第5讲 力学中的动量和能量问题（原卷版）

第5讲 力学中的动量和能量问题

【选考真题】

1．（2022•浙江）如图所示，在竖直面内，一质量m的物块a静置于悬点O正下方的A点，以速度v逆时针转动的传送带MN与直轨道AB、CD、FG处于同一水平面上，AB、MN、CD的长度均为l。圆弧形细管道DE半径为R，EF在竖直直径上，E点高度为H。开始时，与物块a相同的物块b悬挂于O点，并向左拉开一定的高度h由静止下摆，细线始终张紧，摆到最低点时恰好与a发生弹性正碰。已知m＝2kg，l＝1m，R＝0.4m，H＝0.2m，v＝2m/s，物块与MN、CD之间的动摩擦因数μ＝0.5，轨道AB和管道DE均光滑，物块a落到FG时不反弹且静止。忽略M、B和N、C之间的空隙，CD与DE平滑连接，物块可视为质点。

（1）若h＝1.25m，求a、b碰撞后瞬时物块a的速度v0的大小；

（2）物块a在DE最高点时，求管道对物块的作用力FN与h间满足的关系；

（3）若物块b释放高度0.9m＜h＜1.65m，求物块a最终静止的位置x值的范围（以A点为坐标原点，水平向右为正，建立x轴）。

2．（2021•浙江）在爆炸实验基地有一发射塔，发射塔正下方的水平地面上安装有声音记录仪。爆炸物自发射塔竖直向上发射，上升到空中最高点时炸裂成质量之比为2：1、初速度均沿水平方向的两个碎块。遥控器引爆瞬间开始计时，在5s末和6s末先后记录到从空气中传来的碎块撞击地面的响声。已知声音在空气中的传播速度为340m/s，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　）

A．两碎块的位移大小之比为1：2 

B．爆炸物的爆炸点离地面高度为80m 

C．爆炸后质量大的碎块的初速度为68m/s 

D．爆炸后两碎块落地点之间的水平距离为340m

3．（2020•浙江）小明将如图所示的装置放在水平地面上，该装置由弧形轨道、竖直圆轨道、水平直轨道AB和倾角θ＝37°的斜轨道BC平滑连接而成。质量m＝0.1kg的小滑块从弧形轨道离地高H＝1.0m处静止释放。已知R＝0.2m，LAB＝LBC＝1.0m，滑块与轨道AB和BC间的动摩擦因数均为μ＝0.25，弧形轨道和圆轨道均可视为光滑，忽略空气阻力。

（1）求滑块运动到与圆心O等高的D点时对轨道的压力；

（2）通过计算判断滑块能否冲出斜轨道的末端C点；

（3）若滑下的滑块与静止在水平直轨道上距A点x处的质量为2m的小滑块相碰，碰后一起运动，动摩擦因数仍为0.25，求它们在轨道BC上到达的高度h与x之间的关系。（碰撞时间不计，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）

【要点提炼】

一、三种碰撞的特点

1.弹性碰撞：动量守恒，机械能守恒。

质量为m1，速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生正面弹性碰撞，碰后速度分别为v1′、v2′。结果讨论：

(1)当两球质量相等时，v1′＝0，v2′＝v1，两球碰撞后交换速度。

(2)当m1远大于m2时，v1′＝v1，v2′＝2v1。

(3)当m1远小于m2时，v1′＝－v1，v2′＝0。

2.非弹性碰撞：动量守恒，机械能有损失。

3.完全非弹性碰撞：动量守恒，机械能损失最大，以碰后系统速度相同为标志。

二、动力学、动量和能量观点的应用

1．三个基本观点

(1)动力学的观点：主要是牛顿运动定律和运动学公式相结合，常涉及物体的受力、加速度或匀变速运动的问题．

(2)动量的观点：主要应用动量定理或动量守恒定律求解，常涉及物体的受力和时间问题，以及相互作用物体的问题．

(3)能量的观点：在涉及单个物体的受力和位移问题时，常用动能定理；在涉及系统内能量的转化问题时，常用能量守恒定律．

【方法指导】

一、动量定理的两个重要应用

1.应用I＝Δp求变力的冲量

如果物体受到大小或方向改变的力的作用，则不能直接用I＝Ft求变力的冲量，可以求出变力作用下物体动量的变化Δp，等效代换变力的冲量I。

2.应用Δp＝FΔt求动量的变化

例如，在曲线运动中，速度方向时刻在变化，求动量变化(Δp＝p2－p1)需要应用矢量运算方法，计算比较复杂，如果作用力是恒力，可以求恒力的冲量，等效代换动量的变化。

二、几种定理的使用

1．选用原则

(1)单个物体：宜选用动量定理、动能定理和牛顿运动定律．若其中涉及时间的问题，应选用动量定理；若涉及位移的问题，应选用动能定理；若涉及加速度的问题，只能选用牛顿第二定律．

(2)多个物体组成的系统：优先考虑两个守恒定律，若涉及碰撞、爆炸、反冲等问题，应选用动量守恒定律，然后再根据能量关系分析解决．

2．系统化思维方法

(1)对多个物理过程进行整体思考，即把几个过程合为一个过程来处理，如用动量守恒定律解决比较复杂的运动．

(2)对多个研究对象进行整体思考，即把两个或两个以上的独立物体合为一个整体进行考虑，如应用动量守恒定律时，就是把多个物体看成一个整体(或系统)．

【例题精析】

考点一 动量和动量定理的应用

例1．图甲是抬鼓击球的体育活动画面，实际活动比较复杂，现建立如图乙的简化模型，20个人对称地拉着绳子（图中只显示面对面的两条绳子）抬鼓击球，设鼓的质量为6kg，球的质量为0.5kg，绳子质量不计，A点为手拉住绳子的接触点，B为绳子与鼓的连接点。某次击球活动时，目测A、B的竖直高度差约为绳长AB的十分之一（设每根绳子都如此），并保持稳定，假定活动过程中鼓始终处于静止状态，发现球从离鼓0.8m的高度由静止开始下落，与鼓发生碰撞后又几乎可以回到0.8m处，碰撞时间约为0.1s。（空气阻力忽略不计，g取10m/s2）。对此情景，下列分析正确的是（　　）

A．球在空中时，每个人对绳子的拉力为60N 

B．击球过程中，鼓对球弹力的冲量为2.5N•s 

C．击球时，每个人对绳子的拉力为52.5N 

D．击球时，鼓对球的平均作用力40N

（多选）练1．现代人越来越依赖手机，有些人喜欢躺着刷手机，经常出现手机掉落砸伤眼睛或者额头的情况。若有一手机质量为120g，从离人额头约20cm的高度无初速掉落，砸到额头后手机的反弹忽略不计，额头受到手机的冲击时间约为0.2s。下列分析正确的是（　　）

A．手机与额头作用过程中，手机的动量变化大小约为0.24kg•m/s 

B．手机对额头的冲量大小约为0.24N•s 

C．手机对额头的冲量方向竖直向上 

D．手机对额头的作用力大小约为2.4N

练2．如图甲所示是2022年北京冬奥会的冰壶比赛场景，比赛过程简化为如图乙所示，在左端发球区的运动员从投掷线MN中点P将冰壶掷出，冰壶沿水平冰道中心线PO向右端的圆形营垒区滑行。若冰壶以v0＝4m/s的速度被掷出后，恰好停在营垒区中心O，PO间距离为x＝40m。已知冰壶的质量为m＝19kg，冰壶自身大小可忽略，冰壶在冰道上的运动可视为匀减速直线运动。在比赛中，运动员可以用毛刷擦拭冰壶运行前方的冰面，使冰壶与冰面间的动摩擦因数减小为一确定值。

（1）求没有擦拭冰壶冰面时冰壶与冰面间的动摩擦因数μ；

（2）在某次比赛中冰壶投掷速度v0＝3m/s，从MN前方12.5m处开始不停擦拭冰面，直至冰壶正好停在营垒区中心O点。求擦拭冰面后冰壶的加速度大小；

（3）求（2）问中，从投出冰壶到冰壶停止运动这个过程中冰壶受到摩擦阻力的冲量。

考点二 碰撞类问题

例2．在电场强度为E的足够大的水平匀强电场中，有一条固定在竖直墙面上与电场线平行且足够长的光滑绝缘杆，如图所示，杆上有两个质量均为m的小球A和B，A球带电荷量+Q，B球不带电。开始时两球相距L，现静止释放A，A球在电场力的作用下，开始沿杆运动并与静止的B球发生正碰，设在各次碰撞中A、B两球的机械能没有损失，A、B两球间无电量转移，忽略两球碰撞的时间。则下列说法正确的是（　　）

A．发生第一次碰撞时A球的电势能增加了QEL 

B．发生第二次碰撞时A球总共运动时间为 

C．发生第三次碰撞后B球的速度为 

D．发生第n次碰撞时B球已运动的位移是2n（n+1）L

练3．如图所示，质量为M的木块位于光滑水平面上，在木块与墙之间用轻弹簧连接，开始时木块静止在A位置。现有一质量为m的子弹以水平速度v0射向木块并嵌入其中，则当木块回到A位置时的速度的大小v以及此过程中墙对弹簧的冲量I的大小分别为（　　）

A．v，I＝0 

B．v，I＝2mv0 

C．v，I 

D．v，I＝2mv0

练4．如图所示，固定在水平面上长度为L的木板与竖直放置的半径为R的半圆形光滑轨道BC相切于B点，在木板左端A处静止放置一个质量为m的小物块（可视为质点）。一个质量为m0＝0.2m的子弹以水平速度v0射向物块，击中物块后恰好能与物块一起运动到C点，最终落在木板上的D点（图中未画出）。已知重力加速度为g。求：

（1）子弹击中物块后物块的速度和此过程中系统损失的机械能；

（2）物块通过半圆形轨道最低点B时对轨道的压力以及物块与木板间的动摩擦因数；

（3）D点与B点的距离及物块落在木板上前的瞬时速度与水平方向间夹角的正切值。

考点三 动力学、动量和能量观点的应用

例5．如图所示，质量为m的子弹以水平初速度v0射入静止在光滑水平面上的质量为M的木块中，子弹未从木块中射出，最后共同速度为v，在此过程中，木块在地面上滑动的距离为s，子弹射入木块的深度为d，子弹与木块间的相互作用力为f，以下关系式中不正确的是（　　）

A．mv02mv2＝f（s+d） B．Mv2＝fs 

C．Mv2＝fd D．mv02（M+m）v2＝fd

练5．如图所示，空间有竖直向下的匀强电场E＝5.0×105N/C，长L＝0.25m的不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一质量m＝0.01kg的不带电小球A，将小球A拉起至绳水平绷紧后，无初速度释放。另一电荷量q＝﹣10﹣7C且质量与小球A相等的小球B以初速度v0＝2.4m/s水平抛出。小球A第一次经过D点时与小球B正碰并粘在一起可视为小球C（两球的总电量不变），OD与竖直方向的夹角为37°．碰后小球C运动到O点正下方的P点时，电场突然增强到E′＝3.6×106N/C，电场方向不变。不计空气阻力，整个运动过程小球昇、B、C均可视为质点。则：

（1）碰撞前小球B的运动时间t；

（2）碰撞后小球C的速度大小；

（3）小球C能否运动到O点正上方0.25m处的点？若能，请计算通过Q点时轻绳的拉力大小；若不能，请说明理由。

（多选）练6．如图，在水平地面上放置一质量M的木块，一质量为m的子弹以水平速度v射入木块（子弹与木块相互作用的时间极短），若木块与地面间的动摩擦因数为ì，则在子弹射入后（　　）

A．若子弹最终未穿出木块，则木块前进的距离为 

B．若子弹能穿出木块，则木块前进的距离小于 

C．若子弹最终未穿出木块，则子弹的速度越大，木块前进的距离就越大 

D．若子弹能穿出木块，则子弹的速度越大，木块前进的距离就越大

【强化专练】

1. 如图，桌子边缘用茶叶罐子压着一张纸，欲向外把纸拉走，而让茶叶罐子留在桌上，实验发现纸拉得越快，茶叶罐子越稳定，对此，以下说法正确的是（　　）

A．纸拉得越快，纸对罐子的摩擦力越小 

B．由于罐子有惯性，所以纸拉得越快，罐子惯性越大，越稳定 

C．纸拉得越快，纸对罐子的摩擦力的冲量越小 

D．无论拉纸的力如何，罐子和纸总会有相对运动，最终罐子总可以留在桌上

2. 如图所示为一半圆形的环，AB为半圆的水平直径，从A点以2m/s水平初速抛出一个质量为0.2kg的小球，经0.2s后小球落在半圆上P点（图中未画出），下列判断中正确的是（　　）

A．半圆的半径为0.3m 

B．P点的速度方向与水平方向夹角的正切为 

C．小球从A点运动到刚落在半圆壁前一瞬时，小球动量改变了0.4kg•m/s 

D．选择合适的初速度，小球可以垂直打在半圆壁上

3. 如图所示，质量为m、内壁光滑、半径为R的半圆形容器静止在足够长的光滑水平地面上，左侧紧靠竖壁但不粘连，质量也为m的小球从半圆形容器内壁A点静止开始下滑，下列说法中正确的是（　　）

A．从A点下滑到半圆形轨道最底点B点过程中，运动时间为 

B．小球过最底点B后，能上升的最大高度点为D点，B、D两点高度差为 

C．从A点运动到D点过程中，半圆形容器对小球的弹力对小球始终不做功 

D．半圆形容器在一段时间内将不断重复做往复运动

4. 最近，义乌中学实验室对一款市场热销的扫地机器人进行了相关测试，测试过程在材质均匀的水平地板上完成，获得了机器人在直线运动中水平牵引力大小随时间的变化图象a，以及相同时段机器人的加速度a随时间变化的图象b。若不计空气，取重力加速度大小为10m/s2，则下列同学的推断结果正确是（　　）

A．机器人与水平桌面间的最大静摩擦力为3N 

B．机器人与水平桌面间的动摩擦因数为0.2 

C．在0～4s时间内，合外力的冲量为12N•S 

D．在0～4s时间内，合外力做的功为12J

5. 如图所示，某同学将质量相同的三个物体从水平地面上的A点以同一速率沿不同方向抛出，运动轨迹分别为图上的1、2、3。若忽略空气阻力，在三个物体从抛出到落地过程中，下列说法正确的是（　　）

A．轨迹为1的物体在最高点的速度最大 

B．轨迹为3的物体在空中飞行时间最长 

C．轨迹为1的物体所受重力的冲量最大 

D．三个物体单位时间内速度变化量不同

6. 如图所示，水平面上固定着两根足够长的平行导槽，质量为m的U形管恰好能在两导槽之间自由滑动，一质量也为m的小球沿水平方向，以初速度v0从U形管的一端射入，从另一端射出.已知小球的半径略小于管道半径，不计一切摩擦，下列说法正确的是（　　）

A．该过程中，小球与U形管组成的系统机械能和动量都守恒 

B．小球从U形管的另一端射出时，速度大小为v0 

C．小球运动到U形管圆弧部分的最左端时，速度大小为v0 

D．从小球射入至运动到U形管圆弧部分的最左端的过程中，U形管对平行导槽的冲量大小为mv0，方向垂直导槽向上

7. 动作电影中，常有演员高台跳跃的精彩表演吸引观众的眼球。某场镜头中，质量m＝60kg的演员从静止开始在距离高台边沿x0＝9m处的位置，以恒定的加速度a＝2m/s2向左端跑动起来，演员起跑3.5s后，车厢右端与高台水平距离x＝2m处的汽车以速度v＝5m/s匀速行驶，演员从高台边沿跑出时速度方向水平向左，高台与车厢底板的竖直高度H＝5m，取重力加速度g＝10m/s2，忽略空气阻力。

（1）若演员与车厢底板的接触时间Δt＝0.5s，演员落至车中与车保持相对静止。求接触过程中演员受到汽车的平均作用力的大小F（结果保留整数）；

（2）车厢长度为3m，若想让演员安全落至车厢底板，求演员起跑3.5s时，车厢右端与高台水平距离的范围。

8.  “模型检测”常用来分析一项设计的可行性。如图所示的是某大型游乐设施的比例模型，光滑的水平轨道上静止着物块A和B（均可视为质点），质量分别为m、4m，AB之间压缩着一根锁定的轻质弹簧，两端与AB接触而不相连。水平轨道的左侧是一竖直墙壁：右侧与光滑、竖直固定的圆管道FCD相切于F，圆管道的半径R远大于管道内径。倾角θ＝37°的斜轨DE与圆管道相切于D，另一端固定在水平地面上，物块与斜轨间的动摩擦因数μ＝0.8。现将弹簧解锁，AB分离后撤去弹簧，物块A与墙壁发生弹性碰撞后，在水平轨道上与物块B相碰并粘连，一起进入管道到达最高点C时恰好对圆管道无作用力，最后恰好停止在倾斜轨道的E点。（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度为g）求：

（1）AB过最高点C时速度大小；

（2）斜轨DE的设计长度；

（3）弹簧被压缩时的最大弹性势能Ep。

9. 2022年第24届冬季奥运会将在北京和张家口举行。冰壶运动是冬季运动项目之一，深受观众喜爱。图1为中国运动员在训练时投掷冰壶的镜头。冰壶的一次投掷过程可以简化为如图2所示的模型：在水平冰面上，运动员将冰壶甲推到A点放手，冰壶甲以速度v0从A点沿直线ABC滑行，之后与对方静止在B点的冰壶乙发生正碰。已知两冰壶的质量均为m，冰面与两冰壶间的动摩擦因数均为μ，AB＝L，重力加速度为g，冰壶可视为质点。不计空气阻力。

（1）求冰壶甲滑行到B点时的速度大小v；

（2）若忽略两冰壶发生碰撞时的能量损失。请通过计算，分析说明碰后两冰壶最终停止的位置将如图3所示：甲停在B点，乙停在B右侧某点D。

（3）在实际情景中，两冰壶发生碰撞时有一定的能量损失。如果考虑了它们碰撞时的能量损失，请你在图4中画出甲、乙两冰壶碰后最终停止的合理位置。