD=α+∠BGP=α+（180°-∠BPG-∠CBP），
∴2α+54°-∠ABP=α+180°-（2α+54°）-∠CBP，
∵PB平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∴2α+54°=α+180°-（2α+54°），
解得α=24°．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，解答此题的关键是熟知以下知识：①三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和；②三角形的内角和是180°．
三、解答题(共96分)
19．(本题8分)计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可；
（2）根据同底数幂乘法和除法，积的乘方运算法则，合并同类项运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算和幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂运算法则，同底数幂乘法和除法，积的乘方运算法则，合并同类项运算法则，准确计算．
20．(本题8分)计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据多项式乘以单项式的法则即可求解；
（2）根据多项式乘以多项式的法则即可求解．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用法则，准确计算．
21．(本题8分)因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，然后根据平方差公式进行计算即可求解；
（2）先根据完全平方公式展开，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法以及乘法公式是解题的关键．
22．(本题8分)先化简，再求值：，其中，．
【答案】，9
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：
，
当，时，原式
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算——化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23．(本题10分)如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：
(1)画出；
(2)画出的高BD；
(3)若连接、，那么与的关系是______，的面积为______．
(4)在AB的右侧确定格点Q，使的面积和的面积相等，这样的Q点有______个．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)平行且相等，7.5；
(4)8个
【分析】（1）分别作出，，的对应点，，即可．
（2）根据三角形高的定义画出图形即可．
（3）利用分割法求解即可．
（4）构造菱形，利用等高模型解决问题即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作．
（2）解：如图，BD即为所求作．
（3）解：∵△ABC经过平移后得到，
∴，；
的面积．
故答案为：平行且相等，7.5．
（4）解：满足条件的点Q有8个．
【点睛】本题主要考查平移作图、平移的性质、三角形的面积、三角形的高等知识，灵活掌握平移作图及其性质是解答本的关键．
24．(本题10分)如图，已知：，
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求∠AFG的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）由，可证，得到，进一步证明，即可证明；
（2）先根据角之间的关系求出，再根据垂直的定义得到，则．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，垂直的定义，熟知同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
25．(本题10分)阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设①
则②
②①得，．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）______；
（2）求______；
（3）求的和；（请写出计算过程）
（4）求的和（其中且）．（请写出计算过程）
【答案】（1）221−2；（2）2-；（3）；（4）+
【分析】（1）根据阅读材料可得：设s＝①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果；
（2）设s＝①，s＝②，②−①即可得结果；
（3）设s＝①，-2s＝②，②−①即可得结果；
（4）设s＝①，as＝②，②−①得as-s=-a-，同理：求得-，进而即可求解．
【详解】解：根据阅读材料可知：
（1）设s＝①，
2s＝22＋23＋…＋220＋221②，
②−①得，2s−s＝s＝221−2；
故答案为：221−2；
（2）设s＝①，
s＝②，
②−①得，s−s＝-s＝-1，
∴s＝2-，
故答案为：2-；
（3）设s＝①
-2s＝②
②−①得，-2s−s＝-3s＝+2
∴s＝；
（4）设s＝①，
as＝②，
②-①得：as-s=-a-，
设m=-a-③，
am=-④，
④-③得：am-m=a-，
∴m=，
∴as-s=+，
∴s=+．
【点睛】本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算．
26．(本题10分)如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于多少？________．
(2)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是________；
(3)若，，求的值；
(4)拓展应用：若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)16；
(4)．
【分析】（1）由图2可知，阴影部分的正方形的边长为；
（2）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用含a和b的代数式表示可得出答案；
（3）由（1）可得出，整体代入数据即可得出答案；
（4）设，，则，，利用完全平方公式即可求解．
【详解】（1）解：由图2可知，阴影部分的正方形的边长为；
故答案为：；
（2）解：大正方形的边长为，阴影部分的正方形的边长为，小长方形的长为b，宽为a，
∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为，
由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和，
即．
故答案为：；
（3）解：∵，，
∴；
（4）解：设，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，理解图形中各部分面积之间的关系是解题关键．
27．(本题12分)数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
(1)探究一：
将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．
(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________；
(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．
(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求的值．
(6)类比以上探究，尝试因式分解：= ．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)
(5)252
(6)
【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得；
（2）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案；
（3）根据长方体的体积公式即可得；
（4）根据（2）和（3）的结论可得，再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案；
（5）先利用完全平方公式求出，再根据（4）的结论即可得；
（6）将改写成，再根据（4）的结论进行因式分解即可得．
（1）
解：图1中阴影部分的面积为，
图2中阴影部分的面积为，
拼图前后图形的面积不变，
，
可得一个多项式的分解因式为，
故答案为：．
（2）
解：由题意，得到的几何体的体积为，
故答案为：．
（3）
解：，
长方体②的体积为，
，
长方体③的体积为，
故答案为：，．
（4）
解：由（2）和（3）得：，
则可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为，
故答案为：．
（5）
解：，
，
．
（6）
解：由（4）可知，，
则
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键．
28．(本题12分)今年除夕夜长江两岸的灯光秀璀璨夺目，照亮山城的山水桥梁城市楼阁，人民欢欣鼓舞．观看表演的小语同学发现两岸的灯光运动是有规律的，如图1所示，灯A射出的光线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射出的光线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停旋转．
假设长江两岸是平行的，即，点A在上，B、C、D在上，连接、、，已知平分，平分．
(1)如图1，若，则______；
(2)如图2，在上另有一点E，连接交于点F，点G在上，连接，若，，试证明：．
(3)如图3，已知灯A射出的光线旋转的速度是每秒，灯B射出的光线旋转的速度是每秒，若灯B射出的光线从出发先转动2秒，灯A射出的光线才从出发开始转动，设灯A转动的时间为t秒，在转动过程中，当时，请直接写出灯A射出的光线与灯B射出的光线相交且互相垂直时的时间t的值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)的值秒或秒或秒
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等，得出，再根据平角的定义，得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据角之间的数量关系，计算即可得出答案；
（2）根据角平分线的定义，得出，进而得出，再根据对顶角相等和三角形的内角和定理，得出，，进而得出，再根据等量代换，得出，即，再根据角平分线的定义，得出，再根据等量代换，得出，再根据内错角相等两直线平行，即可得出结论；
（3）根据题意，分三种情况：当时、当时、当时，分别画出图形，根据角之间的数量关系，列出方程进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故答案为：
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，即，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当时，如下图，
，，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：；
当时，如下图，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当时，如下图，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
综上所述，的值秒或秒或秒．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、对顶角相等、三角形的内角和定理、一元一次方程的应用，解本题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答．
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