专题33 从全等到相似类比探究-2023年中考数学二轮专题提升训练

这是一份专题33 从全等到相似类比探究-2023年中考数学二轮专题提升训练，共33页。试卷主要包含了从全等到相似——旋转变换，从全等到相似——变式探究，从全等到相似——从特殊到一般等内容，欢迎下载使用。

类型一 从全等到相似——旋转变换
典例1．（2021秋•槐荫区期中）
1．已知点E在△ABC内，，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°．
(1)当时（如图1），
①判断△ABC的形状，并说明理由；
②求证：；
(2)当时（如图2），②的结论还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，求出的比值．
典例2（2022•泰山区一模）
2．解答：
(1)如图1，菱形的顶点E、H在菱形的边上，且，请直接写出的结果（不必写计算过程）；
(2)将图1中的菱形绕点A旋转一定角度，如图2，求；
(3)把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且，此时的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，求出变化后的结果；若无变化，请说明理由．
典例3（2022•湘潭县校级模拟）
3．如图1，中，，于点，点在上，且，连结．
(1)求证：；
(2)将绕点旋转，得到（点分别与点对应），连接．
①如图2，当点落在上时（不与重合），若，，求的长；
②如图3，当是由绕点逆时针旋转得到时，设射线与相交于点，连接，试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由．
典例4（2022•杭州模拟）
4．已知，在等腰直角ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为直线BC上的一动点(点D不与点B、C重合)，连接AD，以AD为边向右作等腰直角ADE， AD=AE，连接CE．
(1)填空：当点D在线段BC上，如图(一)，可通过证明① ，得到BD= ，进而判断②CE，CD，BC三条线段的数量关系为 ．
(2)当点D在线段BC的延长线上且其他条件不变，如图(二)，（1）中CE，CD，BC三条线段的数量关系是否仍然成立? 如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你的结论，并证明．
(3)当点D在线段CB的延长线上且其他条件不变，请你构造出图形，并写出CE，CD，BC三条线段的数量关系 ．
类型二 从全等到相似——变式探究
典例5（2022•坪山区一模）
5．已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
(1)①如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G，则 ；
②如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G，AB＝m，AD＝n，则 ；
(2)拓展研究：如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC＝180°时，求证：；
(3)解决问题：如图4，若BA＝BC＝5，DA＝DC＝10，∠BAD＝90°，DE⊥CF于G，请直接写出的值．
典例6（2022秋•连山区校级月考）
6．如图，和中，，交于点．
(1)如图1，求证：与的数量与位置关系并说明理由；
(2)连接，求证：平分；
(3)如图2，时，直接写出的度数．
类型三 从全等到相似——从特殊到一般
典例7（2019春•方城县期中）
7．问题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，连结AE，点F是线段AE上一点，连结BF并延长，交射线CD于点G．若AF：EF＝4：1，求的值．
（1）尝试探究：
如图1，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是．CG和EH的数量关系是，因此＝ ．
（2）类比延伸：
在原题的条件下，若把“AF：EF＝4：1”改为“AF：EF＝n：1”（n＞0），求的值．（用含有n的式子表示）
（3）拓展迁移：
如图2，在四边形ABCD中，CD∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE与BD相交于点F．若AB：CD＝a：1（a＞0），BC：BE＝b：1（b＞0），则＝ ．（直接用含有a、b的式子表示，不写解答过程）
第二部分 专题提优训练
（2022春•金牛区校级月考）
8．在锐角中，，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到．
(1)如图1，当点在线段的延长线上时，求的度数；
(2)如图2，连接，若，求的长；
(3)如图3，点E为线段中点，点P是线段上的动点，在绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点，求线段长度的最大值与最小值．
（2022秋•清镇市月考）
9．如图1，矩形与矩形全等，点B，C，E和点C，D，G分别在同一直线上，且，，连接，．
(1)在图1中，连接，则=___________；
(2)如图2，将图1中的矩形绕点C逆时针旋转，当平分时，求点G到的距离；
(3)如图3，将图1中的矩形绕点C顺时针方向旋转，连接，，两线相交于点M，求证：点M是的中点．
（锦江区模拟）
10．已知：在中，，，，交线段于点E．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)当时，
①如图2，猜想线段、之间的数量关系并证明你的猜想；
②如图3，点F是边的中点，连接，与交于G，求的值．
（岳阳中考）
11．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B′处，连结AB'，BB'，延长CD交BB'于点E，设∠ABC＝2α（0°＜α＜45°）．

（1）如图1，若AB＝AC，求证：CD＝2BE；
（2）如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系（用含α的式子表示）；
（3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连结EF交BC于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求（用含α的式子表示）．
（2018•武汉模拟）
12．在菱形中，E、F分别为、边上的点，连接、，且．
(1)若，求证：；
(2)若，求证：；
(3)若点E为的中点，，请直接写出的值．
参考答案：
1．(1)①△ABC是等边三角形，理由见解析；②△EBD也是等边三角形，理由见解析
(2)结论不成立，理由见解析
【分析】（1）①由三角形ABC中有两个60°而求得它为等边三角形；②由△EBD也是等边三角形，连接DC，证得△ABE≌△CBD，在直角三角形中很容易证得结论．
（2）连接DC，证得△ABC∽△EBD，设BD=x，在Rt△EBD中DE=2x，BE=，最后由相似比即得到比值．
【详解】（1）解：（1）①判断：△ABC是等边三角形．理由如下：
∵∠ABC=∠ACB=60°
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等边三角形．
②△EBD也是等边三角形，理由如下：
如图1，连接DC，
则AB＝BC，BE＝BD，∠ABE＝60°－∠EBC＝∠CBD
∴△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD，∠AEB＝∠CDB＝150°，
∴∠EDC＝150°－∠BDE＝90°，
∴在Rt△EDC中，．
（2）解：如图2：连接DC，
∵∠ABC=∠EBD=90°，∠ACB=∠EDB=60°
∴△ABC∽△EBD
∴，即
又∵∠ABE=90°-∠EBC=∠CBD
∴△ABE∽△CBD，
∴∠AEB=∠CDB=150°，
∴∠EDC=150°-∠BDE=90°，∠CED=∠BEC-∠BED=90°-（90°-∠BDE）=60°
设BD=x在Rt△EBD中DE=2x，BE=
在Rt△EDC中CD=DE×tan60°=2
∴，即．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，证得△ABE∽△CBD是解答本题的关键．
2．(1)；
(2)；
(3)有变化，．
【分析】（1）连接，由菱形的顶点E、H在菱形的边上，且，易得A、G、C共线，延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结合三角函数可得结论；
（2）连接AG、AC，由和都是等腰三角形，易证，，利用相似三角形的性质及菱形的性质可得结论；
（3）连接AG，AC，易证和，利用相似三角形的性质可得结论．
【详解】（1）解：如图，连接AG，
∵菱形AEGH的顶点E、H在菱形的边上，且，
∴，，，
∴A、G、C共线，，
∴，
延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵为平行四边形，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接，，
∵和都是等腰三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
（3）解：有变化．
如图，连接，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转，菱形，相似三角形，全等三角形，三角函数等知识点的综合运用，难度较大．解题的关键是掌握菱形，相似三角形，全等三角形，三角函数等知识点．
3．(1)证明见解析
(2)①；②，理由见解析
【分析】（1）先判断出，再判断出即可；
（2）①先根据，求出，然后根据，得到，，可得结论；
②先判断出，得到，然后判断出，用相似比即可．
【详解】（1）证明：在中，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：①如图，在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②结论：．理由如下，如图1，
∵是由绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
由①有，和都为等腰三角形，
∴，
∴，
∴点四点共圆，
∴，
设与交于点，
∵，
∴，
∴，
∵是由绕点逆时针旋转得到，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数的意义，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是相似三角形性质和判定的运用．
4．(1)ABD，ACE，CE，BC=CE+CD
(2)不成立，BC=CECD，理由见解析
(3)构造图形见解析，BC=CDCE
【分析】（1）根据等腰直角三角形的概念得到AB=AC，AD=AE，证明∠BAD=∠EAC，利用SAS定理证明ABDACE，根据全等三角形的性质得到BD=CE，进而证明结论；
（2）证明ABDACE，根据全等三角形的性质得到BD=CE，进而证明结论；
（3）根据题意补全图形，仿照（2）的证明方法证明结论．
【详解】（1）证明：∵ABC和ADE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC∠DAC=∠DAE∠DAC，即∠BAD=∠EAC．
在ABD和ACE中，
，
∴ABDACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BC=BD+CD=CE+CD；
故答案为：ABD，ACE，CE，BC=CE+CD；
（2）解：结论BC=CE+CE不成立，猜想BC=CECD，
理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠EAC．
在ABD和ACE中，
，
∴ABDACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BC=BDCD=CECD；
（3）解：补全图形如图3所示，结论：BC=CDCE，
理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC∠BAE=∠DAE∠BAE，即∠BAD=∠EAC．
在ABD和ACE中，
，
∴ABDACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BC=CDBD=CDCE．
故答案为：BC=CDCE．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．
5．(1)①1；②
(2)见解析
(3)
【分析】（1）①由“ASA”可证△ADE≌△DCF，可得DE＝CF，可求解；
②通过证明△AED∽△DFC，可得；
（2）通过证明△ADE∽△DCM，可得，可得结论；
（3）设CN＝x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD＝∠A＝90°，证△BCM∽△DCN，求出CMx，在Rt△CMB中，由勾股定理得出，代入得出方程（x﹣5）2+（x）2＝52，求出CN＝8，证出△AED∽△NFC，即可得出答案．
【详解】（1）（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF＝90°＝∠ADC，
∴∠ADE+∠EDC＝90°＝∠EDC+∠DCF，
∴∠ADE＝∠DCF，
∴△ADE≌△DCF（ASA），
∴DE＝CF，
∴，
故答案为：1；
②解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，AB＝CD＝m，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
∵∠A＝∠CDF，
∴△AED∽△DFC，
∴，
故答案为：；
（2）（2）证明：如图所示，∠B+∠EGC＝180°，∠EGC+∠EGF＝180°，
∴∠B＝∠EGF，
在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠CDM，
∵AD∥BC，
∴∠B+∠A＝180°，
∵∠B＝∠EGF，
∴∠EGF+∠A＝180°，
∴∠AED＝∠CFM＝∠CMF，
∴△ADE∽△DCM，
∴，
即；
（3）（3）解：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，
∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD，
∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∴AM＝CN，AN＝CM，
在△BAD和△BCD中，
，
∴△BAD≌△BCD（SSS），
∴∠BCD＝∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC+∠CBM＝180°，
∴∠MBC＝∠ADC，
∵∠CND＝∠M＝90°，
∴△BCM∽△DCN，
∴，
∴，
∴CMx，
在Rt△CMB中，CMx，BM＝AM﹣AB＝x﹣5，由勾股定理得：，
∴（x﹣5）2+（x）2＝52，
解得：＝0（舍去），＝8，
∴CN＝8，
∵∠A＝∠FGD＝90°，
∴∠AED+∠AFG＝180°，
∵∠AFG+∠NFC＝180°，
∴∠AED＝∠CFN，
∵∠A＝∠CNF＝90°，
∴△AED∽△NFC，
∴．
【点睛】本题考查了正方形，矩形，平行四边形，三角形全等，三角形相似，解决问题的关键是熟练运用正方形四边相等四角相等，矩形对边相等四角相等，平行四边形对边平行且相等对角相等，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质，邻补角性质，四边形内角和性质．
6．(1)，见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明得出，可得，，设交于点，根据三角形内角和定理可得；
（2）连接，过点作，证明，得出是等腰直角三角形，结合（1）的结论，即可得证；
（3）方法同（1）证明，根据已知条件即可得证
【详解】（1）证明：，
理由：∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
∴；，
如图，设交于点，
∵，
∴，
∵，，
∴．
∴；
（2）如图，连接，过点作，
∵理由：∵，
∴，
∴，
由（1）可知，
∴，，
即，
在和中，
，
∴．
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分；
（3）解：如图2，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
7．（1）2；（2）；（3）ab．
【分析】（1）本问体现“特殊”的情形，＝4是一个确定的数值．根据平行线构造相似三角形，利用相似三角形性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值；
（2）本问体现“一般”的情形，＝n不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如答图2所示．
（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD，根据平行线构造相似三角形，利用相似三角形性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值，如答图3所示．
【详解】解：（1）∵EH∥AB
∴△ABF∽△EHF，
∴＝＝4，
∴AB＝4EH．
∵平行四边形ABCD中，EH∥AB，
∴EH∥CD，
∴△BEH∽△BCG．
∴＝＝2，
∴CG＝2EH．
∴＝＝＝2．
故答案为：2．
（2）如图2所示，作EH∥AB交BG于点H，
则△EFH∽△AFB．
∴＝＝n，
∴AB＝nEH．
∵AB＝CD，
∴CD＝nEH．
∵EH∥AB∥CD，
∴△BEH∽△BCG．
∴＝＝2，
∴CG＝2EH．
∴＝＝．
（3）如图3所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD．
∵EH∥CD，
∴△BCD∽△BEH，
∴＝＝b，
∴CD＝bEH．
又＝a，
∴AB＝aCD＝abEH．
∵EH∥AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴＝＝＝ab，
故答案为：ab．
【点睛】此题考查的是相似三角形的应用，掌握构造相似三角形的方法是解决此题的关键．
8．(1)
(2)
(3)线段长度的最大值为7与最小值为
【分析】（1）由旋转的性质可得：，，又由等腰三角形的性质，即可求得的度数；
（2）由旋转的性质可得：，易证得，利用相似三角形对应边成比例，即可求出；
（3）由①当P在上运动至垂足点D，绕点B旋转，使点P的对应点在线段上时，最小；②当P在上运动至点C，绕点B旋转，使点P的对应点在线段的延长线上时，最大，即可求得线段长度的最大值与最小值．
【详解】（1）解：由旋转的性质可得：，，
∴，
∴．
（2）解：由旋转的性质可得：，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：．
（3）解：过点B作，D为垂足，
∵为锐角三角形，
∴点D在线段上，
在中，,，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∵点E为线段中点，
∴；
①如图1，当P在上运动至垂足点D，绕点B旋转，使点P的对应点在线段上时，最小，且最小值为： ；
②如图2，当P在上运动至点C，绕点B旋转，使点P的对应点在线段的延长线上时，最大，且最大值为：．
综上分析可知，线段长度的最大值为7与最小值为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．
9．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据矩形与矩形全等，可得矩形是由矩形绕点C逆时针旋转得到的，所以．然后根据勾股定理即可解决问题；
（2）过点G作，于点H，Q，根据平分，可得，然后由，进而可以解决问题；
（3）连接，并延长交延长线于点H，设与交于点Q，，根据矩形的性质证明，然后证明，可得．进而可以解决问题．
【详解】（1）∵矩形与矩形全等，且点B，C，E和点C，D，G分别在同一直线上
∴矩形是由矩形绕点C逆时针旋转得到的，
∴
∵，，
∴，
在中，
故答案为：；
（2）如图2，过点G作，于点H，Q，
∵平分，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，
∴
即点G到的距离为；
（3）证明：如图，连接，并延长交延长线于点H，设与交于点Q，
由旋转可知：
∴
∵，
∴，，
∴，
∵
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
在和中，
∴
∴
即点M是的中点．
【点睛】本题主要考查了矩形性质、直角三角形的性质、勾股定理以及旋转等知识点，综合性强，解本题的关键是灵活运用所学知识．
10．(1)证明见解析
(2)①，证明见解析；②6
【分析】（1）易证，然后只需运用相似三角形的性质就可解决问题；
（2）①过点B作于H，如图2．根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，，进而可得，则有，即可证到；②延长到点N，使得，连接、，如图3，易证四边形是平行四边形，从而可得，，即可得到，，从而可得．设，则有，，，，就可得到的值．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）解：①猜想：．
证明：过点B作于H，如图2所示：
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
②延长到点N，使得，连接、，如图3所示：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
设，则有，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、角所对的直角边等于斜边的一半等知识，倍长中线构造平行四边形是解决（2）②小题的关键．
11．（1）证明见解析；（2）CD＝2•BE•tan2α；（3）sin（45°﹣α）．
【分析】(1)由翻折可知：BE＝EB′，再利用全等三角形的性质证明CD＝BB′即可；
(2) 如图 2 中， 结论：CD＝2•BE•tan2α．只要证明△BAB′∽△CAD，可得，推出，可得CD＝2•BE•tan2α；
(3) 首先证明∠ECF＝90°，由∠BEC+∠ECF＝180°，推出BB′∥CF，推出sin(45°﹣α)，由此即可解决问题.
【详解】(1)如图1中，
∵B、B′关于EC对称，
∴BB′⊥EC，BE＝EB′，
∴∠DEB＝∠DAC＝90°，
∵∠EDB＝∠ADC，
∴∠DBE＝∠ACD，
∵AB＝AC，∠BAB′＝∠DAC＝90°，
∴△BAB′≌CAD，
∴CD＝BB′＝2BE；
(2)如图2中，结论：CD＝2•BE•tan2α，
理由：由(1)可知：∠ABB′＝∠ACD，∠BAB′＝∠CAD＝90°，
∴△BAB′∽△CAD，
∴，
∴，
∴CD＝2•BE•tan2α；
(3)如图 3中．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°﹣2α，
∵EC平分∠ACB，
∴∠ECB(90°﹣2α)＝45°﹣α，
∵∠BCF＝45°+α，
∴∠ECF＝45°﹣α+45°+α＝90°，
∴∠BEC+∠ECF＝180°，
∴BB′∥CF，
∴sin(45°﹣α)．
∵，
∴sin(45°﹣α)．
【点睛】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题.
12．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据证明三角形全等即可；
（2）连接，过B作，根据全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质解答即可；
（3）过D作，根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【详解】（1）在与中，
，
．
（2）如图2，连接，过B作交的延长线于M，与交点为，
在菱形中，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，、、三点在同一线段上，、、三点在同一线段上，
则，
，
，
．
（3）如图3，过D作，连接，，
由，
，
，
在，，
，，
，
，，
，
在与中，，
，
则
，
，
，
，，
∴．
【点睛】此题考查相似三角形的综合题，关键是根据全等三角形的判定和性质以及相似三角形的性质解答．