2023年天津市武清区杨村十二中中考数学结课试卷（含解析）

2023年天津市武清区杨村十二中中考数学结课试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下面的图形中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  年初，国家统计局发布数据，按现行国家农村贫困标准测算，截至年末，全国农村贫困人口减少至万人，累计减少万人．将万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  估计的立方根的大小在(    )

A. 与之间 B. 与之间 C. 与之间 D. 与之间

7.  下列四个选项中是方程组解的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  计算的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  在平面直角坐标系内，，，三点的坐标分别是，，，以，，三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

10.  若点，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，将沿的角平分线所在直线翻折，点在边上的落点记为点，若，，那么等于(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知抛物线为常数，的对称轴是直线，且与轴、轴分别交于、两点，其中点在点的右侧，直线经过、两点，有下列结论：
；
；
．
其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13.  计算的结果等于        ．

14.  计算的结果等于______ ．

15.  不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个黄球和个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，则它是红球的概率是______．

16.  直线与轴交点坐标为______．

17.  如图，中，，，垂足为点，平分，点为上一点，连接，，：：，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，点，点均在格点上，并且在同一个圆上，取格点，连接并延长交圆于点．
Ⅰ四边形外接圆的半径为        ．
Ⅱ请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段，使平分，且点在圆上，并简要说明点的位置是如何找到的不要求证明．

19.  本小题分
解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
Ⅰ解不等式，得______；解不等式，得______；
Ⅱ把不等式和的解集在数轴上表示出来；

Ⅲ原不等式组的解集为______．

20.  本小题分
在一次“爱心助学”捐款活动中，全校同学人人拿出自己的零花钱，踊跃捐款，学生捐款额有元、元、元、元四种情况．李老师在全校范围内随机抽取部分学生，对捐款金额进行了统计，根据统计结果，绘制出如下的统计图和图解答下列问题：
Ⅰ本次抽取的学生人数为______，图中的值为______；
Ⅱ求统计的这组学生捐款数据的平均数、众数和中位数；
Ⅲ根据统计的学生捐款的样本数据，若该校共有名初中学生，估计该校学生共捐款的钱数．
 

21.  本小题分
已知、分别与相切于点，，延长交直径的延长线于点．
Ⅰ如图，若，求的度数；
Ⅱ如图，在上取一点，连接，，，当四边形是平行四边形时，求及的大小．
 

22.  本小题分
如图，某社区一建筑物上，悬挂“创文明小区，建和谐社会”的宣传条幅，小明站在位于建筑物正前方的台阶点处测得条幅顶端的仰角为，朝着条幅的方向走到台阶下的点处，测得条幅顶端的仰角为，已知台阶的坡度为：，米，则条幅的长度为        米
结果精确到米，参考数据，，，

23.  本小题分
甲、乙两车分别从，两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达，两地后即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为单位：，乙车行驶的时间为单位：，与的函数关系如图所示．
，两地之间的公路路程是______，乙车的速度是______，的值为______；
求线段的解析式．
直接写出甲车出发多长时间，两车相距．

24.  本小题分
如图，将一个直角三角形纸片，放置在平面直角坐标系中，已知点，点在轴的正半轴上，，，，、两点同时从原点出发，点以每秒个单位长度的速度沿轴正方向运动，点以每秒个单位长度的速度沿轴正方向运动．连接，交于点，将沿直线折叠得到设，两点的运动时间为秒．
Ⅰ求点的坐标及的度数；
Ⅱ若折叠后与重叠部分的面积为．
当折叠后与重叠部分的图形为三角形时，请写出与的函数关系式，并直接写出的取值范围；
当重叠部分面积最大时，若绕点旋转，得到，点，的对应点分别为，，连接，，求面积的最大值直接写出结果即可．

25.  本小题分
如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与的正半轴交于点．

求二次函数的表达式．
点是线段上一点，过点作轴的平行线，与交于点，与抛物线交于点，连接，探究：是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
若点在二次函数图象上，且以为圆心的圆与直线相切与点，且，请求出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式
．
故选：．
根据有理数的减法运算即可求出答案．
本题考查有理数的减法，掌握有理数减法的运算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数是解决问题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：原式．
故选：．
直接代入特殊角的三角函数值即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．
 

3.【答案】 

【解析】解：此图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.此图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.此图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.此图形不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进而判断得出答案．
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：万，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：左视图应该是：

故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
而，
．
故选：．
由于，，所以的立方根在和之间，由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的估算，需掌握三次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
得：，
，
把代入得：，
解得：，
即方程组得解为，
故选：．
求出方程组的解，再选出即可．
本题考查了解二元一次方程组得应用，关键是能把二元一次方程组转化成一元一次方程．
 

8.【答案】 

【解析】解：原式，
故选：．
通过观察知分母一样，而对于同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．
本题考查了分式的加减运算，关键在于学生要知道对于同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．
 

9.【答案】 

【解析】解：现根据题意画出草图：
A、、三点位置如图所示，要使四边形为平行四边形，则点有三种可能，即分别以、、为对角线的平行四边形，故第四个顶点不可能在第三象限．故选C．
根据坐标与图形的性质和平行四边形的对边平行且相等可以画出草图，然后解答．
利用已知条件正确画图、数形结合，能起到事半功倍的作用．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
反比例函数的图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，随的增大而增大．
，，
点在第二象限，点，在第四象限，
，．
．
故选：．
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的大小进行解答即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的性质是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据折叠的性质可得，．
，
，
，
，
，
即，
，
故选：．
根据折叠的性质可得，，推出，然后根据三角形的外角的性质求解．
本题考查的是三角形内角和定理及平角的性质，解答此题的关键是熟知三角形的内角和是．
 

12.【答案】 

【解析】解：直线经过点，点在点的右侧，
，
，故正确；
，
，
，故正确；
由题意可知，抛物线开口向下，，
当时，，
，
，
，
，故正确；
故选：．
把代入，求得的值，即可判断；由整理得到即可判断；根据图象点的坐标特征即可判断．
本题考查了二次函数的系数与图象的关系，根据抛物线与轴，轴的交点以及对称轴推理对称，，之间的关系是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
从左到右依次计算即可．
本题考查的是实数的混合运算，熟知实数的混合运算的法则是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：


．
故答案为：．
应用平方差公式，求出计算的结果等于多少即可．
此题主要考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式的应用，要熟练掌握．
 

15.【答案】 

【解析】解：袋子中共有个小球，其中红球有个，
摸出一个球是红球的概率是，
故答案为：．
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

16.【答案】 

【解析】解：令，则，
直线与轴交点坐标为，
故答案为：．
令求出的值即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：延长交于，
，
设，则，
，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
：：，
．
故答案为：．
延长交于，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理和角平分线的性质，由证明≌，再根据全等三角形的性质即可求解．
考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，题目关键是得到，利用全等三角形的性质得到．
 

18.【答案】 

【解析】解：找出圆的圆心，连接，
根据勾股定理得：；

即为所求；
连接交于点，连接交圆于点，连接即可．
先作出圆心，再根据勾股定理求解；
根据网格线的特点和垂径定理求解．
本题考查了作图的应用和设计，掌握勾股定理和垂径定理是解题的关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：，
Ⅰ解不等式，得，
解不等式，得，
Ⅱ把不等式和的解集在数轴上表示出来：
；
Ⅲ原不等式组的解集为，
故答案为：，，
先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
 

20.【答案】人   

【解析】解：Ⅰ抽取的学生人数人，，
．
故答案为：人，；

Ⅱ，
这组数据的平均数为．
值这组数据中，出现了次，出现的次数最多，
这组数据是众数是，
将这组数据从小到大排列，其中处于中间位置的两个数都是，，
这组数据的中位数为；

Ⅲ元，
答：估计该校学生共捐款的钱数是元．
Ⅰ取捐款元的人数以及百分比求出总人数，再根据百分比的定义求解即可；
Ⅱ根据平均数，众数，中位数的定义求解即可；
Ⅲ利用样本估计总体的思想解决问题．
本题考查的是条形统计图和扇形图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到信息是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：、是的切线，
，，
，
，
在中，，
；
如图，连接、，
、是的切线，
，，
，
四边形为平行四边形，
平行四边形为菱形，
，，
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
由圆周角定理得：，
答：，． 

【解析】根据切线的性质得到，，根据特殊角的三角函数值求出；
连接、，根据菱形的判定定理得到平行四边形为菱形，根据菱形的性质得到，，根据圆周角定理、四边形内角和等于求出，根据等边三角形的性质、圆周角定理求出．
本题考查的是切线的性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：作于点，如右图所示，
由题意可得，，
台阶的坡度为：，米，
米，
，，，
四边形是矩形，
米，，
米，
，，，
，
即，
又，，，
，
，米，
，
解得，米，
故答案为：．
要求的长，只要构造出直角三角形，利用锐角三角函数进行求解即可，作于点，然后根据题目中的数量关系，可以表示出关于的等式，从而可以得到的值．
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，构造合适的直角三角形，利用锐角三角函数进行解答．
 

23.【答案】     

【解析】解：由图象和题意可知、两地之间公路路程是；
乙车的速度为：，
甲车的速度是：，
，
故答案为：，，；
设的表达式为：，
将、代入表达式得，
，
解得：
，
两车相遇前：，
两车相遇后：，
故甲车出发或，两车相距．
根据题图，即可知，两地之间的公路路程，分别求出甲、乙的速度即可求；
设的表达式为：，将、代入表达式即可求解；
分相遇前和相遇后进行计算即可；
本题考查了一次函数的综合应用，正确解读题意，结合图象求出甲、乙的速度是解题的关键．
 

24.【答案】解：Ⅰ，，，
，
；
；
，，，
，
；
Ⅱ，，
，即，
将沿直线折叠得到，折叠后的点落在直线上，
如图，当点落在线段上，与重叠部分是三角形，

此时≌，
，，
，
，
；
如图，当点落在线段的延长线上时，与重叠部分是三角形，

设与交于点，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，

．
当点落在线段上，与重叠部分是四边形时，设与交于点，

，，，
，，，，
，，


，
对称轴为直线，
，
当时，有最大值；
由知，时，对称轴为，
当时，有最大值；
，对称轴为直线，
当时，有最大值；
综上，当，即时，有最大值；
当垂直的延长线时，点到直线的距离最长，面积取得最大值，如图，

，
，
，
由旋转的性质可得，，，
，，，
，
的面积． 

【解析】Ⅰ利用勾股定理求得的长，可求得点的坐标，利用特殊角的三角函数值即可求得；
Ⅱ分点落在线段上和点落在线段延长线上两种情况讨论，利用特殊角的三角函数值以及三角形面积公式即可求解；
利用的方法求得与重叠部分是四边形时，函数的解析式，再比较求得重叠部分面积最大时，的值，当垂直的延长线时，点到直线的距离最长，面积取得最大值，根据面积公式即可求解．
本题主要考查了直线与轴的交点、用待定系数法求抛物线的解析式、运用三角函数解三角形、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的图象和性质等知识，对运算能力要求比较高，运用分类讨论和割补法是解决第小题的关键
 

25.【答案】解：将，代入，得：
，
解得：，
二次函数的表达式为；
存在，理由如下：
如图，
当时，，
点的坐标为，
设直线的函数表达式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线的函数表达式为，
点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
．
点的坐标为，
，
，
，
解得：舍去，，
点的坐标为，
存在点，使；
过点作直线，交轴于点，这样的点有两个，记为，，如图所示．
，，
，
点到直线的距离，
点到直线的距离为，
以为圆心的圆与直线相切与点，且，
点到直线的距离为，
点为线段的中点，
点的坐标为，
，
点的坐标为，
直线的函数表达式为，
直线的函数表达式为或，
联立直线和抛物线的函数表达式成方程组，得：或，
解得：，，，，
点的坐标为或或或 

【解析】根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点，的坐标利用待定系数法可求出直线的函数表达式，由点的坐标可得出点，的坐标，进而可得出的长度，结合点的坐标可得出的长度，由进而可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值取正值，进而可得出点的坐标；
过点作直线，交轴于点，这样的点有两个，记为，，利用面积法可求出点到直线的距离，结合可得出点为线段的中点，进而可得出点的坐标，由可得出点的坐标，结合的解析式可求出直线的函数表达式，联立直线和抛物线的函数表达式组成方程组，通过解方程组即可求出点的坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程、平行线的性质以及三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；利用，找出关于的一元二次方程；利用面积法结合平行线的性质，求出直线的解析式．