高考数学必刷压轴小题（选择+填空） 专题12 双元类不等式能成立、恒成立问题 （新高考地区专用）

高考二轮数学复习策略

第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，构建出高中数学知识的结构图。下面，小编给大家带来高考数学二轮复习策略，效果是十分显著的哦！

1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。

2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。

3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。

4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。

5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。

6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。

专题12   双元类不等式能成立、恒成立问题

【方法点拨】

1.∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立,则f(x)min> g(x)max；

 ∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x)min> g(x) min；

∃x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x) max > g(x) min.

记忆方法：都任意，大小小大（即对于两个变量都是“任意”的，不等式中较大者的最小值大于不等式中较小者的最大值），存在换任意，大小应互换.

2.双元型不等式恒成立、能成立问题一般应遵循“双元化一元，逐一处理”的策略，即选择主次元的方法，一般应”先独立后分参”,即先处置独立变量（所谓”独立变量”是指与所求参数无关的变量），再处置另一变量,而解题过程中往往采取分参方法.

【典型题示例】

例1  已知函数，若对，总，使得，则实数的取值范围是              .

【答案】

【分析】即.

当时，，故只需，所以即对恒成立，分参得，令，，，故；

当时，，故只需，所以，且，即对恒成立，分参得，令，，，故；

综上，实数的取值范围.

例2   已知函数，若对任意，都存在使成立，则实数b的取值范围是             .

【解析】由条件可知

因为，且、在[1，2]上单调递增

所以函数在[1，2]上单调递增，，

所以，即在恒成立，

即在恒成立，记，

易证在[1,2]上单调递增，

所以，，从而只需，即.

点评：

     为避免求函数最小值时的含参讨论，逆向转化为在上恒成立，再利用分离参数求解.此种处理手段太重要，意味深长！！

例3    已知函数，，若(0，)，[﹣1，0]，使得成立，则实数a的取值范围是      ．

【答案】

【解析】双变量问题，逐一突破，这里先处理不含参部分

由题意得，，，

当时，，

令，则，，

即在上为减函数，故

所以，

所以恒成立，

即恒成立，  

又，当且仅当时取等号，

所以实数的取值范围为．   

点评：

存在性和恒成立混合问题注意理解题意，不等关系转化为最值的关系.

例4   若对任意，存在，使不等式成立，则实数的取值范围是           .

【答案】

【解析一】先视为以“”为主元的二次不等式的恒成立，

即不等式在上恒成立，

所以，

即，存在，使不等式成立，

再视为以“”为元的二次不等式的存在性问题，即能成立，

设，则只需或，即或，

所以实数的取值范围为.

【解析二】先视为以“”为主元的二次不等式的恒成立，

即不等式在上恒成立，

所以，

即，存在，使不等式成立，

再视为以“”为元的二次不等式的存在性问题，即能成立，

即在能成立

分离变量得

设，则在区间上单增，

所以，故，即

所以实数的取值范围为.

点评：

1．   二元存在性、恒成立问题应考虑“主次元”思想；

2．   解法二用到了“分离参数”构造函数的方法，一般来说，求参变量范围问题，应尽量做到“能分则分”，以避免参数参与运算带来的分类讨论等不必要的麻烦.

例5  设a>0，函数f (x)＝x＋，g(x)＝x－ln x＋4，若对任意的x1∈[1，e]，存在x2∈[1，e]，都有f (x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围为___________．

【答案】

【分析】问题可转化为f (x)min≥g(x)min，函数g(x)不含参，易求得g(x)min＝g(1)＝5，接下来的思路有二，一是直接分类讨论求f (x)min，二是将f (x)min≥g(x)mi转化为f (x)＝x＋≥5恒成立，通过分离参数再解决

【解析】 问题可转化为f (x)min≥g(x)min.

当x∈[1，e]时，g′(x)＝1－≥0，故g(x)在[1，e]上单调递增，则g(x)min＝g(1)＝5.

思路一：又f ′(x)＝1－＝，令f ′(x)＝0，易知x＝a是函数f (x)的极小值．

当a≤1时，f (x)min＝1＋a2，则1＋a2≥5，不成立；

当1<a≤e时，f (x)min＝f (a)＝2a，则2a≥5，得≤a≤e；

当a>e时，f (x)min＝f (e)＝e＋≥5显然成立，得a2>5e－e2，所以a>e.

综上所述，实数a的取值范围为.

思路二：故有f (x)min≥5，即f (x)＝x＋≥5恒成立，分离参数得a2≥x（5－ x），

易得[x（5－ x）]max=，又a>0，故a≥

所以实数a的取值范围为．

例6 已知函数f (x)＝x2－2ax＋1，g(x)＝，其中a>0，x≠0.

(1)    对任意的x∈[1,2]，都有f (x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围；

【解析】由题意知，f (x)－g(x)>0对x∈[1,2]恒成立，即x2－2ax＋1－>0对x∈[1,2]恒成立，即a<对x∈[1,2]恒成立，令φ(x)＝，只需a＜φ(x)min(x∈[1,2])．

由于φ′(x)＝>0，故φ(x)在x∈[1,2]上是增函数，

φ(x)min＝φ(1)＝，所以a的取值范围是.

(2) 对任意的x1∈[1,2]，存在x2∈[1,2]，使得f (x1)>g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．

【解析】 由题意知x2－2ax＋1>min＝，即a<对x∈[1,2]恒成立．

令φ(x)＝，则φ′(x)＝>0对x∈[1,2]恒成立，

则φ(x)在[1,2]上是增函数，φ(x)min＝φ(1)＝，

所以a的取值范围是.

点评：

防止误将∀x∈D，均有f(x) >g(x)恒成立，转化为f(x)min> g(x)max，一般应作差构造函数F(x)=f(x)－g(x)，转化为F(x) min>0恒成立.

【巩固训练】

1．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________．

2．已知函数f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．

3. 已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________．

4.函数f(x)＝x3－12x＋3，g(x)＝3x－m，若对∀x1∈[－1,5]，∃x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m的最小值是________．

5.已知函数f(x)＝x2－2x＋3a，g(x)＝.若对任意的x1∈[0，3]，总存在x2∈[2，3]，使得|f(x1)|≤g(x2)成立，则实数a的值为________．

6.已知函数f(x)＝x2＋x，g(x)＝ln(x＋1)－a，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＞g(x2) ，则实数a的取值范围是         .

7. 已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________．

8.若对于，不等式都成立，则的取值范围是_________.

9. 若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是_________.

10.关于的一元二次方程有两个根，且满足，则实数的值是（       ）.

A．－2；       B．－3；       C．－4；       D．－5.  

【答案与提示】

1．【答案】(－∞，0)

【解析】f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x∈[1,4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0，故实数m的取值范围是(－∞，0)．

2．【答案】

【解析】当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min

≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥.

3.【答案】 (－∞，1]

【解析】由题意知，f(x)min≥g(x)min(x∈[2,3])，因为f(x)＝x＋，所以f′(x)＝1－，所以f(x)在上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝5，又因为g(x)在[2,3]上的最小值为g(2)＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1.

4.【答案】14

【解析】由f′(x)＝3x2－12，可得f(x)在区间[－1,2]上单调递减，在区间[2,5]上单调递增，

∴f(x)min＝f(2)＝－13，

∵g(x)＝3x－m是增函数，∴g(x)min＝1－m，

要满足题意，只需f(x)min≥g(x)min即可，解得m≥14，

故实数m的最小值是14.

5.【答案】

6.【答案】　

【解析】　依题意知f(x)max≤g(x)max.

∵f(x)＝x＋在上是减函数，∴f(x)max＝f＝.

又g(x)＝2x＋a在[2,3]上是增函数，∴g(x)max＝8＋a，

因此≤8＋a，则a≥.

7.【答案】a＞－4

【分析】问题可转化为f(x)max>g(x)min，易得f(x)max=4，g(x)min=－a，由f(x) max > g(x) min得：

4＞－a，故a＞－4即为所求.

点评：

理解量词的含义，将原不等式转化为[f(x)]max≤[g(x)]max；利用函数的单调性，求f(x)与g(x)的最大值，得关于a的不等式求得a的取值范围．

8.【答案】

9.【答案】

【解析】对不等式分离参数得：

设（），则

令，则

函数在区间单减，故，

所以，即实数的取值范围是.

10.【答案】BC

【解析】将方程分离参数得：

设，如图，则，所以，选BC.