2022-2023学年新疆乌鲁木齐市第八中学高一上学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年新疆乌鲁木齐市第八中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用交集的定义直接求解作答.

【详解】解不等式得：，即，而，

所以.

故选：C

2．下列函数中，与函数是相等函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】依次判断各个选项的解析式和定义域是否和相同，二者皆相同即为同一函数，由此得到结果.

【详解】的定义域为；

对于A，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，A错误；

对于B，，与定义域相同，解析式相同，是同一函数，B正确；

对于C，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，C错误；

对于D，，与解析式不同，不是同一函数，D错误.

故选：B.

3．已知，，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】解不等式得或，

因为或，因此，是的充分不必要条件.

故选：A.

4．下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】逐项判断函数奇偶性和单调性，得出答案.

【详解】解析：A项，B项均为定义域上的奇函数，排除；

D项为定义域上的偶函数，在单调递增，排除；

C项为定义域上的偶函数，且在上单调递减.

故选：C.

5．已知：则下列说法正确的是（    ）

A．有最大值 B．有最小值

C．有最大值4 D．有最小值

【答案】A

【解析】利用基本不等式可得和，即可判断.

【详解】，

，即，可得，当且仅当时等号成立，

有最大值，故A正确，B错误；

，当且仅当即时等号成立，

有最小值4，故CD错误.

故选：A.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

6．已知函数，则（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】C

【解析】先计算出，然后再计算．

【详解】由题意，所以．

故选：C．

7．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首次把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”表示“小于”，用“>”表示“大于”，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，且，则

D．若，则

【答案】C

【分析】利用反例可判断ABD的正误，利用作差法可判断C的正误.

【详解】对于选项A，当时，，，

此时，故A错误；

对于选项B，当时，，故B错误；

对于选项C，，所以，又，所以，故C正确；

对于选项D，，满足，但，故D错误．

故选：C．

8．设为偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为（    ）

A．（－1，1） B． C． D．（2，4）

【答案】C

【分析】由奇偶性可知的区间单调性及，画出函数草图，由函数不等式及函数图象求解集即可.

【详解】根据题意，偶函数在上单调递减且，则在上单调递增，且．

函数的草图如图，或，

由图可得－2＜x＜0或x＞2，即不等式的解集为．

故选：C．

9．已知，则的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用换元法即可求出函数的解析式．

【详解】∵

∴令，则

∴

∴

故选：D．

10．若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先判断函数单调性并利用其比较函数值大小，再根据偶函数转化即得结论.

【详解】∵对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有，

∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，

又∵，

∴，

又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣）＝f（）.

∴.

故选：A.

【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的综合应用，属于基础题.

11．已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，是增函数，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用赋值法，令，得到，再根据得到，然后根据单调性和定义域列不等式，解不等式即可.

【详解】令，则，整理得，因为时，是增函数，所以在的定义域内只存在一个解，

根据题意可得，又是增函数，

所以，解得.

故选：D.

12．已知二次函数的图象的对称轴在轴右侧，且不等式的解集为，若函数在上的最大值为，则实数（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】分析可知，可知关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可得出函数的解析式，然后作出函数在上的图象，数形结合可得出实数的值.

【详解】由题意可得，可得，

因为不等式的解集为，

则关于的方程的两根分别为、，

由韦达定理可得，解得，故，

解方程，即，即，解得或，

作出函数的图象如下图所示：

因为二次函数在区间上单调递减，在上单调递增，

且函数在上的最大值为，则.

故选：A.

二、填空题

13．函数的定义域是_____________

【答案】

【分析】根据题意得，解不等式即可得答案.

【详解】要使函数有意义，则需满足，解得且.

故函数的定义域是.

故答案为：

14．：，的否定是__________．

【答案】，

【分析】利用全称命题的否定是特称命题，即可求解．

【详解】因为命题是全称命题，

根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为：，．

故答案为: ，．

15．定义，例如：min(－1，－2)＝－2，min(2，2)＝2，若f(x)＝x2，g(x)＝－x2－4x＋6，则函数F(x)＝min( f(x)，g(x) )的最大值为______.

【答案】

【分析】作出函数的图象即可得到的图象，从而求出其最大值．

【详解】作出函数的图象，根据定义可知，的图象如图所示（实线部分）：

由，解得：或，

所以函数的最大值为．

故答案为：．

16．定义：表示不超过的最大整数，如，则函数的值域为________．

【答案】

【分析】根据的定义即可求出函数的值域.

【详解】解：当为整数时，，

当时，，

当时，，

所以当且不为整数时，的值域包含于

．

故答案为：.

三、解答题

17．已知集合，集合.

（1）当时，求，；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）先化简集合A,B，再利用集合的并集，补集和交集运算.

（2）根据，由求解.

【详解】（1），

当时，，

所以，

因为或，

所以

（2）因为，

所以，

又因为，，

所以，

解得，

所以实数的取值范围是

18．已知：函数在上是减函数，：关于的方程的两个根大于1．

(1)当时，为真命题，求的取值范围；

(2)若为真命题是为真命题的充分不必要条件，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据指数函数的单调性列不等式，解不等式即可；

（2）分别求出命题和命题为真命题时的范围，根据为真命题是为真命题的充分不必要条件，列不等式求解即可.

【详解】（1）当时，，

因为是真命题，则，解得，所以的取值范围为.

（2）：令，解得，所以：，

：关于的方程，解得或，所以，解得，所以：，

因为为真命题是为真命题的充分不必要条件，所以，则，

所以的取值范围为.

19．已知函数是定义在上的奇函数，并且满足：；当时，.

（1）求a的值；

（2）求函数的解析式；

（3）解不等式.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）由可求出答案；

（2）当时，然后可得答案；

（3）易得在上单调递增，然后由可得，即可解出答案.

【详解】（1）；

（2）因为，当时，，

；

（3）易得在上单调递增，

由，

可得，

所以， 得，

所以原不等式的解为.

20．2020年新冠肺炎疫情在世界范围内爆发，疫情发生以后，佩戴口罩作为阻断传染最有效的措施，一度导致口罩供不应求.为缓解口罩供应紧张，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.已知生产口罩的固定成本为80万元，每生产万箱，需要另外投入的生产成本（单位：万元）为，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.

（1）求生产多少万箱时平均每万箱的成本最低，并求出最低成本；

（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？

【答案】（1）生产20万箱时，平均每万箱成本最低，为56万元；（2）130．

【解析】（1）可得出平均每万箱的成本为，再利用基本不等式可求；

（2）可得利润为，利用二次函数的性质即可求解.

【详解】（1）设生产万箱时平均每万箱的成本为，

则，

因为，所以，

当且仅当，即时等号成立．

所以，当时取到最小值，

即生产20万箱时平均每万箱成本最低，最低成本为56万元．

（2）设生产万箱时所获利润为，

则，即，，

即，

所以，

所以生产130万箱时，所获利润最大为3300万元．

21．已知函数是奇函数，且函数在上单调递增，、．

(1)求的值；

(2)当时，根据定义证明在上是减函数．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用奇函数的定义可得出关于的方程，利用幂函数的单调性可得出，即可得解；

（2）由（1）可得，设，作差，经过通分、因式分解后判断的符号，即可证得结论成立.

【详解】（1）解：由题可知，即，

所以，解得或．

又在上单调递增，因此.经验证满足题意.

（2）证明：结合（1）可知，

设，则

，

因为，则，，

又，，所以，，即，

因此，函数在上是减函数．

22．已知函数．

(1)设，求在区间上的最小值；

(2)求不等式的解集．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）就、、分类讨论后可得.

（2）就、、、、分类讨论后可得不等式的解.

【详解】（1），

①当，即时，函数在处取得最小值，故；

②当时，即时，函数在处取得最小值，

故此时；

③当时，即时，函数在处取得最小值，

故此时；

综上可知：

（2）∵，

∴当时，得，故此时不等式的解集为.

时，分为，，

当时，

当时，不等式的解集为；

当，不等式的解集为

当，不等式的解集为

当，不等式的解集为．