2023届甘肃省兰州市高三下学期3月诊断考试（月考）理科数学试题word版含答案

  2023年兰州市高三诊断考试

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．，，则集合（    ）

A．  B．  C．  D．

2．已知复数满足，在复平面内对应的点在第二象限，则（    ）

A．   B．    C．   D．

3．2022年8—12月某市场上草莓价格（单位：元/千克）的取值为：12，16，20，24，28，市场需求量（单位：百千克），则市场需求量的方差为（    ）

A．8    B．4    C．   D．2

4．18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当很大时，（常数）．利用以上公式，可以估计的值为（    ）

A．  B．   C．   D．

5．已知点在圆上，其横坐标为1，抛物线经过点，则抛物线的准线方程是（    ）

A．   B．   C．   D．

6．2021年起，甘肃省普通高中开始实施新一轮课程改革并使用新版教材，某校数学组从人教A版，人教B版，苏教版，湘教版，北师大版，沪教版这6个版本的数学新教材中选出3个版本进行比较研究，要求人教社两个版本的教材不同时被选择，则选择的方法种数是（    ）

A．20    B．18    C．16    D．10

7．已知命题：“若直线平面，平面平面，则直线平面”，命题：“棱长为的正四面体的外接球表面积是”，则以下命题为真命题的是（    ）

A．   B．   C．  D．

8．如图是某算法的程序框图，若执行此算法程序，输入区间内的任意两个实数，，则输出的的概率为（    ）

A．    B．    C．    D．

9．攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑，兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构．如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底、下底、侧棱的长度（单位：dm）分别为2，6，4，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（    ）

A．  B． C． D．

10．下面关于函数的叙述中，不正确的是（    ）

A．的最小正周期为    B．的对称中心为

C．的单调增区间为 D．的对称轴为

11．已知双曲线的一条渐近线上存在关于原点对称的两点和，若双曲线的左、右焦点，与，组成的四边形为矩形，若该矩形的面积为，则双曲线的离心率为（    ）

A．    B．    C．    D．

12．已知函数，其中，，，则以下判断正确的是（    ）

A．函数有两个零点，，且，

B．函数有两个零点，，且，

C．函数有两个零点，，且，

D．函数只有一个零点，且，

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在梯形中，，，，则______．

14．如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，点，是底面弧的两个三等分点，则与所成角的正切值为______．

15．用长度为1，4，8，9的4根细木棒围成一个三角形（允许连接，不允许折断），则其中某个三角形外接圆的直径可以是______（写出一个答案即可）．

16．定义：如果任取一个正常数，使得定义在上的函数对于任意实数，存在非零常数，使，则称函数是“函数”．以下关于“函数”的判断：①函数（且，、为非零常数）必是“函数”；②若，则“函数”为增函数；③若“函数”满足对任意实数，都有，则所有的点都在同一条直线上．其中正确判断的序号是______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）已知数列，，对任意的都有．

（1）求的通项公式；

（2）数列满足：，且，求数列的前项和．

18．（12分）如图所示的五边形中是矩形，，，沿折叠成四棱锥，点是的中点，．

（1）在四棱锥中，可以满足条件①；②；③，请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面底面；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．）

（2）在（1）的条件下求直线与平面所成角的正弦值．

19．（12分）2022年第22届世界杯足球赛在卡塔尔举行，这是继韩日世界杯之后时隔20年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，本届世界杯还是首次在北半球冬季举行的世界杯足球赛．每届世界杯共32支球队参加，进行64场比赛，其中小组赛阶段共分为8个小组，每个小组的4支队伍进行单循环比赛共计48场，以积分的方式产生16强，之后的比赛均为淘汰赛，1/8决赛8场产生8强，1/4决赛4场产生4强，半决赛两场产生2强，三四名决赛一场，冠亚军决赛一场．下表是某五届世界杯32进16的情况统计：

（1）根据上述表格完成列联表：

并判断是否有95%的把握认为球队进入世界杯16强与来自欧洲地区有关？

（2）淘汰赛阶段全场比赛90分钟内进球多的球队获胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负，将进行30分钟的加时赛．加时赛阶段，如果两队仍未分出胜负，则通过点球决出胜负．若每支球队90分钟比赛中胜，负，平的概率均为，加时赛阶段胜，负，平的概率也均为，并且各阶段比赛相互独立．设半决赛中进行点球比赛的场次为，求的分布列及期望．

附：，

20．（12分）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆的短轴，菱形的周长为8，面积为，椭圆的焦距大于短轴长．

（1）求椭圆的方程；

（2）若是椭圆内的一点（不在的轴上），过点作直线交于，两点，且点为的中点，椭圆的离心率为，点也在上，求证：直线与相切．

21．（12分）已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，函数的图象与轴交于，两点，且点在右侧．

ⅰ）若函数在点处的切线为，求证：当时，；

ⅱ）若方程有两根，．求证：．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，其中．

（1）当时曲线与曲线交于、两点，求线段的长度；

（2）过点的直线的参数方程为（为参数）与曲线交于、两点，若，求实数．

[选修4-5：不等式选讲]

23．（10分）已知．

（1）解不等式；

（2）若对于任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．