2022-2023学年江苏省南通市启东市八年级（上）期末数学试卷(含解析）

2022-2023学年江苏省南通市启东市八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图案中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为(    )
 

A.  B.  C.  D.

4.  如图，，再添加一个条件，不一定能判定≌的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  根据下列表格信息，可能为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为。(    )

A.  B.  C.  D.

7.  能够用图中已有图形的面积说明的等式是(    )
 

A.  B.
C.  D.

8.  如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”下列数中为“幸福数”的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）

10.  若一个多边形内角和为，则这个多边形是______边形．

11.  如图，已知≌，，，则的度数为        ．

12.  如图，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了，到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为       

13.  若，则的值为______ ．

14.  如图，在等腰三角形中，为的平分线，，，，则的长为______．

15.  对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：则方程的解是______ ．

16.  如图，已知线段，于点，，射线于，点从点向运动，每秒走，点从点向运动，每秒走，，同时从出发，则出发        秒后，在线段上有一点，使与全等．

17.  已知，则的值为        ．

三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
如图，，是内部一条射线，若，于点，于点求证：．

19.  本小题分
如图，是的角平分线，在上取点，使若，，求的度数．

20.  本小题分
已知，求代数式的值；
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
如图，、两点关于轴对称，点的坐标是，点坐标为．
直接写出点的坐标为______ ；
用尺规作图，在轴上作出点，使得的值最小；
______ 度

22.  本小题分
为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品现有经费元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为：当用元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品件，求一、二等奖奖品的单价．

23.  本小题分
在中，，，平分交于点，交延长线于点，连接，过点作交于．
如图，求的度数；求证：；
如图，交的延长线于点，请直接写出，，之间的数量关系为        ．
 

24.  本小题分
对于代数式不同的表达形式能表现出它的不同性质例如代数式若将其写成的形式，就能看出该多项式有最小值是；若将它写成的形式，就能与代数式建立联系，下面我们改变的值，研究，两个代数式取值的规律：

表中        ，        ，        ；
观察表格可以发现：若时，，则时，我们把这种现象称为代数式参照代数式取值后移，此时后移值为．
若代数式参照代数式取值后移，相应的后移值为，求代数式；
已知代数式参照代数式取值后移，求出的值．

25.  本小题分
已知，和都是等边三角形，点，分别是，边上的定点，且，点在射线上移动，如图，当点与点重合时，点与点也重合，此时易得．
如图，当点不与点重合时，和仍相等吗？若相等，请写出证明过程，若不相等，请说明理由；
如图，延长，交于点，随着点的移动，与的夹角是否发生改变，若不变，请求出其度数，若改变，请说明理由；
如图，中，，，点为中点，点为边上一动点，以为边，向右作等边，连接若，则的最小值为        ，此时       

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
本题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误；
B.，故选项B正确；
C.，故选项C错误；
D.，故选项D错误．
故选：．
利用同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则逐个计算得结论．
本题考查了整式的运算，掌握同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．先根据直角三角板的性质得出的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】
解：如图所示，

，，
，
，
故选B．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，根据全等三角形的判定定理判断即可．
解：，，，
根据能推出≌，故本选项错误；
B.，，，
根据能推出≌，故本选项错误；
C.根据和已知条件不能推出≌，故本选项正确；
D.，，，
根据能推出≌，故本选项错误．
故选C．  

5.【答案】 

【解析】解：因为当时，分式无意义，
所以分式的分母可能是，
因为当时，分式为，
所以分式的分母可能是，
所以分式可能是，
故选：．
根据分式有意义的条件、分式为是条件解答．
本题考查的是分式有意义的条件、分式为是条件，掌握分式的分母不为是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键。根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的内角和定理得到，由代入数据计算即可得到结论。
【解答】
解：由题意可得：是的垂直平分线，







故选A。  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平方差公式的几何背景，理解图形中各个部分面积之间的关系是得出答案关键．根据图形中各个部分的面积之间的关系得出答案．
【解答】
解：如图，由题意得，长方形与长方形的面积相等，正方形的面积为，

于是有，
所以，
故选D．  

8.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，
是边上的中线，
，，，
，
，
，
，
，


，
故选：．
根据等边三角形的性质得到，，，，根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到答案．
本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
设较小的奇数为，较大的为，根据题意列出方程，求出解判断即可．
【解答】
解：设较小的奇数为，较大的为，
根据题意得：，
若，即，不为整数，不符合题意；
若，即，不为整数，不符合题意；
若，即，不为整数，不符合题意；
若，即，符合题意．
故选：．  

10.【答案】七 

【解析】解：设这个多边形是边形，根据题意得，
，
解得．
故答案为：七．
根据多边形的外角和公式，列式求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
，
≌，
，
故答案为：．
根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质解答即可．
本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，过作于点，

，
，
为的平分线，
，
，，
，
，
即此时这个人到的最短距离为，
故答案为：．
过作于点，根据角平分线的性质得出，再求出的长即可．
本题考查的是角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了因式分解的运用、整体代入法，分步整体代入计算是解决问题的关键．
先把前两项提取公因式得，整体代入后，再提取公因式，再整体代入，即可得出结果．
【解答】
解：，






，
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
为的平分线，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出、，根据角平分线的定义求出、，根据等腰三角形的判定定理求出，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握等腰三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题中的新定义化简得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故答案为：．
已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可．
此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，，，
当≌时，
，即：，
解得：，
此时：，符合题意；
当≌时，
，即：，
解得：，
此时，
，
故不符合题意．
故答案为：．
分两种情况考虑：当≌时与当≌时，根据全等三角形的性质即可确定出时间．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法以及分类讨论是解本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
，
，，
，，
即，，



．
故答案为：．
根据题中所给的多项式求出和之间的关系，然后代入求解即可．
本题考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于将进行恰当的变形并求出和的关系．
 

18.【答案】证明：，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】此题考查了三角形全等的判定和性质，本题的关键是根据已知的条件证明≌．
根据证明≌，再根据全等三角形的对应边相等即可得解．
 

19.【答案】解：是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
是的角平分线，
． 

【解析】根据角平分线的定义可得，从而求出，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；由可得到，再根据三角形的内角和等于求出，最后用角平分线求出，即可得解．
本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，准确识别图形是解题的关键．
 

20.【答案】解：

，
，
，



；



，
当时，原式． 

【解析】根据多项式乘以多项式、单项式乘以多项式的运算法则运算，再将整体代入化简后的代数式求值即可；
先化简分式，再代入求值即可．
本题考查整式的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握多项式乘以多项式、单项式乘以多项式的运算法则，分式的化简方法是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：点的坐标为；
故答案为：．
如图所示，点即为所求；
过作轴于，，
则，，
由知与关于轴对称，
，
，
在中，，，
，
与关于轴对称，
．
故答案为：．
根据关于轴对称的点的特点即可得到结论；
如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于，点即为所求；
过作轴于，，则，，由知与关于轴对称，于是得到，推出，在中，，，于是得到，即可得到结论．
本题考查了轴对称最短距离问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
 

22.【答案】解：设奖品的单价分别为元和元，
，
得，
经检验，是方程的解，
，，
答：奖品的单价分别为元、元． 

【解析】设一等奖奖品单价为元，则二等奖奖品单价为元，根据数量总价单价，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出的值，再将其代入，中即可求出结论．
本题考查分式方程的应用，正确找到等量关系，列出方程是解题关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：，，
，
平分，
，
，
，
，
．
证明：，
，
，
，
即，
由得，
在和中，
，
≌，
；
解：结论：、、之间的数量关系为．
理由：如图所示，过点作于点，
平分，，，

，
≌，
，
又，
，
，
，
，
 由得，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
．
、、之间的数量关系为．
由角平分线的性质求出，由余角的性质可得出答案；
证明≌，由全等三角形的性质可得出；
过点作于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，证明≌，得出，则可得出结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

24.【答案】     

【解析】解：将代入中得：
；
将代入中得：
；
将代入中得：
．
故答案为：；；；
，代数式参照代数式取值后移，相应的后移值为，
；
由题意得：代数式参照代数式取值后移，
，
代数式，
代数式，
代数式参照代数式取值后移，相应的后移值为，
，
，


．
将的值分别代入相应的代数式计算即可；
利用代数式参照代数式取值后移的定义解答即可；
由题意可知：，利用配方法将多项式变形后，判定相应的后移值为，依据题意求得的值，最后代入计算即可得出结论．
本题主要考查了整式的加减与化简求值，求代数式的值，配方法，本题是阅读型题目，理解新定义并熟练运用是解题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：结论：．
理由：和是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
≌，
；

没有改变，．
理由：如图中，与交点记为点，

，
，
又，
，
即；

如图中，在的右边作等边三角形，连接，直线交的延长线于点，交于点，连接．

，是等边三角形，
同法可证≌，
，
点在直线上运动，当时，的值最小，
，，
，
，是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，此时．
故答案为：，．
结论：证明≌，可得结论；
没有改变，如图中，与交点记为点，利用全等三角形的性质，解决问题即可；
如图中，在的右边作等边三角形，连接，直线交的延长线于点，交于点，连接由≌，推出，推出点在直线上运动，昂时，的值最小．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．