2022-2023学年湖北省孝感市孝南区文昌中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年湖北省孝感市孝南区文昌中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共7小题，共21.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图是由个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

2.  北斗卫星导航系统是我国着眼于经济社会发展需要，自主建设、独立运行的卫星导航系统，属于国家重要空间基础设施．截止年月，北斗高精度时空服务覆盖全球百余个国家和地区，累计服务超亿人口，请将亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家．下面的数据是部分获奖者获奖时的年龄单位：岁：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  如图，，是的弦，延长，相交于点已知，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，四边形是菱形，，点是中点，是对角线上一点，且，则：的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

8.  要使分式有意义，则的取值范围为_________．

9.  分解因式：______．

10.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ．

11.  从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识决赛，经过两轮测试，他们的平均成绩都是，方差分别是，，，你认为最适合参加决赛的选手是______ 填“甲”或“乙”或“丙”．

12.  如图，在中，，，把沿方向平移，得到，连结，则四边形的周长为______．

13.  如图，小明在一块平地上测山高，先在处测得山顶的仰角为，然后向山脚直行米到达处，再测得山顶的仰角为，那么山高约是______米结果保留整数，参考数据：，．

14.  将从开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示，则表示的有序数对是        ．
 

15.  如图，在中，，动点从点出发沿以每秒个单位长度的速度匀速运动到点，过点作的垂线，垂足为，设点的运动时间为，的面积为，与之间的函数关系图象如图所示，则图中最高点的纵坐标的值为        ．
 

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

16.  计算：

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
某汽车贸易公司销售、两种型号的新能源汽车，型车进货价格为每台万元，型车进货价格为每台万元，该公司销售台型车和台型车，可获利万元，销售台型车和台型车，可获利万元．
求销售一台型、一台型新能源汽车的利润各是多少万元？
该公司准备用不超过万元资金，采购、两种新能源汽车共台，问最少需要采购型新能源汽车多少台？

18.  本小题分
在月日世界读书日来临之际，为了解某校九年级班同学们的阅读爱好，要求所有同学从类书籍中：文学类；：科幻类；：军事类；：其他类，选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：

求九年级班的人数并补全条形统计图；
在扇形统计图中，求的值；
如果选择类书籍的同学中有名女同学，其余为男同学，现要在选择类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．

19.  本小题分
如图所示，直线与双曲线交于、两点，已知点的纵坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，，．
求直线的解析式；
若点是第二象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的倍，求点的坐标；
直接写出不等式的解集．
 

20.  本小题分
如图，的直径，弦，的平分线交于，过点作交的延长线于点．
求证：是的切线．
求图中阴影部分的面积．

21.  本小题分
中考临近，七一中学、七一华源中学食堂为提高全体初三学子伙食，精心购买、两种食材共，食材的价格为每千克元，当食材购买量不大于时，食材的价格为每千克元，当食材购买量大于时，每增加，食材的价格降低元．设购买种食材为的整数倍．
若，购买、两种食材共花了元，求、两种食材各多少千克？
若，且购买食材的数量不少于食材数量的一半，求购买种食材多少千克时，购买的总费用最少，最少总费用是多少元？
若购买食材不超过，购买食材超过，商家获得的最大销售额为元，求的值．

22.  本小题分
在中，，，线段绕点逆时针旋转至不与重合，旋转角记为，的平分线与射线相交于点，连接．

如图，当时，的度数是        ；
如图，当时，求证：；
当，时，请直接写出的值．

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，点为为物线上一动点．
求抛物线和直线的解析式；
如图，点为第一象限内抛物线上的点，过点作，垂足为，作轴，垂足为，交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点坐标；
点为抛物线对称轴上的动点，是否存在点，使得直线垂直平分线段？若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：从上面看，是一行三个小正方形．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法：把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：，其中，为正整数．】
本题主要考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握应用科学记数法表示较大的数的方法进行求解是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法判断选项；根据去括号法则判断选项；根据单项式乘多项式判断选项；根据完全平方公式判断选项．
本题考查了整式的混合运算，掌握是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
根据众数和中位数的定义即可得正确选项．
【解答】
解：出现的次数最多，
这组数据的众数是，
将这组数据按从小到大排列，排在中间的两个数分别为，，故这组数据的中位数为．
故选：．
【点评】
本题主要考查众数和中位数，掌握求众数和中位数的方法是解题关键．  

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，，
，，
，
，
．
的度数．
故选：．
根据圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．
本题主要考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系定理，熟练掌握相关的定理是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，交于点，连接，

四边形是菱形，
，，，，，
，
是等边三角形，
，
，点是中点，
，
设，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，交于点，连接，根据菱形的性质可得，，，，，从而可得是等边三角形，进而可得，再根据直角三角形斜边上的中线可得，然后设，则，在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，最后利用等腰三角形的性质，以及三角形的外角求出，从而可得，即可求出，的长，进行计算即可解答．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】先根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
解：分式有意义，
，解得．
故答案为：．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了公式法分解因式，运用完全平方公式进行因式分解，熟记公式是解题的关键．
直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】
解：，
故答案为．  

10.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，
解得．
故答案为：．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，代入求解即可．
本题考查一元二次方程根的判别式，牢记：根的判别式为，若一元二次方程，有两个不相等的实数根，则；若有两个相等的实数根，则；若无实数根，则．
 

11.【答案】乙 

【解析】解：，，，
，
最适合参加决赛的选手是乙．
故答案为：乙．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

12.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
．
把沿方向平移，得到，
，，，
．
四边形的周长为．
故答案为：．
利用含角的直角三角形的性质，勾股定理和平移的性质，求得四边形的四边即可求得结论．
本题主要考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理和平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得米，
设米，则米，
在中，，
米，
在中，，
解得．
山高约为米．
故答案为：．
由题意得米，设米，则米，米，在中，，解方程即可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：第行的第一个数字：，
第行的第一个数字：，
第行的第一个数字：，
第行的第一个数字：，
第行的第一个数字：，
，
设第行的第一个数字为，得，
设第行的第一个数字为，得，
设第行，从左到右第个数为，
当时，，
，
为整数，
，
，
；
故答案为：．
分析每一行的第一个数字的规律，得出第行的第一个数字为，从而求得最终的答案．
本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图可知，，
．
，
．
由题意得：当时，点在上运动，
如图，．

，
．
，
∽，
，即，
，，
，
，
该抛物线对称轴为直线，
．
故答案为：．
由图象结合题意可得出，，进而由勾股定理可求出易证∽，得出，从而求得，，进而得出，最后由三角形的面积公式结合二次函数的性质即可解答．
本题考查动点问题的函数图象，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
 

16.【答案】解：原式


． 

【解析】

【分析】
根据实数的运算法则，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值直接计算即可．
【解答】
解：原式


．
【点评】
本题考查实数的运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握知识点，正确计算．  

17.【答案】解：设销售一台型新能源汽车的利润是万元，销售一台型新能源汽车的利润是万元，
依题意得：，
解得：．
答：销售一台型新能源汽车的利润是万元，销售一台型新能源汽车的利润是万元．
设需要采购型新能源汽车台，则采购型新能源汽车台，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
可以取的最小值为．
答：最少需要采购型新能源汽车台． 

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
设销售一台型新能源汽车的利润是万元，销售一台型新能源汽车的利润是万元，根据“销售台型车和台型车，可获利万元，销售台型车和台型车，可获利万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设需要采购型新能源汽车台，则采购型新能源汽车台，根据总价单价数量，结合总价不超过万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
 

18.【答案】解：九年级班的人数为：人，
选择类书籍的人数为：人，
补全条形统计图如图所示；
，
则；

选择类书籍的同学共人，有名女同学，
有名男同学，
画树状图如图所示：








由树状图可知，共有种情况，其中恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的有种情况，
则一男一女． 

【解析】根据选择类书籍的同学的人数和百分比计算，求出九年级班的人数，求出选择类书籍的人数，补全条形统计图；
求出选择类书籍的人数，求出；
根据题意画出树状图，求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．
本题考查的是求随机事件的概率、条形统计图和扇形统计图，能够正确从统计图中获取相关的信息是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，
过点作轴于，
，
在中，，
设，则，
根据勾股定理得，，
，
或舍，
，，
，
点在双曲线上，
，
双曲线的解析式为，
点在双曲线上，且纵坐标为，
，
，
，
将点，代入直线中得，，
，
直线的解析式为；

如图，连接，，；
由知，直线的解析式为，
，
，
由知，，
，
的面积是的面积的倍，
，
由知，直线的解析式为，
令，则，
，
，
设点的纵坐标为，
，
，
由知，双曲线的解析式为，
点在双曲线上，
，
，
；

由知，，，
由图象知，不等式的解集为或． 

【解析】过点作轴于，根据锐角三角函数和勾股定理求出点，进而求出双曲线的解析式，进而求出点的坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；
连接，，，先求出，进而求出，进而得出，再求出，设点的纵坐标为，再用，求出点的纵坐标，即可得出结论；
直接利用图象即可得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了锐角三角函数，勾股定理，待定系数法，坐标系中求三角形面积的方法，求出点的坐标是解本题的关键．
 

20.【答案】证明：连接，

是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：过点作，垂足为，

，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
阴影部分的面积的面积正方形的面积扇形的面积


，
阴影部分的面积为 

【解析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用角平分线的性质可得，然后利用圆周角定理可得，最后根据平行线的性质求出，即可解答；
过点作，垂足为，再利用的结论，可证四边形是正方形，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再利用平行线的性质可得，从而证明∽，进而利用相似三角形的性质求出的长，最后根据阴影部分的面积的面积正方形的面积扇形的面积，进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，正方形的判定，相似三角形的判定与性质，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】解：由于购买种食材千克，则购买种食材千克，
当时，购买种食材的价格为每千克元，
由题意得十，
解得：，
则，
答：购买种食材千克，种食材千克；
当时，购买种食材的价格为每千克元，设购买的总费用为元，
由题意得，
整理得，
即是的二次函数，其对称轴为直线，
且为的整数倍，
且为的整数倍，
，
函数图象开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
为的整数倍，
当时，有最小值，最小值为十，
此时，
购买种食材千克时，购买的总费用最少，最少总费用是元；
由题意，结合可得，令十，
解得：，，
购买食材超过千克，
应舍去，只取，
． 

【解析】设购买种食材千克，则购买种食材千克，根据题意列出方程求解即可；
根据总费用，两种食材费用之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；
令中解析式，则解一元二次方程即可．
本题考查了二次函数和一元一次方程以及一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或方程．
 

22.【答案】 

【解析】解：由旋转可知．
，
．
，是的平分线，
，
．
故答案为：；
证明：如图，延长到，使，连接．

，，
．
平分，
，
，
≌，
，，．
，
．
，
．
，
．
，
．
，，
．
，，
≌，
，，
，
为等腰直角三角形，
．
，
；
解：分类讨论：当时，
由可知，，，
，
，
；
当时，如图，在线段上取点，使得，

由同理易证≌≌，
，，，，，
，
，
，
．
为等腰直角三角形，
，
，
；
综上所述，当，时，的值为或．
根据旋转的性质可知，当时，可根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理计算出的角度．再由，是的平分线可知，最后由三角形外角的性质，即得出；
延长到，使，连接先证明≌，可推导、、，再由已知条件及等腰三角形的性质推导，然后证明≌，推导，最后根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可证明；
分两种情况讨论：当时，借助可知，，，再结合题意可得出，最后根据正切的定义求解即可；当时，在线段上取点，使得，由同理易证≌≌，即得出，，，，，进而可求出，又知为等腰直角三角形，即得出，从而可推出，最后根据正切的定义即可求解．
本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相关性质，并通过作辅助线构建全等三角形．
 

23.【答案】解：抛物线经过点和点，
，
解得，
抛物线的解析式为：；
设直线的解析式为：，
，
解得．
直线的解析式为：．
如图，设直线与轴交于点，
，
，，，
，，
，
，，
，
∽，
：：：：：：，
，，
，
设点的横坐标为，则，
，，
，，，
，
，
，
：，解得或舍，

存在，点的坐标为或理由如下：
由抛物线的解析式可知，，
，
．
如图，当点在直线上方时，如图所示，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线交于点，

垂直平分，
，，
，
，
，
≌，
，，
抛物线的对称轴为，
，
，
令，
解得或舍，
，
，
；
当点在直线下方时，如图所示，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴于点．

垂直平分，
，，
，
，
，
≌，
，，
抛物线的对称轴为，
，
，
令，
解得舍或，
，
，

综上，存在，点的坐标为或 

【解析】将，的坐标分别代入抛物线和直线的解析式，组成方程组，解之即可；
如图，设直线与轴交于点，易证∽，所以：：：：：：，所以，，则，设点的横坐标为，则，所以，，则，，，由三角形的面积分别表达和，利用给出比例建立方程即可；
当点在直线上方时，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线交于点，可证明≌，进而可得点的纵坐标为，代入即可得出的长，即可得出点的坐标；当点在直线下方时，如图所示，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴于点同理可得≌，求出的长和的长，进而可得出点的坐标．
本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，三角形的面积，全等三角形的性质与判定等知识，第问解题关键是将垂直平分的条件转化为三角形的全等，得出线段之间的关系．