2021银川一中高三第四次模拟考试数学理科试题含答案

银川一中2021届高三第四次模拟数学(理科)试卷参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.（-2，-5）  14.   15.4   16.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．【解答】解：（1）由题意可得f（x）＝sinxsin（x）+cos2（x）

sinx（sinxcosx）cos（2x）

sin2xcos2xsin2x

sin2x，

令2kπ≤2x2kπ，k∈Z，解得kπ≤xkπ，k∈Z，

故函数f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ]，k∈Z．

（2）由（1）知f（）sinB，解得sinB，

因为B∈（0，），所以B，

由正弦定理可知2，则a＝2sinA，c＝2sinC，

所以acosB﹣bcosCcosC＝sinAcos（π﹣A）＝sinAcos（A）＝sinAcosAsinAcosAsinA＝cos（A），

在锐角△ABC中，可得可得A，

因此，则cos（A）∈（，），

故acosB﹣bcosC的取值范围为（，）．

18.【解答】解：（Ⅰ）每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．

∴玩一盘游戏，至少出现一次音乐的概率是：p＝1，

（Ⅱ）设每盘游戏获得的分数为X，则X可能取值为﹣150，10，20，50，

P（X＝﹣150），

P（X＝10），

P（X＝20），

P（X＝50），

∴X的分布列为：

∴E（X），

∴每盘游戏得分的平均数是，得负分，

∴由概率统计的相关知识可知：玩的盘数越多，分数没有增加反而减少了．

19．【解答】（Ⅰ）证明：以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），P（0，0，2），M（0，1，1），

∴（0，1，1），（1，0，﹣2），（﹣1，﹣2，0）

设平面PCD的法向量是（x，y，z），则

令z＝1，则x＝2，y＝﹣1，于是

∵，∴，∴AM∥平面PCD                          …（6分）

（Ⅱ）解：由点N是线段CD上的一点，可设

又面PAB的法向量为（1，0，0）

设MN与平面PAB所成的角为θ

则

∴ 时，即时，sinθ最大，

∴MN与平面PAB所成的角最大时        

20．【详解】（1），

，则

所以在点处的切线方程为 即

（3）因为对于任意，都有成立，所以，

即问题转化为对于恒成立，

即对于恒成立，

令，则，

令，，则，

所以在区间上单调递增，

故，进而，

所以在区间上单调递增，

函数，

要使对于恒成立，只要，

所以，即实数m的取值范围是.

21．【解答】解：（1）设P（x，y），圆P的半径为r，

因为动圆P与圆Q：（x﹣2）2+y2＝1外切，………………………………………（1分）

所以，①………………………………………………………（2分）

又动圆P与直线x＝﹣1相切，

所以r＝x+1，②………………………………………………………………………（3分）

由①②消去r得y2＝8x，

所以曲线C的轨迹方程为y2＝8x．…………………………………………………（5分）

（2）假设存在曲线C上的点M满足题设条件，不妨设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

则，，，，，…（6分）

所以，③…………（7分）

显然动直线l的斜率存在且非零，设l：x＝ty﹣2，

联立方程组，消去x得y2﹣8ty+16＝0，

由△＞0得t＞1或t＜﹣1，所以y1+y2＝8t，y1y2＝16，且y1≠y2．…………………（8分）

代入③式得，令（m为常数），

整理得，④………………………（9分）

因为④式对任意t∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）恒成立，

所以，…………………………………………………（10分）

所以或，即M（2，4）或M（2，﹣4），

即存在曲线C上的点M（2，4）或M（2，﹣4）满足题意．…………………（12分）

22．【解析】（1）圆C的参数方程为（α为参数），转换为普通方程为：，即，

进一步利用，得到圆C的极坐标方程为；

（2）由l：或，由圆C的圆心，r=2，又弦长为2，

∴圆心C到l的距离，解得k，所以直线的倾斜角为150°，

当直线经过原点，且斜率不存在时，所截得的弦长也为2，故直线的倾斜角为90°．

∴l的倾斜角φ=90°或φ=150°．

23．【解析】       (2)

【详解】解：（1）∵，∴解不等式就是解不等式．

当时，原不等式可化为，∴．

当时，原不等式可化为，∴．

当时，原不等式可化为，∴．

所以，原不等式解集为．

（2），∴

当时，，∴原不等式无解成立．

当时，，要原不等式无解，∴，，

∴．当时，，∴原不等式一定有解．