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江苏省南京市第一中学实验学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷
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这是一份江苏省南京市第一中学实验学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷，共21页。试卷主要包含了若，则等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年南京一中实验学校高二下期中试卷
一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）
1．已知等差数列{an}中，a4＝4，则a2+a3+a7的值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
2．如图，在四面体OABC中，G是BC的中点，设，，，则＝（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
3．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，则A1C的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
6．已知王大爷养了5只鸡和3只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的距离的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．2
8．若（2x﹣1）2022＝a0+a1x+a2x2+⋯+a2022x2022（x∈R），则＝（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
9．若，则（ ）
A．展开式中所有的二项式系数之和为22022
B．展开式中二项式系数最大的项为第1012项
C．a0＝0
D．a1+a2+a3+⋯+a2022＝﹣1
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝﹣n2+31n，则下列说法正确的是（ ）
A．an＝﹣2n+32
B．S17为Sn中的最大项
C．
D．|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a30|＝430
11．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）满足f（x）＜f′（x），则（ ）
A．f（1）＜ef（0） B．f（1）＞ef（0）
C．ef（ln2）＜2f（1） D．ef（ln2）＞2f（1）
12．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论正确的是（ ）
A．平面CMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D所得的截面图形是五边形
B．直线B1D1到平面CMN的距离是
C．存在点P，使得∠B1PD1＝90°
D．△PDD1面积的最小值是
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．在的展开式中，第3项和第6项的二项式系数相等，则展开式中x5的系数为 ．
14．等差数列{an}中的a4，a2016是函数f（x）＝x3﹣6x2+4x﹣1的极值点，则＝ ．
15．牛顿迭代法又称牛顿﹣拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r是函数y＝f（x）的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，作曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1次近似值；作曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线l2，设l2与x轴交点的横坐标为x2，并称x2为r的2次近似值．一般的，作曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））（n∈N）处的切线ln+1，记ln+1与x轴交点的横坐标为xn+1，并称xn+1为r的n+1次近似值．
设f（x）＝x3+x﹣1的零点为r，取x0＝0，则r的2次近似值为 ．
16．如图，棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱CC1上一点，且，M为平面BDC1内一动点，则MC+MP的最小值为 ．
四．解答题（共6小题，共70分）
17．（10分）已知数列{an}（n∈N+）满足a1＝1，，且．
（1）求数列{bn}是通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
18．（12分）已知函数f（x）＝ax3+bx+2在x＝2处取得极值-14．
（1）求a，b的值；
（2）求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；
（3）求函数f（x）在[﹣3，3]上的最值．
19．（12分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝2．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P﹣CD﹣B的大小；
（3）求点C到平面PBD的距离．
20．（12分）我国某沙漠，曾被称为“死亡之海”，截止2018年年底该地区的绿化率只有，计划从2019年开始使用无人机飞播造林，弹射的种子可以直接打入沙面里头，实现快速播种，每年原来沙漠面积的将被改为绿洲，但同时原有绿洲面积的还会被沙漠化．设该地区的面积为1，2018年年底绿洲面积为，经过一年绿洲面积为a1……经过n年绿洲面积为an，
（1）求经过n年绿洲面积an；
（2）截止到哪一年年底，才能使该地区绿洲面积超过？（取lg2＝0.30，lg3＝0.48）
21．（12分）记Sn为数列{an}的前n项的和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令，记数列{bn}的前n项和为Tn，试求T2n﹣1除以3的余数．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣m﹣xlnx﹣（m﹣1）x；
（1）若m＝1，求证：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）若g（x）＝f'（x），试讨论g（x）零点的个数．
2022-2023学年南京一中实验学校高二下期中试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知等差数列{an}中，a4＝4，则a2+a3+a7的值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【解答】解：a2+a3+a7=3 a1+9d=3(a1+3d)=3 a4＝12，
故选：C．
2．如图，在四面体OABC中，G是BC的中点，设，，，则＝（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
【解答】解：＝，，
则＝．
故选：B．
3．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为α，底面圆的半径为r，母线长为l，
因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，
所以，则αl＝2πr，
解得．
故选：C．
4．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，则A1C的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：根据平行四边形法则可得，
∵AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，
∴||2＝（）2＝|A1A|2+|AB|2+|BC|2+2+2+2＝4+4+4+2×2×2×2×cos120°+0＝4，
∴A1C＝2．
故选：B．
5．图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【解答】解：设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，
由题意得：k1＝k3﹣0.2，k2＝k3﹣0.1，
且，
解得k3＝0.9，
故选：D．
6．已知王大爷养了5只鸡和3只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：5只鸡和3只兔子走出房子的所有结果为，
恰有2只兔子相邻的结果为，
故概率值为．
故选：D．
7．点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的距离的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【解答】解：由题意作图如下，
当点P是曲线的切线中与直线y＝x﹣2平行的直线的切点时，最近；
故令y′＝2x﹣＝1解得，x＝1；
故点P的坐标为（1，1）；
故点P到直线y＝x﹣2的最小值为＝；
故选：B．
8．若（2x﹣1）2022＝a0+a1x+a2x2+⋯+a2022x2022（x∈R），则＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：展开式中含x的系数为a＝﹣4044，
令x＝0，可得a0＝1，令x＝，则a+...+＝（2×）2022＝0，
所以＝0﹣1﹣＝2021，
所以+...+＝＝，
故选：D．
二．多选题（共4小题）
9．若，则（ ）
A．展开式中所有的二项式系数之和为22022
B．展开式中二项式系数最大的项为第1012项
C．a0＝0
D．a1+a2+a3+⋯+a2022＝﹣1
【解答】解：因为x2022＝[﹣1+（x+1）]2022＝a+...+a，
选项A：展开式的二项式系数和为22022，故A正确，
选项B：因为n＝2022，所以展开式的二项式系数的最大项为第1012项，故B正确，
选项C：令x+1＝0，则a，故C错误，
选项D：令x+1＝1，则a0+a1+...+a2022＝0，所以a1+a2+...+a2022＝0﹣1＝﹣1，故D正确，
故选：ABD．
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝﹣n2+31n，则下列说法正确的是（ ）
A．an＝﹣2n+32
B．S17为Sn中的最大项
C．
D．|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a30|＝430
【解答】解：对于A：当n＝1时，a1＝30；当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣2n+32，
经检验，当n＝1时，a1＝﹣2+32＝30，故an＝﹣2n+32，A正确；
对于B：令an＝﹣2n+32≥0，则n≤16，故当n＞17时，an＜0，故S15和S16为Sn中的最大项，B错误；
对于C：，C正确；
对于D：|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a30|＝（a1+a2+⋯+a16）﹣（a17+a18+⋯+a30）＝，D错误．
故选：AC．
11．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）满足f（x）＜f′（x），则（ ）
A．f（1）＜ef（0） B．f（1）＞ef（0）
C．ef（ln2）＜2f（1） D．ef（ln2）＞2f（1）
【解答】解：设g（x）＝，
则＞0，
则函数g（x）为增函数，
又1＞ln2＞0，
则g（1）＞g（0），g（1）＞g（ln2），
即，，
即f（1）＞ef（0），2f（1）＞ef（ln2），
故选：BC．
12．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论正确的是（ ）
A．平面CMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D所得的截面图形是五边形
B．直线B1D1到平面CMN的距离是
C．存在点P，使得∠B1PD1＝90°
D．△PDD1面积的最小值是
【解答】解：对于A，如图直线MN与C1B1、C1D1的延长线分别交于M1，N1，
连接CM1，CN1分别交BB1，DD1于M2，N2，连接MM2，NN2，
则五边形MM2CN2N即为所得的截面图形，故A正确；
对于B，由题可知MN∥B1D1，MN⊂平面CMN，B1D1⊄平面CMN，
所以B1D1∥平面CMN，故点B1到平面CMN的距离即为直线B1D1到平面CMN的距离，
设点B1到平面CMN的距离为h，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
可得CM＝CN＝3，MN＝，S△CMN＝××＝，
所以V＝S△CMN•h＝××h＝h，
V＝S•CC1＝××2＝，
所以由V＝V，可得h＝，
所以直线B1D1到平面CMN的距离是，故B正确；
对于C，如图建立空间直角坐标系，则B1（2，0，2），D1（0，2，2），C（2，2，0），M（1，0，2），
设＝λ，0≤λ≤1，所以＝λ＝λ（1，2，−2），
又C（2，2，0），B1（2，0，2），D1（0，2，2），
所以P（2﹣λ，2﹣2λ，2λ），＝（λ，2λ−2，2−2λ），＝（λ−2，2λ，2−2λ），
假设存在点P，使得∠B1PD1＝90°，
∴•＝λ（λ−2）+2λ（2λ−2）+（2−2λ）2＝0，整理得9λ2﹣14λ+4＝0，
所以λ＝＞1（舍去）或λ＝，
故存在点P，使得∠B1PD1＝90°，故C正确；
对于D，由上知P（2﹣λ，2﹣2λ，2λ），所以点P（2﹣λ，2﹣2λ，2λ）在DD1的射影为（0，2，2λ），
所以点P（2﹣λ，2﹣2λ，2λ）到DD1的距离为：d＝＝＝，
所以当λ＝时，dmin＝，
故△PDD1面积的最小值是×2×＝，故D错误．
故选：ABC．
三．填空题（共4小题）
13．在的展开式中，第3项和第6项的二项式系数相等，则展开式中x5的系数为 ﹣ ．
【解答】解：由已知可得C，所以n＝7，
则二项式（﹣）7的展开式的通项公式为T＝C，
令，解得r＝3，
所以展开式中x5的系数为C＝﹣，
故答案为：﹣．
14．等差数列{an}中的a4，a2016是函数f（x）＝x3﹣6x2+4x﹣1的极值点，则＝ ．
【解答】解：函数f（x）＝x3﹣6x2+4x﹣1的定义域为R，导函数函数f′（x）＝3x2﹣12x+4．
因为a4，a2016是函数f（x）＝x3﹣6x2+4x﹣1的的极值点，
所以a4，a2016是方程f′（x）＝0的两根，所以a4+a2016＝4．
因为{an}为等差数列，所以a1010＝＝2，
所以＝﹣．
故答案为：﹣．
15．牛顿迭代法又称牛顿﹣拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r是函数y＝f（x）的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，作曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1次近似值；作曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线l2，设l2与x轴交点的横坐标为x2，并称x2为r的2次近似值．一般的，作曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））（n∈N）处的切线ln+1，记ln+1与x轴交点的横坐标为xn+1，并称xn+1为r的n+1次近似值．
设f（x）＝x3+x﹣1的零点为r，取x0＝0，则r的2次近似值为 ．
【解答】解：f′（x）＝3x2+1，设切点为（xn，+xn﹣1），
则切线斜率k＝3xn2+1，
∴切线方程为y＝（3xn2+1）（x﹣xn）++xn﹣1，
令y＝0，可得xn+1＝﹣+xn＝，
∵x0＝0，∴x1＝1，x2＝，
即r的2次近似值为．
故答案为：．
16．如图，棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱CC1上一点，且，M为平面BDC1内一动点，则MC+MP的最小值为 ．
【解答】解：连接A1C，与平面BC1D交于点E，
设线段A1C靠近点A1的三等分点为N，根据正方体体对角线的性质，
则点C关于平面BC1D的对称点为N．
由题意知，
连接NP，由＝＝，得NP∥A1C1，且NP＝A1C1＝2，
∴MC+MP＝MN+MP≥NP，
当M为NP与平面BC1D的交点时取等号，
∴MC+MP的最小值为2．
故答案为：2．
四．解答题（共6小题）
17．已知数列{an}（n∈N+）满足a1＝1，，且．
（1）求数列{bn}是通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
【解答】解：（1）因为，所以，
又，所以，
所以，又b1＝a1＝1，
所以数列{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，，所以，
所以，
，
两式相减可得：，
所以，
故．
18．已知函数f（x）＝ax3+bx+2在x＝2处取得极值-14．
（1）求a，b的值；
（2）求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；
（3）求函数f（x）在[﹣3，3]上的最值．
【解答】解：（1）因为f′（x）＝3ax2+b，
所以，f′（2）＝0. f（2）＝-14，则
解得；
（2）f′（1）＝-9，f（1）＝-9，则y-9x
（3）由（1）可知f（x）＝x3﹣12x+2，
所以f′（x）＝3x2﹣12，
令f′（x）＝0，得x＝﹣2或x＝2，
所以当x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0；
所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（2，+∞），单调递减区间为（﹣2，2）．
所以f（x）在（﹣3，﹣2）和（2，3）上单调递增，在（﹣2，2）上单调递减，
又因为f（﹣3）＝﹣27+36+2＝11，f（﹣2）＝﹣8+24+2＝18，f（2）＝8﹣24+2＝﹣14，f（3）＝27﹣36+2＝﹣7，
所以f（x）在[﹣3，3]上的最大值为f（﹣2）＝18，最小值为f（﹣2）＝﹣14．
19．如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝2．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P﹣CD﹣B的大小；
（3）求点C到平面PBD的距离．
【解答】（1）证明：建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．
在Rt△BAD中，AD＝2，BD＝2，
∴AB＝2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴＝（0，0，2），＝（2，2，0），＝（﹣2，2，0）
∴•＝0，•＝0，即BD⊥AP，BD⊥AC，
又因为AP∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．
（2）解：由（1）得＝（0，2，﹣2），＝（﹣2，0，0）．
设平面PCD的法向量为＝（x，y，z），
即，
故平面PCD的法向量可取为＝（0，1，1）
∵PA⊥平面ABCD，
∴＝（0，0，2）为平面ABCD的法向量．
设二面角P﹣CD﹣B的大小为θ，依题意可得cosθ＝，
∴二面角P﹣CD﹣B的大小是45°．
（3）解：由（1）得＝（2，0，﹣2），＝（0，2，﹣2），
同理，可得平面PBD的法向量为＝（1，1，1）．
∵＝（2，2，﹣2），
∴C到面PBD的距离为d＝||＝．
20．我国某沙漠，曾被称为“死亡之海”，截止2018年年底该地区的绿化率只有，计划从2019年开始使用无人机飞播造林，弹射的种子可以直接打入沙面里头，实现快速播种，每年原来沙漠面积的将被改为绿洲，但同时原有绿洲面积的还会被沙漠化．设该地区的面积为1，2018年年底绿洲面积为，经过一年绿洲面积为a1……经过n年绿洲面积为an，
（1）求经过n年绿洲面积an；
（2）截止到哪一年年底，才能使该地区绿洲面积超过？（取lg2＝0.30，lg3＝0.48）
【解答】解：（1）、由题：，
所以，
而，
故；
（2），得，
所以，
所以n＝4，即截止到2022年年底．
21．记Sn为数列{an}的前n项的和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令，记数列{bn}的前n项和为Tn，试求T2n﹣1除以3的余数．
【解答】解：（1）由a1＝1，是公差为的等差数列，可得＝1+（n﹣1）＝，
即Sn＝n（n+1），
则n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n（n+1）﹣（n﹣1）n＝n，
当n＝1时，a1＝1符合上式，
所以an＝n，n∈N*；
（2）＝2n，
则数列{bn}的前n项和为Tn＝＝2n+1﹣2，
T2n﹣1＝4n﹣2＝（1+3）n﹣2＝1+C•3+C•32+...+C•3n﹣2＝C•3+C•32+...+C•3n﹣3+2，
所以T2n﹣1除以3的余数为2．
22．已知函数f（x）＝ex﹣m﹣xlnx﹣（m﹣1）x；
（1）若m＝1，求证：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）若g（x）＝f'（x），试讨论g（x）零点的个数．
【解答】解：（1）m＝1时，f（x）＝ex﹣1﹣xlnx，f'（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣1，
要证f（x）在（0，+∞）上单调递增，只要证：f'（x）≥0对x＞0恒成立，
令i（x）＝ex﹣1﹣x，则i'（x）＝ex﹣1﹣1，当x＞1时，i'（x）＞0，
当x＜1时，i'（x）＜0，故i（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以i（x）≥i（1）＝0，即ex﹣1≥x（当且仅当x＝1时等号成立），
令j（x）＝x﹣1﹣lnx（x＞0），则，
当0＜x＜1时，j'（x）＜0，当x＞1时，j'（x）＞0，
故j（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以j（x）≥j（1）＝0，即x≥lnx+1（当且仅当x＝1时取等号），
f'（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣1≥x﹣（lnx+1）≥0（当且仅当x＝1时等号成立）
f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（2）由g（x）＝ex﹣m﹣lnx﹣m有，显然g'（x）是增函数，
令g'（x0）＝0，得，，，
则x∈（0，x0]时，g'（x）≤0，x∈[x0，+∞）时，g'（x）≥0，
∴g（x）在（0，x0]上是减函数，在[x0，+∞）上是增函数，
∴g（x）有极小值，，
①当m＝1时，x0＝1，g（x）极小值＝g（1）＝0，g（x）有一个零点1；
②m＜1时，0＜x0＜1，g（x0）＞g（1）＝1﹣0﹣1＝0，g（x）没有零点；
③当m＞1时，x0＞1，g（x0）＜1﹣0﹣1＝0，又，
又对于函数y＝ex﹣x﹣1，y'＝ex﹣1≥0时x≥0，
∴当x＞0时，y＞1﹣0﹣1＝0，即ex＞x+1，
∴g（3m）＝e2m﹣ln3m﹣m＞2m+1﹣ln3m﹣m＝m+1﹣lnm﹣ln3，
令t（m）＝m+1﹣lnm﹣ln3，则，
∵m＞1，∴t'（m）＞0，∴t（m）＞t（1）＝2﹣ln3＞0，∴g（3m）＞0，
又e﹣m＜1＜x0，3m＝3x0+3lnx0＞x0，∴g（x）有两个零点，
综上，当m＜1时，g（x）没有零点；
m＝1时，g（x）有一个零点；
m＞1时，g（x）有两个零点．
2022-2023学年南京一中实验学校高二下期中试卷
一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）
1．已知等差数列{an}中，a4＝4，则a2+a3+a7的值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
2．如图，在四面体OABC中，G是BC的中点，设，，，则＝（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
3．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，则A1C的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
6．已知王大爷养了5只鸡和3只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的距离的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．2
8．若（2x﹣1）2022＝a0+a1x+a2x2+⋯+a2022x2022（x∈R），则＝（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
9．若，则（ ）
A．展开式中所有的二项式系数之和为22022
B．展开式中二项式系数最大的项为第1012项
C．a0＝0
D．a1+a2+a3+⋯+a2022＝﹣1
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝﹣n2+31n，则下列说法正确的是（ ）
A．an＝﹣2n+32
B．S17为Sn中的最大项
C．
D．|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a30|＝430
11．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）满足f（x）＜f′（x），则（ ）
A．f（1）＜ef（0） B．f（1）＞ef（0）
C．ef（ln2）＜2f（1） D．ef（ln2）＞2f（1）
12．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论正确的是（ ）
A．平面CMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D所得的截面图形是五边形
B．直线B1D1到平面CMN的距离是
C．存在点P，使得∠B1PD1＝90°
D．△PDD1面积的最小值是
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．在的展开式中，第3项和第6项的二项式系数相等，则展开式中x5的系数为 ．
14．等差数列{an}中的a4，a2016是函数f（x）＝x3﹣6x2+4x﹣1的极值点，则＝ ．
15．牛顿迭代法又称牛顿﹣拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r是函数y＝f（x）的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，作曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1次近似值；作曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线l2，设l2与x轴交点的横坐标为x2，并称x2为r的2次近似值．一般的，作曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））（n∈N）处的切线ln+1，记ln+1与x轴交点的横坐标为xn+1，并称xn+1为r的n+1次近似值．
设f（x）＝x3+x﹣1的零点为r，取x0＝0，则r的2次近似值为 ．
16．如图，棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱CC1上一点，且，M为平面BDC1内一动点，则MC+MP的最小值为 ．
四．解答题（共6小题，共70分）
17．（10分）已知数列{an}（n∈N+）满足a1＝1，，且．
（1）求数列{bn}是通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
18．（12分）已知函数f（x）＝ax3+bx+2在x＝2处取得极值-14．
（1）求a，b的值；
（2）求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；
（3）求函数f（x）在[﹣3，3]上的最值．
19．（12分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝2．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P﹣CD﹣B的大小；
（3）求点C到平面PBD的距离．
20．（12分）我国某沙漠，曾被称为“死亡之海”，截止2018年年底该地区的绿化率只有，计划从2019年开始使用无人机飞播造林，弹射的种子可以直接打入沙面里头，实现快速播种，每年原来沙漠面积的将被改为绿洲，但同时原有绿洲面积的还会被沙漠化．设该地区的面积为1，2018年年底绿洲面积为，经过一年绿洲面积为a1……经过n年绿洲面积为an，
（1）求经过n年绿洲面积an；
（2）截止到哪一年年底，才能使该地区绿洲面积超过？（取lg2＝0.30，lg3＝0.48）
21．（12分）记Sn为数列{an}的前n项的和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令，记数列{bn}的前n项和为Tn，试求T2n﹣1除以3的余数．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣m﹣xlnx﹣（m﹣1）x；
（1）若m＝1，求证：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）若g（x）＝f'（x），试讨论g（x）零点的个数．
2022-2023学年南京一中实验学校高二下期中试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知等差数列{an}中，a4＝4，则a2+a3+a7的值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【解答】解：a2+a3+a7=3 a1+9d=3(a1+3d)=3 a4＝12，
故选：C．
2．如图，在四面体OABC中，G是BC的中点，设，，，则＝（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
【解答】解：＝，，
则＝．
故选：B．
3．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为α，底面圆的半径为r，母线长为l，
因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，
所以，则αl＝2πr，
解得．
故选：C．
4．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，则A1C的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：根据平行四边形法则可得，
∵AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，
∴||2＝（）2＝|A1A|2+|AB|2+|BC|2+2+2+2＝4+4+4+2×2×2×2×cos120°+0＝4，
∴A1C＝2．
故选：B．
5．图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【解答】解：设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，
由题意得：k1＝k3﹣0.2，k2＝k3﹣0.1，
且，
解得k3＝0.9，
故选：D．
6．已知王大爷养了5只鸡和3只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：5只鸡和3只兔子走出房子的所有结果为，
恰有2只兔子相邻的结果为，
故概率值为．
故选：D．
7．点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的距离的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【解答】解：由题意作图如下，
当点P是曲线的切线中与直线y＝x﹣2平行的直线的切点时，最近；
故令y′＝2x﹣＝1解得，x＝1；
故点P的坐标为（1，1）；
故点P到直线y＝x﹣2的最小值为＝；
故选：B．
8．若（2x﹣1）2022＝a0+a1x+a2x2+⋯+a2022x2022（x∈R），则＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：展开式中含x的系数为a＝﹣4044，
令x＝0，可得a0＝1，令x＝，则a+...+＝（2×）2022＝0，
所以＝0﹣1﹣＝2021，
所以+...+＝＝，
故选：D．
二．多选题（共4小题）
9．若，则（ ）
A．展开式中所有的二项式系数之和为22022
B．展开式中二项式系数最大的项为第1012项
C．a0＝0
D．a1+a2+a3+⋯+a2022＝﹣1
【解答】解：因为x2022＝[﹣1+（x+1）]2022＝a+...+a，
选项A：展开式的二项式系数和为22022，故A正确，
选项B：因为n＝2022，所以展开式的二项式系数的最大项为第1012项，故B正确，
选项C：令x+1＝0，则a，故C错误，
选项D：令x+1＝1，则a0+a1+...+a2022＝0，所以a1+a2+...+a2022＝0﹣1＝﹣1，故D正确，
故选：ABD．
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝﹣n2+31n，则下列说法正确的是（ ）
A．an＝﹣2n+32
B．S17为Sn中的最大项
C．
D．|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a30|＝430
【解答】解：对于A：当n＝1时，a1＝30；当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣2n+32，
经检验，当n＝1时，a1＝﹣2+32＝30，故an＝﹣2n+32，A正确；
对于B：令an＝﹣2n+32≥0，则n≤16，故当n＞17时，an＜0，故S15和S16为Sn中的最大项，B错误；
对于C：，C正确；
对于D：|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a30|＝（a1+a2+⋯+a16）﹣（a17+a18+⋯+a30）＝，D错误．
故选：AC．
11．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）满足f（x）＜f′（x），则（ ）
A．f（1）＜ef（0） B．f（1）＞ef（0）
C．ef（ln2）＜2f（1） D．ef（ln2）＞2f（1）
【解答】解：设g（x）＝，
则＞0，
则函数g（x）为增函数，
又1＞ln2＞0，
则g（1）＞g（0），g（1）＞g（ln2），
即，，
即f（1）＞ef（0），2f（1）＞ef（ln2），
故选：BC．
12．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论正确的是（ ）
A．平面CMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D所得的截面图形是五边形
B．直线B1D1到平面CMN的距离是
C．存在点P，使得∠B1PD1＝90°
D．△PDD1面积的最小值是
【解答】解：对于A，如图直线MN与C1B1、C1D1的延长线分别交于M1，N1，
连接CM1，CN1分别交BB1，DD1于M2，N2，连接MM2，NN2，
则五边形MM2CN2N即为所得的截面图形，故A正确；
对于B，由题可知MN∥B1D1，MN⊂平面CMN，B1D1⊄平面CMN，
所以B1D1∥平面CMN，故点B1到平面CMN的距离即为直线B1D1到平面CMN的距离，
设点B1到平面CMN的距离为h，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
可得CM＝CN＝3，MN＝，S△CMN＝××＝，
所以V＝S△CMN•h＝××h＝h，
V＝S•CC1＝××2＝，
所以由V＝V，可得h＝，
所以直线B1D1到平面CMN的距离是，故B正确；
对于C，如图建立空间直角坐标系，则B1（2，0，2），D1（0，2，2），C（2，2，0），M（1，0，2），
设＝λ，0≤λ≤1，所以＝λ＝λ（1，2，−2），
又C（2，2，0），B1（2，0，2），D1（0，2，2），
所以P（2﹣λ，2﹣2λ，2λ），＝（λ，2λ−2，2−2λ），＝（λ−2，2λ，2−2λ），
假设存在点P，使得∠B1PD1＝90°，
∴•＝λ（λ−2）+2λ（2λ−2）+（2−2λ）2＝0，整理得9λ2﹣14λ+4＝0，
所以λ＝＞1（舍去）或λ＝，
故存在点P，使得∠B1PD1＝90°，故C正确；
对于D，由上知P（2﹣λ，2﹣2λ，2λ），所以点P（2﹣λ，2﹣2λ，2λ）在DD1的射影为（0，2，2λ），
所以点P（2﹣λ，2﹣2λ，2λ）到DD1的距离为：d＝＝＝，
所以当λ＝时，dmin＝，
故△PDD1面积的最小值是×2×＝，故D错误．
故选：ABC．
三．填空题（共4小题）
13．在的展开式中，第3项和第6项的二项式系数相等，则展开式中x5的系数为 ﹣ ．
【解答】解：由已知可得C，所以n＝7，
则二项式（﹣）7的展开式的通项公式为T＝C，
令，解得r＝3，
所以展开式中x5的系数为C＝﹣，
故答案为：﹣．
14．等差数列{an}中的a4，a2016是函数f（x）＝x3﹣6x2+4x﹣1的极值点，则＝ ．
【解答】解：函数f（x）＝x3﹣6x2+4x﹣1的定义域为R，导函数函数f′（x）＝3x2﹣12x+4．
因为a4，a2016是函数f（x）＝x3﹣6x2+4x﹣1的的极值点，
所以a4，a2016是方程f′（x）＝0的两根，所以a4+a2016＝4．
因为{an}为等差数列，所以a1010＝＝2，
所以＝﹣．
故答案为：﹣．
15．牛顿迭代法又称牛顿﹣拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r是函数y＝f（x）的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，作曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1次近似值；作曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线l2，设l2与x轴交点的横坐标为x2，并称x2为r的2次近似值．一般的，作曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））（n∈N）处的切线ln+1，记ln+1与x轴交点的横坐标为xn+1，并称xn+1为r的n+1次近似值．
设f（x）＝x3+x﹣1的零点为r，取x0＝0，则r的2次近似值为 ．
【解答】解：f′（x）＝3x2+1，设切点为（xn，+xn﹣1），
则切线斜率k＝3xn2+1，
∴切线方程为y＝（3xn2+1）（x﹣xn）++xn﹣1，
令y＝0，可得xn+1＝﹣+xn＝，
∵x0＝0，∴x1＝1，x2＝，
即r的2次近似值为．
故答案为：．
16．如图，棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱CC1上一点，且，M为平面BDC1内一动点，则MC+MP的最小值为 ．
【解答】解：连接A1C，与平面BC1D交于点E，
设线段A1C靠近点A1的三等分点为N，根据正方体体对角线的性质，
则点C关于平面BC1D的对称点为N．
由题意知，
连接NP，由＝＝，得NP∥A1C1，且NP＝A1C1＝2，
∴MC+MP＝MN+MP≥NP，
当M为NP与平面BC1D的交点时取等号，
∴MC+MP的最小值为2．
故答案为：2．
四．解答题（共6小题）
17．已知数列{an}（n∈N+）满足a1＝1，，且．
（1）求数列{bn}是通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
【解答】解：（1）因为，所以，
又，所以，
所以，又b1＝a1＝1，
所以数列{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，，所以，
所以，
，
两式相减可得：，
所以，
故．
18．已知函数f（x）＝ax3+bx+2在x＝2处取得极值-14．
（1）求a，b的值；
（2）求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；
（3）求函数f（x）在[﹣3，3]上的最值．
【解答】解：（1）因为f′（x）＝3ax2+b，
所以，f′（2）＝0. f（2）＝-14，则
解得；
（2）f′（1）＝-9，f（1）＝-9，则y-9x
（3）由（1）可知f（x）＝x3﹣12x+2，
所以f′（x）＝3x2﹣12，
令f′（x）＝0，得x＝﹣2或x＝2，
所以当x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0；
所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（2，+∞），单调递减区间为（﹣2，2）．
所以f（x）在（﹣3，﹣2）和（2，3）上单调递增，在（﹣2，2）上单调递减，
又因为f（﹣3）＝﹣27+36+2＝11，f（﹣2）＝﹣8+24+2＝18，f（2）＝8﹣24+2＝﹣14，f（3）＝27﹣36+2＝﹣7，
所以f（x）在[﹣3，3]上的最大值为f（﹣2）＝18，最小值为f（﹣2）＝﹣14．
19．如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝2．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P﹣CD﹣B的大小；
（3）求点C到平面PBD的距离．
【解答】（1）证明：建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．
在Rt△BAD中，AD＝2，BD＝2，
∴AB＝2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴＝（0，0，2），＝（2，2，0），＝（﹣2，2，0）
∴•＝0，•＝0，即BD⊥AP，BD⊥AC，
又因为AP∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．
（2）解：由（1）得＝（0，2，﹣2），＝（﹣2，0，0）．
设平面PCD的法向量为＝（x，y，z），
即，
故平面PCD的法向量可取为＝（0，1，1）
∵PA⊥平面ABCD，
∴＝（0，0，2）为平面ABCD的法向量．
设二面角P﹣CD﹣B的大小为θ，依题意可得cosθ＝，
∴二面角P﹣CD﹣B的大小是45°．
（3）解：由（1）得＝（2，0，﹣2），＝（0，2，﹣2），
同理，可得平面PBD的法向量为＝（1，1，1）．
∵＝（2，2，﹣2），
∴C到面PBD的距离为d＝||＝．
20．我国某沙漠，曾被称为“死亡之海”，截止2018年年底该地区的绿化率只有，计划从2019年开始使用无人机飞播造林，弹射的种子可以直接打入沙面里头，实现快速播种，每年原来沙漠面积的将被改为绿洲，但同时原有绿洲面积的还会被沙漠化．设该地区的面积为1，2018年年底绿洲面积为，经过一年绿洲面积为a1……经过n年绿洲面积为an，
（1）求经过n年绿洲面积an；
（2）截止到哪一年年底，才能使该地区绿洲面积超过？（取lg2＝0.30，lg3＝0.48）
【解答】解：（1）、由题：，
所以，
而，
故；
（2），得，
所以，
所以n＝4，即截止到2022年年底．
21．记Sn为数列{an}的前n项的和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令，记数列{bn}的前n项和为Tn，试求T2n﹣1除以3的余数．
【解答】解：（1）由a1＝1，是公差为的等差数列，可得＝1+（n﹣1）＝，
即Sn＝n（n+1），
则n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n（n+1）﹣（n﹣1）n＝n，
当n＝1时，a1＝1符合上式，
所以an＝n，n∈N*；
（2）＝2n，
则数列{bn}的前n项和为Tn＝＝2n+1﹣2，
T2n﹣1＝4n﹣2＝（1+3）n﹣2＝1+C•3+C•32+...+C•3n﹣2＝C•3+C•32+...+C•3n﹣3+2，
所以T2n﹣1除以3的余数为2．
22．已知函数f（x）＝ex﹣m﹣xlnx﹣（m﹣1）x；
（1）若m＝1，求证：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）若g（x）＝f'（x），试讨论g（x）零点的个数．
【解答】解：（1）m＝1时，f（x）＝ex﹣1﹣xlnx，f'（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣1，
要证f（x）在（0，+∞）上单调递增，只要证：f'（x）≥0对x＞0恒成立，
令i（x）＝ex﹣1﹣x，则i'（x）＝ex﹣1﹣1，当x＞1时，i'（x）＞0，
当x＜1时，i'（x）＜0，故i（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以i（x）≥i（1）＝0，即ex﹣1≥x（当且仅当x＝1时等号成立），
令j（x）＝x﹣1﹣lnx（x＞0），则，
当0＜x＜1时，j'（x）＜0，当x＞1时，j'（x）＞0，
故j（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以j（x）≥j（1）＝0，即x≥lnx+1（当且仅当x＝1时取等号），
f'（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣1≥x﹣（lnx+1）≥0（当且仅当x＝1时等号成立）
f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（2）由g（x）＝ex﹣m﹣lnx﹣m有，显然g'（x）是增函数，
令g'（x0）＝0，得，，，
则x∈（0，x0]时，g'（x）≤0，x∈[x0，+∞）时，g'（x）≥0，
∴g（x）在（0，x0]上是减函数，在[x0，+∞）上是增函数，
∴g（x）有极小值，，
①当m＝1时，x0＝1，g（x）极小值＝g（1）＝0，g（x）有一个零点1；
②m＜1时，0＜x0＜1，g（x0）＞g（1）＝1﹣0﹣1＝0，g（x）没有零点；
③当m＞1时，x0＞1，g（x0）＜1﹣0﹣1＝0，又，
又对于函数y＝ex﹣x﹣1，y'＝ex﹣1≥0时x≥0，
∴当x＞0时，y＞1﹣0﹣1＝0，即ex＞x+1，
∴g（3m）＝e2m﹣ln3m﹣m＞2m+1﹣ln3m﹣m＝m+1﹣lnm﹣ln3，
令t（m）＝m+1﹣lnm﹣ln3，则，
∵m＞1，∴t'（m）＞0，∴t（m）＞t（1）＝2﹣ln3＞0，∴g（3m）＞0，
又e﹣m＜1＜x0，3m＝3x0+3lnx0＞x0，∴g（x）有两个零点，
综上，当m＜1时，g（x）没有零点；
m＝1时，g（x）有一个零点；
m＞1时，g（x）有两个零点．
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