山东省2023届高考数学考向核心卷【含答案】

 高考数学考向核心卷

一、单选题

1．已知集合，集合，则（　　）

A． B．

C． D．

2．若复数z满足，则复数z的虚部为（　　）

A． B． C． D．

3．已知向量 ， ，则“ ”是“ ”的（　　） 

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统，当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知、、正常工作的概率依次是、、，已知在系统正常工作的前提下，求只有和正常工作的概率是（　　）

A． B． C． D．

5．已知数列 为等差数列，首项 ，若 ，则使得 的n的最大值为（　　）  

A．2007 B．2008 C．2009 D．2010

6．已知函数的部分图象如图所示，（　　）

A． B．-1 C． D．

7．若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（　　）．

A．或 B．或

C． D．

8．记，设函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围的是（　　）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（　　）

A．所有不同分派方案共种

B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种

C．若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种

D．若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种

10．已知是的导函数，且，则（　　）

A．

B．

C．的图象在处的切线的斜率为0

D．在上的最小值为1

11．如图1，在菱形ABCD中，，，将沿AC折起，使点B到达点P的位置，形成三棱锥，如图2.在翻折的过程中，下列结论正确的是（　　）

A．

B．三棱锥体积的最大值为3

C．存在某个位置，使

D．若平面平面ACD，则直线AD与平面PCD所成角的正弦值为

12．已知点，，，抛物线．过点的直线与交于，两点，直线分别与交于另一点，则下列说法中正确的是（　　）

A．

B．直线的斜率为

C．若的面积为（为坐标原点），则与的夹角为

D．若为抛物线上位于轴上方的一点，，则当取最大值时，的面积为2

三、填空题

13．已知函数，过点作曲线的切线，则的方程为　          　.

14．已知，则　     　.（用数字作案）

15．已知函数，若对任意实数，恒有，则　     　．

16．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，且平面ABCD，，点M为线段PC上的动点（不包含端点），则当三棱锥的外接球的表面积最小时，CM的长为　     　.

四、解答题

17．已知等比数列 的前n项和为 ，且 . 

（1）求 与 ； 

（2）记 ，求数列 的前n项和 . 

18．在①，②，③，．这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答．

已知中，内角所对的边分别为，且____．

（1）求的值；

（2）若，求的周长与面积．

19．由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱．为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表．

已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.35．

附：，，

（1）现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？

（2）完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．

（3）若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望．

20．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．

（1）求A到平面的距离；

（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．

21．已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为-3的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且.

（1）求的面积；

（2）若（O为坐标原点），点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

22．已知函数，．

（1）求函数的极值点；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

1．D

2．B

3．A

4．C

5．B

6．B

7．A

8．B

9．B,C,D

10．B,C

11．A,C,D

12．A,C,D

13．x-ey-2e=0

14．34

15．

16．

17．（1）由 得 ，
当 时， 得 ；
当 时，
得
所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列
所以 .
所以

（2）由(1)可得 则   ，
，
两式相减得
所以

. 

18．（1）解：若选①：由正弦定理得，

故，

而在中，，

故，又，

所以，则，

则，

故．

若选②：由，化简得，代入中，整理得，

即，

因为，所以，所以，

则，

故．

若选③：因为，

所以，即，则．

因为，所以，

则，

故．

（2）解：因为，且，

所以．

由（1）得，则

，

由正弦定理得，则．

故的周长为，

的面积为．

19．（1）解：由题意得，解得，

所以应从A地抽取（人），从B地抽取（人）．

（2）解：完成表格如下：

零假设为：观众的喜爱程度与所在地区无关.

，

所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．

（3）解：从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，

从A地区随机抽取3人，则，X的所有可能取值为0，1，2，3，

则，

，

，

．

所以X的分布列为

方法1：．

方法2：.

20．（1）解：在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，

则，

解得，

所以点A到平面的距离为

（2）解：取的中点E，连接AE，如图，

因为，所以，

又平面平面，平面平面，

且平面，所以平面，

在直三棱柱中，平面，

由平面，平面可得，，

又平面且相交，所以平面，

所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，

由（1）得，所以，，所以，

则，所以的中点，

则，，

设平面的一个法向量，则，

可取，

设平面的一个法向量，则，

可取，

则，

所以二面角的正弦值为.

21．（1）解：依题意可知，，

则，

，

又，所以，

解得（舍去），

又，所以，

则，

所以的面积

（2）解：由（1）可，解得，

所以双曲线C的方程为，

设，则，则，，

设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，消去y得：，

由，得，

由一元二次方程根与系数的关系得，

所以，

，

则，

故为定值-1.

22．（1）解：由已知可得，函数的定义域为，且，

当时，；当时，，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，

所以是的极大值点，无极小值点．

（2）解：解法一：设，，

则，

令，，则对任意恒成立，

所以在上单调递减．

又，，

所以，使得，即，则，即．

因此，当时，，即，则单调递增；

当时，，即，则单调递减，

故，解得，

所以当时，恒成立．

解法二：令，，当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，即．

因为，所以，当时等号成立，

即，当时等号成立，

所以的最小值为1．

若恒成立，则，

所以当时，恒成立．