专题21 电场能的性质（解析版）

专题21 电场能的性质
目录
题型一 描述电场能的性质的物理量 1
类型1 静电力做功与电势能的关系 2
类型2　电势能与电势的关系 3
类型3　标量求和法比较电势的高低 4
题型二 电势差与电场强度的关系 6
类型1　匀强电场中电场强度和电势差的关系 6
类型2　等分法确定电场线及电势高低 8
类型3　非匀强电场中电场强度和电势差 11
题型三 电场线、等势面及运动轨迹问题 12
类型1　对等势面的理解 13
类型2　电场线、等势线和运动轨迹 15
题型五　电场中功能关系的综合问题 17
题型六　电场中的图像问题 20
类型1　电场中的v－t图像 20
类型2　φ－x图像 22
类型3　E－x图像 27
类型4　Ep－x图像、Ek－x图像 30

题型一 描述电场能的性质的物理量
【核心归纳】1．静电力做功的特点
静电力做功与路径无关，只与电荷量和电荷移动过程始、末位置间的电势差有关．
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能．
(2)说明：电势能具有相对性，通常把无限远处或大地表面的电势能规定为零．
3．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比．
(2)定义式：φ＝.
(3)标矢性：电势是标量，有正、负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)．
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同．
4．静电力做功与电势能变化的关系
(1)静电力做的功等于电荷电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB.静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就减少多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就增加多少．
(2)电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功．
【方法技巧】
1．求静电力做功的四种方法

2．判断电势能变化的两种方法
(1)根据静电力做功：静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加．
(2)根据Ep＝φq：正电荷在电势越高处电势能越大；负电荷在电势越高处电势能越小．
3．电势高低的四种判断方法
(1)电场线法：沿电场线方向电势逐渐降低．
(2)电势差与电势的关系：根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低．
(3)Ep与φ的关系：由φ＝知正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低．
(4)场源电荷的正负：取离场源电荷无限远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低．空间中有多个点电荷时，某点的电势可以代数求和．
类型1 静电力做功与电势能的关系
【例1】如图所示，A点与B点间距离为2l，OCD是以B为圆心，以l为半径的半圆路径．A、B两处各放有一点电荷，电荷量分别为＋q和－q.下列说法正确的是(　　)

A．单位正电荷在O点所受的静电力与在D点所受的静电力大小相等、方向相反
B．单位正电荷从D点沿任意路径移到无限远，静电力做正功，电势能减小
C．单位正电荷从D点沿DCO移到O点，电势能增大
D．单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电势能增大
【答案】　C
【解析】　电荷量为＋q的电荷在O点产生的电场强度大小为：E1＝k，方向向右；电荷量为－q的电荷在O点产生的电场强度大小为E2＝k，方向向右，所以O点的合场强为E＝2k，方向向右，单位正电荷在O点受到的静电力大小为：F＝2ek，方向向右．电荷量为＋q的电荷在D点产生的电场强度大小为：E2＝k，方向向右；电荷量为－q的电荷在D点产生的电场强度大小为E3＝k，方向向左，所以D点的合场强为E′＝k，方向向左，单位正电荷在D点受到的静电力大小为：F′＝ke，方向向左，A错误；因为D点靠近负电荷，远离正电荷，所以D点的电势为负，无限远处电势为零，而正电荷从低电势向高电势处运动静电力做负功，电势能增大，B错误；等量异种电荷连线的中点处电势为零，故O点电势比D点电势高，正电荷在电势高处电势能大，则在O点电势能比在D点电势能大，C正确，D错误．
【例2】(多选)如图所示，一倾角θ＝30°的光滑绝缘斜槽，放在方向竖直向下的匀强电场中．有一质量为m、电荷量为q的带负电小球从斜槽顶端A处，以初速度v0沿斜槽向下运动，能到达斜面底端B处．则运动过程中(　　)

A．小球不可能做减速运动
B．小球的电势能增加
C．电场力做的功等于小球的机械能增量
D．电场力的冲量可能与重力的冲量相同
【答案】　ABC
【解析】　能到达斜面底端B处，说明电场力小于或等于小球自身重力，则小球做加速或匀速运动，不会做减速运动，故A正确；小球所受电场力与位移方向夹角为钝角，则电场力做负功，所以其电势能增加，故B正确；根据除重力外其他力做功为机械能的改变量，可知电场力做的功等于小球的机械能增量，故C正确；根据冲量的定义式，有I＝Ft，电场力的冲量大小可能与重力的冲量大小相等，但二者冲量的方向恰好相反，故D错误．
类型2　电势能与电势的关系
【例3】(多选)(2020·山东卷·10)真空中有两个固定的带正电的点电荷，电荷量不相等．一个带负电的试探电荷置于二者连线上的O点时，仅在电场力的作用下恰好保持静止状态．过O点作两正电荷连线的垂线，以O点为圆心的圆与连线和垂线分别交于a、c和b、d，如图所示．以下说法正确的是(　　)

A．a点电势低于O点
B．b点电势低于c点
C．该试探电荷在a点的电势能大于在b点的电势能
D．该试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能
【答案】　BD
【解析】　作出两个固定点电荷分别在O点附近的电场线，由题意知，O点的场强EO＝0，则两点电荷分别在O点处产生电场的电场线疏密相同，进而推知O点左侧的电场方向向右，O点右侧的电场方向向左．可以判定：a点电势高于O点，b点电势低于c点，故A错误，B正确；由Ep＝φq可知，a点的电势高于b点，试探电荷(带负电)在a点的电势能比b点小，故C错误；c点电势高于d点，试探电荷(带负电)在c点的电势能小于d点，故D正确．

【例4】(2022·山东济南市期末)如图所示，一质子只在静电力的作用下，沿虚线由M点运动到N点，质子的电势能增加，则下列说法正确的是(　　)

A.M点比N点的电场强度大 B.质子在M点的速度可能为零
C.M、N间的虚线可能是一条电场线 D.N点比M点的电势高
【答案】　D
【解析】　由于电场线的分布情况未知，因此无法确定M、N两点电场强度的大小，A错误；质子仅在静电力作用下运动，则质子的动能与电势能之和不变，又质子从M运动到N电势能增大，则动能一定减小，所以质子在M点的速度不可能为零，B错误；质子的运动轨迹为曲线时，质子的轨迹不可能与电场线重合，因此M、N间的虚线不可能是电场线，C错误；由于质子带正电，又质子在N点的电势能较大，则由Ep＝qφ可知，N点的电势一定比M点的电势高，D正确.
类型3　标量求和法比较电势的高低
【例5】(多选)如图所示，四个带电荷量绝对值相等的点电荷分别固定在竖直平面内某一正方形的四个顶点上，A、B、C、D四个点分别为对应的四条边的中点，现有某一带正电的试探电荷在四个电荷产生的电场中运动，下列说法正确的是(　　)

A．D点的电势小于A点的电势
B．D点的电势小于C点的电势
C．试探电荷仅在静电力作用下从A点沿AC运动到C点，其加速度逐渐增大
D．直线BD所在的水平面为等势面
【答案】　AD
【解析】　取无穷远处为零电势点，A点在两个正电荷电场中电势为2φ1，在两个负电荷电场中电势为－2φ2，因φ1>φ2，故A点的电势为(2φ1－2φ2)>0；同理C点的电势为(－2φ1＋2φ2)<0.D点在左上正电荷、左下负电荷的电场中电势为0，同理，在右上正电荷、右下负电荷的电场中电势也为0，故D点电势为零，有φA>φD，φD>φC，A正确，B错误．由场强叠加原理可知，A、C两点的场强相同，故试探电荷在这两点的加速度也相同，所以试探电荷仅在静电力作用下从A点沿AC运动到C点，加速度并不是一直增大，故C错误；B、D所在的水平面上任意一点的场强方向均竖直向下，故在这个水平面内移动电荷时，静电力不做功，所以此面一定为等势面，故D正确．
【例6】(多选)如图所示，ABCD为正方形，在A、B两点均固定电荷量为＋q的点电荷．先将一电荷量为＋q的点电荷Q1从无穷远处(电势为0)移到正方形的中心O点，此过程中，电场力做功为－W.再将Q1从O点移到C点并固定．最后将一电荷量为－2q的点电荷Q2从无穷远处移到O点．下列说法正确的有(　　)

A．Q1移入之前，O点的电势为
B．Q 1从O点移到C点的过程中，电场力做的功为0
C．Q 2从无穷远处移到O点的过程中，电场力做的功为1.5W
D．Q 2在O点的电势能为－3W
【答案】　AD
【解析】　将一电荷量为＋q的点电荷Q1从无穷远处(电势为0)移到正方形的中心O点，此过程中，电场力做功为－W，根据电场力做功公式得qU∞O＝－W，解得U∞O＝－，又根据U∞O＝0－φO＝－φO可得正方形的中心O点电势为φO＝，电场中某一点的电势与放不放试探电荷无关，所以Q1移入之前，O点的电势为，故A正确；由两个等量正电荷周围电势分布可知，O点与C点电势不相等，所以Q 1从O点移到C点的过程中，电场力做的功不为0，故B错误；将一电荷量为＋q的点电荷Q1从无穷远处(电势为0)移到正方形的中心O点，此过程中，电场力做功为－W.根据对称性可知，在A、B两点固定的点电荷分别对Q1做功为W0＝－.将一电荷量为－2q的点电荷Q2从无穷远处移到O点，在A、B两点固定的点电荷分别对Q2做功W1＝－2W0＝W，同理Q1对Q2做功也是W.所以Q 2从无穷远处移到O点的过程中，电场力做的功为3W，电势能减小3W，也就是Q 2在O点的电势能为－3W，故D正确，C错误．
题型二 电势差与电场强度的关系

1．由E＝可推出的两个重要推论
推论1　匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示．
推论2　匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示．

2．E＝在非匀强电场中的三点妙用
(1)判断电场强度大小：等差等势面越密，电场强度越大．
(2)判断电势差的大小及电势的高低：距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大，进而判断电势的高低．
(3)利用φ－x图像的斜率判断电场强度随位置变化的规律：k＝＝＝Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向．
3．等分法确定电场线及电势高低的解题思路

类型1　匀强电场中电场强度和电势差的关系
【例1】(2022·广东省高三模拟)如图，圆形区域内存在平行于圆面的匀强电场，mn和pq是圆的两条互相垂直的直径．将一带正电的粒子从另一直径ab的a点移到m点，其电势能增加量为ΔE(ΔE>0)，若将该粒子从m点移到b点，其电势能减少量也为ΔE，则电场强度的方向(　　)

A．平行直径ab指向a
B．平行直径ab指向b
C．垂直直径ab指向pm弧
D．垂直直径ab指向nq弧
【答案】　D
【解析】　由于带正电的粒子从直径ab的a点移到m点，其电势能增加量为ΔE(ΔE>0)，根据W＝q(φa－φm)可知，静电力做负功，且φa<φm，若将该粒子从m点移到b点，其电势能减少量也为ΔE，根据W＝q(φm－φb)可知，静电力做正功，且φb<φm，由于电势能变化量相同，则可知a点与b点电势相等，故直径ab是一条等势线，且m点电势高于a、b点电势，所以电场强度的方向垂直直径ab指向nq弧．
【例2】(多选)如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为10 cm的正六边形的六个顶点，A、C、D三点电势分别为1.0 V、2.0 V、3.0 V，正六边形所在平面与电场线平行，则(　　)

A．E点的电势与C点的电势相等
B．UEF与UCB相同
C．电场强度的大小为 V/m
D．电场强度大小为20 V/m
【答案】　BC
【解析】　已知正六边形所在平面与电场线平行，且A、C、D三点电势分别为1.0 V、2.0 V、3.0 V，延长DC至点G，使DC＝CG，连接BG，可知UDC＝UCG＝1 V，故A、B、G的电势相等为1 V，C、F电势相等为2 V，D、E电势相等为3 V，所以E点的电势与C点的电势不等，A错误；由于UEF＝3 V－2 V＝1 V，UCB＝2 V－1 V＝1 V，故UEF与UCB相同，B正确；B、C两点沿场强方向的距离为d＝0.1cos 30° m＝ m，则有E＝＝ V/m，C正确，D错误．
【例3】.如图所示，边长为10 cm的正立方体ABCD－A′B′C′D′处在匀强电场中．已知A、C、B′、B点的电势分别为φA＝φC＝φB′＝4 V、φB＝10 V，则匀强电场的电场强度大小为(　　)

A．120 V/m
B．60 V/m
C．40 V/m
D．40 V/m
【答案】　B
【解析】　因为φA＝φC＝φB′＝4 V可知，A、B′、C三点构成的平面为等势面，从B点向平面AB′C引垂线的方向为场强方向，且B点与平面AB′C的电势差为U＝6 V，由几何关系可知，B点到平面AB′C的距离为d＝ cm＝ m，则场强大小E＝＝ V/m＝
60 V/m，故选B.
类型2　等分法确定电场线及电势高低
【例4】如图所示，等边△ABC所在平面与匀强电场平行，其中电势φA＝φ，φB＝2φ，φC＝3φ(φ>0)，保持该电场的大小和方向不变，让等边三角形以A点为轴在纸面内顺时针转过30°，到△AB′C′位置，则此时的C′点电势为(　　)

A．φ B．2φ C.φ D．(1＋)φ
【答案】　D
【解析】　利用等分法可确定匀强电场方向从C指向A，设AC长度为L，则E＝，由几何知识得，C′A沿电场线方向的距离为dC′A＝Lcos 30°＝L，由电势差与电场强度的关系UC′A＝φC′－φA＝EdC′A＝·，解得φC′＝(1＋)φ，故D正确，A、B、C错误．
【例5】(多选) (2022·四川泸州市诊断)如图所示，abcd为匀强电场中的一直角梯形，其平面与场强方向平行。已知ab＝ad＝2 cm，∠adc＝60°，a、b、d三点的电势分别为0 V、4 V、4 V，则(　　)

A．c点的电势为10 V
B．匀强电场的场强大小为400 V/m
C．若将电子从a点移到b点，需克服电场力做功4 eV
D．电子和质子分别放在d点时，具有相同的电势能
【答案】　AB
【解析】　由几何关系可知dc＝1.5ab，则Udc＝1.5Uab，即φd－φc＝1.5(φa－φb)，可得φc＝10 V，选项A正确；因bd连线是等势线，则电场强度方向沿着从a点垂直bd连线方向，则电场强度大小E＝＝ V/m＝400 V/m，选项B正确；若将电子从a点移到b点，电场力做正功4 eV，选项C错误；电子和质子分别带等量异号电荷，则放在d点时，具有的电势能大小相等，符号相反，选项D错误。

【例6】 (多选) (2022·四川广安月考)如图所示，在电场中有一等边三角形OPC，O点位于坐标原点，OC与x轴重合，P点坐标为(2 cm，2 cm)，A、B分别为OP、PC的中点，坐标系处于匀强电场中，且电场方向与坐标平面平行。已知O点电势为6 V，A点电势为3 V，B点电势为0，则下列说法正确的是(　　)

A．C点电势为3 V
B．C点电势为0
C．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m
D．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m
【答案】　BD
【解析】　找OC的中点D，连接AD和BD，如图所示。

由几何知识可知AB∥OD，AB∥DC，且AB＝OD＝DC，故UAB＝UOD＝UDC，即φA－φB＝φO－φD＝φD－φC，故φD＝3 V，φC＝0，故A错误，B正确；由于φA＝φD，故AD为等势线，已知电场线和等势线互相垂直且方向由高电势指向低电势，又OB⊥AD，且φO＞φB，故电场强度方向由O指向B，E＝＝ V/m＝100 V/m，故C错误，D正确。
【例7】(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是(　　)

A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
【答案】　ABD
【解析】如图所示，设a、c之间的d点电势与b点电势相同，则＝＝，所以d点的坐标为(3.5 cm，6 cm)，过c点作等势线bd的垂线，电场强度的方向由高电势指向低电势。由几何关系可得，cf的长度为3.6 cm，电场强度的大小E＝＝ V/cm＝2.5 V/cm，故选项A正确；因为Oacb是矩形，所以有Uac＝UOb，可知坐标原点O处的电势为1 V，故选项B正确；a点电势比b点电势低7 V，电子带负电，所以电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，故选项C错误；b点电势比c点电势低9 V，电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV，故选项D正确。

类型3　非匀强电场中电场强度和电势差
【例8】如图为静电除尘器除尘原理的示意图，a、b是直流高压电源的两极，图示位置的P、M、N三点在同一直线上，且PM＝MN.尘埃在电场中通过某种机制带上负电，在静电力的作用下向集尘极迁移并沉积，以达到除尘目的，下列判断正确的是(　　)

A．a是直流高压电源的正极
B．电场中P点的场强小于M点的场强
C．电场中M点的电势低于N点的电势
D．电场中P、M间的电势差UPM等于M、N间的电势差UMN
【答案】　C
【解析】　带负电的尘埃向集尘极迁移，说明集尘极接直流高压电源的正极，a是直流高压电源的负极，选项A错误；从放电极到集尘极的电场，因P点离放电极较近，P点的电场线比M点的电场线密，所以电场中P点的场强大于M点的场强，选项B错误；由于集尘极带正电，电势高，而沿着电场线方向电势逐渐降低，所以电场中M点的电势低于N点的电势，选项C正确；放电极与集尘极之间的电场是非匀强电场，故P、M间的电势差UPM不等于M、N间的电势差UMN，选项D错误．
【例9】(多选) (2022·辽宁沈阳市教学质检)如图所示，正六边形的两个顶点F、D上固定等量异号电荷，则下列说法正确的是(　　)

A．C点电场强度大于B点电场强度
B．若带正电的粒子仅在电场力作用下沿直线从F运动到D，其加速度先变大后变小
C．将一个正电荷从A点移到C点电场力做功等于将其从A点移到E点电场力做功的2倍
D．将一个正电荷从B点移到O点电场力做功小于将其从B点移到E点电场力做的功
【答案】　AC
【解析】　等量异种电荷电场线如图所示

由图可知越靠近电荷的地方电场线越密，电场强度越大，由图可知，C点离电荷的距离小于B点到电荷的距离，故C点电场强度大于B点电场强度，故A正确；若带正电的粒子仅在电场力作用下沿直线从F运动到D，由图可知，电场线先变疏后变密，电场强度先减小后增大，故加速度先变小后变大，故B错误；连接BE、AC，因为BE为AC的中垂线，A、C点关于BE对称，则有UAC＝2UAE，根据W＝qU可知，WAC＝2WAE，故C正确；因为B、O、E三点均在同一等势面上，根据W＝qU可知WBO＝WBE，故D错误。
【例10】(多选)如图所示为某一电场所形成的一簇电场线，图中E 、F、 G、 H是以坐标原点O为圆心的圆周上的四个点，E、H点在y轴上，G点在x轴上，则下列说法中正确的有(　　)

A．O点的电场强度小于E点的电场强度
B．O、E间的电势差小于H、O间的电势差
C．正电荷在O点时的电势能小于其在G点时的电势能
D．将正电荷从H点移到F点的过程中，电场力对其做正功
【答案】　BD
【解析】　电场线的疏密程度代表场强大小，所以O点的电场强度大于E点的电场强度，故A错误；OE与HO间距相等，但是H、O间的电场线密集，平均场强大，根据U＝d可知，O、E间的电势差小于H、O间的电势差，故B正确；电场线与等势面垂直，且由电势高的地方指向电势低的地方，所以O点电势大于G点，所以正电荷在O点时的电势能大于其在G点时的电势能，故C错误；H点电势大于F点电势，所以正电荷在H电势能更大，从H到F电势能减小，电场力做正功，故D正确．
题型三 电场线、等势面及运动轨迹问题
【核心归纳】1．等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面．
(2)四个特点：
①在同一等势面上移动电荷时静电力不做功．
②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高的等势面指向电势低的等势面．
③等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小．
④任意两个等势面都不相交．
2．几种常见等势面的比较
电场
等势面(虚线)图样
特点
匀强电场

垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场

以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场

两电荷连线的中垂面为等势面
等量同种正点电荷的电场

在电荷连线上，中点电势最低；在中垂线上，中点电势最高

【方法技巧】带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．选用轨迹和电场线(等势线)的交点更方便．
2．判断静电力的方向：仅受静电力作用时，因轨迹始终夹在速度方向和带电粒子所受静电力方向之间，而且向合外力一侧弯曲，结合速度方向，可以判断静电力方向．
若已知电场线和轨迹，所受静电力的方向与电场线(或电场线的切线)共线．
若已知等势线和轨迹，所受静电力的方向与等势线垂直．
3．判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力方向与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力方向与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加．
类型1　对等势面的理解
【例1】(多选)(2022·全国甲卷·19)某电场的等势面如图所示，图中a、b、c、d、e为电场中的5个点，则(　　)

A．一正电荷从b点运动到e点，电场力做正功
B．一电子从a点运动到d点，电场力做功为4 eV
C．b点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右
D．a、b、c、d四个点中，b点的电场强度大小最大
【答案】　BD
【解析】　由题图可知φb＝φe，则正电荷从b点运动到e点，电场力不做功，A错误；由题图可知φa＝3 V，φd＝7 V，根据电场力做功与电势能的变化关系有Wad＝Epa－Epd＝(φa－φd)·(－e)＝4 eV，B正确；沿电场线方向电势逐渐降低，则b点处的场强方向向左，C错误；等差等势面越密的地方电场强度越大，由题图可看出a、b、c、d四个点中，b处的等势面最密集，则b点处的电场强度大小最大，D正确．
【例2】(2022·浙江高三模拟预测)某电场等势面分布情况如图所示，则(　　)

A．A点的电势比B点的电势大
B．电子在A点和B点受到的静电力大小相等
C．电子在e等势面时的电势能比在c等势面时的电势能小
D．电子从b等势面移到d等势面，电势能增加10 eV
【答案】　C
【解析】　A、B两点在同一等势面上，电势相同，故A错误；A点的等势面密，电场强，电子受到的静电力大些，故B错误；把电子从e等势面移到c等势面，静电力做负功，电势能增加，故C正确；电子从b等势面移到d等势面静电力做正功，电势能减小，故D错误．
【例3】(多选)2020年2月，中国科学家通过冷冻电镜捕捉到新冠病毒表面S蛋白与人体细胞表面ACE2蛋白的结合过程，首次揭开了新冠病毒入侵人体的神秘面纱．电子显微镜是冷冻电镜中的关键部分，在电子显微镜中电子束相当于光束，通过由电场或磁场构成的电子透镜实现会聚或发散作用，其中的一种电子透镜的电场分布如图所示，其中虚线为等势面，相邻等势面间电势差相等．一电子仅在电场力作用下运动，其轨迹如图中实线所示，a、b、c是轨迹上的三点，则下列说法正确的是(　　)

A．a点的电势高于b点的电势
B．a点的电场强度小于c点的电场强度
C．电子在a点的电势能小于在c点的电势能
D．电子经过b点时的速度大于经过a点时的速度
【答案】　BD
【解析】　由电场线与等势面处处垂直和电子运动轨迹的弯曲方向可知，若电子从a点运动到b点，电场力做正功，则电子在a点时电势能大于其在b点的电势能；若电子从b点运动到a点，电场力做负功，则电子在a点时电势能依然大于其在b点的电势能．由于电子带负电，故a点的电势低于b点的电势，故A错误；根据等势面的疏密程度可表示场强大小，由于a点等势面比c点稀疏，则a点的电场强度小于c点的电场强度，故B正确；由电场线的方向可判断出φc>φa，电子在电势低的地方电势能大，在电势高的地方电势能小，故电子在a点的电势能大于在c点的电势能，故C错误．电子只在电场力作用下运动，其动能和电势能之和不变，又因为电子在a点时电势能大于其在b点时电势能，故其在a点时动能小于其在b点时动能，经过a点时速度小于经过b点时速度，故D正确．
类型2　电场线、等势线和运动轨迹
【例4】如图所示，图中虚线为某静电场中的等差等势线，实线为某带电粒子在该静电场中的运动轨迹，a、b、c为粒子的运动轨迹和等势线的交点，粒子只受静电力作用，以下说法正确的是(　　)

A．a点的电场强度大于b点的电场强度
B．粒子在a点的动能比在b点的动能小
C．粒子在a点和c点的速度相同
D．粒子在b点的电势能比在c点的电势能大
【答案】　D
【解析　根据等差等势线越密，场强越强的特点，则a点的电场强度小于b点的电场强度，所以A错误；由曲线运动的特点知合外力指向轨迹弯曲的一面，所以粒子从a到b过程中，静电力做负功，则粒子在a点的动能比在b点的动能大，所以B错误；a点与c点处于同一等势线上，粒子在a点和c点的速度大小相等，但是方向不同，所以C错误；粒子从b到c，静电力做正功，粒子在b点的电势能比在c点的电势能大，所以D正确．
【例5】如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线1、2、3分别为三条等势线，三条等势线与其中一条电场线的交点依次为M、N、Q点，已知MN＝NQ，电荷量相等的a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出，仅在静电力作用下，两粒子的运动轨迹如图中虚线a′、b′所示，则(　　)

A．a粒子一定带正电，b粒子一定带负电
B．MN两点电势差大小|UMN|等于NQ两点电势差大小|UNQ|
C．a粒子的加速度逐渐增大，b粒子的加速度逐渐减小
D．a粒子从出发到等势线3过程的动能变化量比b粒子从出发到等势线1过程的动能变化量小
【答案】　D
【解析】　由题图可知，a粒子的轨迹方向向右弯曲，a粒子所受静电力方向向右，b粒子的轨迹向左弯曲，b粒子所受静电力方向向左，由于电场线方向未知，无法判断粒子的电性，故A错误；由题可知，a所受静电力逐渐减小，加速度减小，b所受静电力逐渐增大，加速度增大，故C错误；已知MN＝NQ，由于MN段场强大于NQ段场强，所以MN两点电势差大小|UMN|大于NQ两点电势差大小|UNQ|，故B错误；根据静电力做功公式W＝Uq，|UMN|>|UNQ|，a粒子从等势线2到3静电力做的功小于b粒子从等势线2到1静电力做的功，所以a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小，故D正确．
【例6】(2022·江苏七市调研)某平面区域内一静电场的等势线分布如图中虚线所示，一正电荷仅在电场力作用下由a运动至b，设a、b两点的电场强度分别为Ea、Eb，电势分别为φa、φb，该电荷在a、b两点的速度分别为va、vb，电势能分别为Epa、Epb，则(　　)

A．Ea>Eb B．φa＞φb
C．va>vb D．Epa>Epb
【答案】　C
【解析】　等势面的疏密反映电场强度的大小，所以Ea＜Eb，A错误；如图所示，运动轨迹与等势面的交点A处，电场线与等势面垂直，物体做曲线运动合外力指向凹侧，所以A点所受电场力水平向左，又因为带正电，所以A点的电场线水平向左，从而判断出电场线指向左侧，所以φb＞φa，B错误；正电荷在电势高的地方电势能大，所以在b点的电势能大于a点的电势能，则Epa
题型五　电场中功能关系的综合问题
电场中常见的功能关系
(1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变．
(2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变．
(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量．
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量．
【例1】(2022·山西师大附中模拟)如图所示为一匀强电场，某带电粒子从A点运动到B点，在这一运动过程中克服重力做的功为2.0 J，静电力做的功为1.5 J．下列说法中正确的是(　　)

A．粒子带负电
B．粒子在A点的电势能比在B点少1.5 J
C．粒子在A点的动能比在B点少0.5 J
D．粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J
【答案】　D
【解析】　由粒子运动的轨迹可知粒子带正电，A错误；粒子从A到B的过程中静电力做正功，所以电势能减小，B错误；根据动能定理得W＋WG＝ΔEk＝－0.5 J，所以粒子在A点的动能比在B点多0.5 J，C错误；静电力做正功，机械能增加，所以粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J，D正确．
【例2】如图所示，在空间中存在竖直向上的匀强电场，质量为m、电荷量为＋q的物块从A点由静止开始下落，加速度为g，下落高度H到B点后与一轻弹簧接触，又下落 h后到达最低点C，整个过程中不计空气阻力，且弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则带电物块在由A点运动到C点过程中，下列说法正确的是(　　)

A．该匀强电场的电场强度为
B．带电物块和弹簧组成的系统机械能减少量为
C．带电物块电势能的增加量为mg(H＋h)
D．弹簧的弹性势能的增加量为
【答案】　D
【解析】　物块从静止开始下落时的加速度为g，根据牛顿第二定律得：mg－qE＝ma，解得：E＝，故A错误；从A到C的过程中，系统除重力和弹力以外，只有静电力做功，静电力做功为：W＝－qE(H＋h)＝－，可知机械能减小量为，故B错误；从A到C过程中，静电力做功为－，则电势能增加量为，故C错误；根据动能定理得：mg(H＋h)－＋W弹＝0，解得弹力做功为：W弹＝－，即弹性势能增加量为，故D正确．
【例3】(多选)如图所示，A、B、C、D为匀强电场中相邻的四个等势面，一电子经过等势面D时，动能为16 eV，速度方向垂直于等势面D，飞经等势面C时，电势能为－8 eV，飞至等势面B时速度恰好为零，已知相邻两等势面间的距离均为4 cm，电子重力不计.则下列说法正确的是(　　)

A.电子做匀变速直线运动
B.匀强电场的电场强度大小为100 V/m
C.等势面A的电势为－8 V
D.电子再次飞经D等势面时动能为16 eV
【答案】　ACD
【解析】　电子运动方向垂直于等势面，故电子运动方向和电场方向平行，那么，电子加速度方向和运动方向平行，故电子做匀变速直线运动，A项正确；电子飞至等势面B时速度恰好为零，由动能定理可知，电子从等势面D到等势面B，克服静电力做功为16 eV，故等势面D、B间的电势差为16 V，场强E＝＝＝200 V/m，B项错误；又从D到B电势降低，等势面C处电子的电势能为－8 eV，可知等势面C的电势为8 V，所以，等势面A的电势比等势面C的电势低16 V，即为－8 V，C项正确；电子运动过程只有静电力做功，故电子从经过等势面D到再次飞经等势面D时静电力做功为零，那么，电子动能不变，仍为16 eV，D项正确.
【例4】(多选)如图所示，真空中固定放置两等量正点电荷A、B，它们的电荷量均为Q，O为两点电荷连线的中点，D点与两点电荷构成等腰直角三角形，绝缘光滑杆固定在OD所在直线上．套在杆上的带电小球由D点静止释放，运动到O点时，速度大小为v.带电小球的质量为m，电荷量大小为q，不计重力．将电荷B的电荷量改变为2Q，仍将小球由D点释放，下列说法中正确的是(　　)

A．电荷B改变电荷量前，D点电势高于O点电势
B．电荷B改变电荷量前，OD两点电势差的大小为
C．电荷B改变电荷量后，D点场强大小变为之前的倍
D．电荷B改变电荷量后，小球运动到O点时的速度大小为v
【答案】　BCD
【解析】　离两点电荷越近的位置电势越高，则D点电势低于O点电势，故A错误；从D到O只有电场力做功，由动能定理得－qUDO＝mv2－0，解得UOD＝－UDO＝，故B正确；设A、D间距离为r，电荷B改变电荷量前，由E＝及电场强度的叠加法则可得，D点场强大小为ED＝.电荷B改变电荷量后，D点场强大小为ED′＝，则ED′＝ED，故C正确；B改变电荷量后，每个瞬间对小球的力都为原来的两倍．则小球从D到O过程中，B对小球做功WB′＝2WB.当QB＝Q时，有WA＋WB＝mv2(WA＝WB＝W)；当QB＝2Q时，有WA＋WB′＝3W＝mv′2＝mv2，故电荷B改变电荷量后，小球运动到O点时的速度大小v′＝v，故D正确．
【例5】(多选)如图，竖直平面内有a、b、c三个点，b点在a点正下方，b、c连线水平．第一次，将一质量为m的小球从a点以初动能Ek0水平抛出，经过c点时，小球的动能为5Ek0；第二次，使此小球带正电，电荷量为q，同时加一方向平行于abc所在平面、场强大小为的匀强电场，仍从a点以初动能Ek0沿某一方向抛出小球，小球经过c点时的动能为13Ek0.下列说法正确的是(不计空气阻力，重力加速度大小为g)(　　)

A．a、b两点间的距离为
B．a、b两点间的距离为
C．a、c间的电势差为
D．a、c间的电势差为
【答案】　BC
【解析】　不加电场时根据动能定理得mghab＝5Ek0－Ek0＝4Ek0，解得hab＝，故A错误，B正确；加电场时，根据动能定理得mghab＋Uacq＝13Ek0－Ek0，解得Uac＝，故C正确，D错误．
题型六　电场中的图像问题
类型1　电场中的v－t图像
根据v－t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受静电力的方向与静电力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化．
【例1】(多选)如图甲所示，有一绝缘圆环，圆环上均匀分布着正电荷，圆环平面与竖直平面重合．一光滑细杆沿垂直圆环平面的轴线穿过圆环，细杆上套有一个质量为m＝10 g的带正电的小球，小球所带电荷量q＝5.0×10－4 C．小球从C点由静止释放，其沿细杆由C经B向A运动的v－t图像如图乙所示．小球运动到B点时，速度图像的切线斜率最大(图中标出了该切线)．则下列说法正确的是(　　)

A．由C到A的过程中，小球的电势能先减小后变大
B．由C到A电势逐渐降低
C．C、B两点间的电势差 UCB＝0.9 V
D．在O点右侧杆上，B点场强最大，场强大小为E＝1.2 V/m
【答案】　BCD
【解析】　从C到A小球的动能一直增大，说明静电力一直做正功，故电势能一直减小，电势一直减小，故A错误，B正确；根据动能定理知qUCB＝mvB2－0，解得UCB＝0.9 V，故C正确；根据对称性知O点电场强度为0，由题图乙可知，小球在B点的加速度最大，故所受的静电力最大，加速度由静电力产生，故B点的电场强度最大，小球的加速度a＝＝ m/s2＝0.06 m/s2，根据牛顿第二定律得qE＝ma，联立解得E＝1.2 V/m，故D正确．
【例2】(2022·河北“五个一名校联盟”模拟)如图所示，a、b为等量同种点电荷Q1、Q2连线的三等分点，重力不计的带电粒子从a点由静止释放，沿ab方向运动。则带电粒子从a运动到b的过程中，其速度随时间变化的图像可能正确的是(　　)


【答案】　B
【解析】　因为等量同种电荷的连线中点处电场强度为零，所以带电粒子从a运动到b的过程中，电场力先减小后增大，对称分布，速度图像的斜率先减小后增大，并且图像对称，故选项B正确。
【例3】(2022·河南新乡市摸底)如图甲所示，在真空中，两个带电荷量均为q＝1×10－3 C 的负点电荷P、Q固定于光滑绝缘水平面上，将该平面上一质量m＝10 g、电荷量为1×10－3 C的带正电小球(视为质点)从a点由静止释放，小球沿两电荷连线的中垂线运动到两电荷连线的中点O，其从a点运动到O点的v－t图像如图乙中实线所示，其经过b点时对应的图线切线斜率最大，如图中虚线所示，则下列分析正确的是(　　)

A．在两电荷的连线上，O点的电场强度最小，电势最低
B．b点的电场强度大小为10 V/m
C．a、b两点间的电势差为45 V
D．在从a点运动到O点的过程中，小球受到电荷P的作用力先增大后减小
【答案】　C
【解析】　点电荷在与其距离为r处的电场强度大小E＝，故两点电荷在O点的合电场强度为0，沿电场线方向电势降低，O点的电势最高，选项A错误；在v－t图像上图线的斜率表示加速度，在b点，ab＝＝1.5 m/s2，根据牛顿第二定律有qEb＝mab，解得Eb＝15 V/m，选项B错误；小球从a点运动到b点的过程，根据动能定理有qUab＝mv－mv，由图乙可知vb＝3 m/s，解得Uab＝45 V，选项C正确；在小球从a点运动到O点的过程中，小球与电荷P间的距离一直减小，所以受到电荷P的作用力一直增大，选项D错误。

类型2　φ－x图像
1．电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)．切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零．

2．在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向．(如图)

3．电场中常见的φ－x图像
(1)点电荷的φ－x图像(取无限远处电势为零)，如图．

(2)两个等量异种点电荷连线上的φ－x图像，如图．

(3)两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图．

【例4】(多选)两电荷量分别为q1和q2的点电荷固定在x轴上的A、B两点，两点电荷连线上各点电势φ随坐标x变化的关系图像如图所示，其中P点电势最高，且xAP
A．q1和q2都带负电荷
B．q1的电荷量大于q2的电荷量
C．在A、B之间将一负点电荷沿x轴从P点左侧移到右侧，电势能先减小后增大
D．一点电荷只在静电力作用下沿x轴从P点运动到B点，加速度逐渐变小
【答案】　AC
【解析】　由题图知，越靠近两点电荷，电势越低，则q1和q2都带负电荷，故A项正确；φ－x图像的切线斜率表示电场强度，则P点场强为零，据场强的叠加知两点电荷在P处产生的场强等大反向，即k＝k，又xAP 【例5】(多选) (2022·天津市模拟)空间某一静电场的电势φ在x轴的分布如图5所示，A、B、C、D是x轴上的四点，电场强度在x方向上的分量大小分别是EA、EB、EC、ED，则(　　)

A．EA＜EB
B．EC＜ED
C．A、D两点在x方向上的场强方向相反
D．同一负点电荷在A点时的电势能小于在B点时的电势能
【答案】　BCD
【解析】　在φ－x图像中，斜率的绝对值代表电场强度的大小，由于A点的斜率的绝对值大于B点的斜率的绝对值，所以EA＞EB，故A错误；同理由于C点的斜率的绝对值比D点的斜率的绝对值小，所以EC＜ED，故B正确；由于A点的斜率为负，D点的斜率为正，所以A、D两点在x方向上的场强方向相反，故C正确；由图可知，A点的电势高于B点的电势，根据电势能与电势的关系Ep＝qφ可知，同一负点电荷在A点时的电势能小于在B点时的电势能，故D正确。
【例6】(多选)空间有一电场，各点电势φ随位置的变化情况如图所示，图像关于O点中心对称．下列说法正确的是(　　)

A．O点的电场强度一定为零
B．－x1与x1点沿x轴方向的电场强度相同
C．将负电荷从－x1移到x1电荷的电势能增大
D．－x1和x1两点在同一等势面上
【答案】　BC
【解析】　φ－x图像的斜率表示电场强度，由题图可知图像在O点的切线斜率不等于零，故O点的电场强度不为零，－x1与x1点的切线斜率相同，故－x1与x1点沿x轴方向的电场强度相同，故A错误，B正确；电势的定义式为φ＝，故电势能Ep＝qφ，将负电荷从－x1移到x1，电荷的电势能由负值变为正值，电荷的电势能增大，故C正确；－x1和x1两点电势不相等，故一定不在同一等势面上，故D错误．
【例7】(2022·重庆市巴蜀中学适应性考试)如图所示为某静电场中x轴上各点电势φ的分布图，一个带电粒子从坐标原点O处静止释放，仅在静电力作用下从坐标原点O沿x轴正方向运动，则(　　)

A．粒子一定带负电
B．粒子在x1与x3两点的加速度相等
C．粒子从x1运动到x3，电势能先减小后增大
D．粒子释放后将在x轴正方向某一范围内做往复运动
【答案】　C
【解析】　由题图可知，从x1到x2电势逐渐降低，说明电场方向水平向右，粒子从静止开始向右运动，受力与电场强度方向相同，带正电，故A错误；由φ－x图像斜率的绝对值等于电场强度的大小可知，在x1与x3处，切线斜率不同，则电场强度大小不相等，加速度不相等，故B错误；从x1到x3电势先降低后升高，粒子的电势能先减小后增大，故C正确；从原点到x轴正方向任意一点电势差均不为零，电场力对粒子做正功，速度方向一直沿x轴正方向，故D错误。
【例8】．(2022·湖南省名校联盟联考)某静电场的电场线与x轴平行，电势φ随x坐标变化的关系图像如图4所示。若将一带电的粒子(重力不计)从坐标原点O由静止释放，在仅受电场力的作用下，该粒子在x轴上沿着轴线的正方向运动，已知电场中A、B两点的x坐标分别为10 mm、30 mm，则(　　)

A．该带电粒子一定带负电荷
B．该电场为匀强电场，电场强度大小为1 000 V/m
C．该粒子沿x轴从A点到B点的过程中，电势能一直增大
D．在x轴上从A点到B点电场的方向先沿x轴正方向后沿负方向
【答案】　B
【解析】　粒子受力方向和电场方向相同，故粒子带正电荷，选项A错误；φ－x图像的斜率表示电场强度大小，斜率不变说明电场为匀强电场，电场强度大小为E＝＝＝ V/m＝1 000 V/m，选项B正确；粒子沿x轴从A点到B点的过程中，电场力一直做正功，电势能一直减少，选项C错误；由图像知电势一直降低，根据沿着电场线方向电势降低，所以在x轴上从A点到B点电场强度都沿x轴正方向，选项D错误。
【例9】．(2022·山东青岛市黄岛区期末)在平行于x轴的静电场中，其电势φ随x的分布如图所示，一质量m＝1.0×10－6 kg，带电荷量大小为q＝1.0×10－9 C的粒子从x轴上的(2，0)点由静止开始释放，仅在电场力作用下在x轴上往返运动。忽略粒子的重力等因素，下列说法正确的是(　　)

A．粒子带正电
B．x轴上O点右侧电场强度是左侧电场强度的两倍
C．该粒子的最大速度为0.2 m/s
D．该粒子运动的周期为0.4 s
【答案】　C
【解析】　沿电场线方向电势降低，则根据题图可知，x轴左侧电场强度方向沿x轴负方向，x轴右侧电场强度方向沿x轴正方向，粒子仅在电场力作用下在x轴上往返运动，则粒子带负电，A错误；由U＝Ed知，左侧电场强度为E1＝＝ V/m＝2.0×103 V/m，右侧电场强度为E2＝＝ V/m＝1.0×103 V/m，B错误；该粒子运动过程中电势能的最大值Epm＝qφm＝－1.0×10－9×20 J＝－2×10－8 J，由能量守恒定律得当电势能最小时动能最大，最大动能为Ekm＝2×10－8 J＝mv，解得最大速度vm＝0.2 m/s，C正确；设粒子在原点左右两侧运动的时间分别为t1、t2，在原点时的速度为vm，vm＝t1，vm＝t2，而周期T＝2(t1＋t2)＝0.6 s，D错误。
【例10】．(2022·湖南株洲市检测)q1、q2为固定在x轴 上的两个点电荷，x轴上部分区域的电势分布如图所示，则(　　)

A．q1带负电，q2带正电
B．q1电荷量小于q2电荷量
C．a点电场强度小于c点电场强度
D．若将电子从a点沿x轴移到c点，其电势能先减小后增大
【答案】　D
【解析】　在φ－x图像中，切线的斜率表示电场强度的大小，由图可知，b点的电场强度为零，a点到b点到c点的电势先升高后降低，顺着电场线方向电势逐渐降低，可知a、b两点之间电场强度方向向左，b、c两点之间电场强度方向向右，则有q1带正电q2带负电，故A错误；b点的电场强度为零，因为q1到b点的距离大于q2到b点距离，由点电荷的电场强度公式可知，q1电荷量大于q2电荷量，故B错误；在φ－x图像中，切线的斜率表示电场强度的大小，所以a点电场强度大于c点电场强度，故C错误；由于电子带负电，根据电势能与电势的关系式Ep＝qφ可知，电子从a点沿x轴移到c点，其电势能先减小后增大，故D正确。
类型3　E－x图像
1．E－x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E>0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向．
2．E－x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定．在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况．

3．电场中常见的E－x图像
(1)点电荷的E－x图像
正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示．

(2)两个等量异种点电荷的E－x图像，如图．

(3)两个等量正点电荷的E－x图像，如图．

【例11】(多选)真空中相距为3a的两个点电荷M、N，分别固定于x轴上x1＝0和x2＝3a的两点上，在它们连线上各点场强随x变化关系如图所示，沿x轴正方向电场强度E为正，以下判断中正确的是(　　)

A．点电荷M、N一定为同种电荷
B．点电荷M、N所带电荷量的绝对值之比为4∶1
C．把一个检验电荷由x1位置静止释放，其加速度一直减小
D．把一个正检验电荷由x3＝a的位置静止释放，其电势能一直减小
【答案】　AB
【解析】　x＝2a处场强为零且左侧场强向右(正值)、右侧场强向左(负值)，结合点电荷的场强特征可知，点电荷M、N一定为同种电荷，两点电荷在x＝2a处的场强大小满足k＝k，解得＝，A、B正确；由题图可知，O点右侧场强先减小再增大，故把一个检验电荷(假设带正电)由x1位置静止释放，据牛顿第二定律可得qE＝ma，其加速度先减小再增大，C错误；把一个正检验电荷由x3＝a的位置静止释放，向右运动过程静电力先做正功再做负功，其电势能先减小后增大，D错误．
【例12】(2022·重庆市重点中学联考)如图所示，真空中位于x轴上的两个等量正点电荷的位置关于坐标原点O对称，规定电场强度沿x轴正方向为正，无穷远处电势为0。下列描述x轴上的电场强度E或电势φ随位置x的变化规律正确的是(　　)


【答案】　A
【解析】　由点电荷在真空中某点形成的电场强度公式E＝k和电场叠加原理可知，沿x轴方向，－∞→A点，电场强度为负，逐渐变大，A点→O点，电场强度为正，逐渐减小，O点→B点，电场强度为负，逐渐变大，B点→＋∞，电场强度为正，逐渐减小，故A正确，B错误；无穷远处电势为零，根据等量同种正电荷的电场线分布图知，等量同种正电荷电场中的电势不会为负值，且O点处电势大于零，故C、D错误。
【例13】. (2022·湖南省模拟)平行金属板A、B带等量异种电荷，以过两板中心O点(原点)的某轴线为x轴、由A指向B的方向为电场强度的正方向，作出电场强度大小随坐标变化的图像如图所示，其中aO＝Ob＝l。下列说法正确的是(　　)

A．A板带正电
B．沿x轴正方向电势降低
C．电势差UbO＝UOa＝E0l
D．将电子沿x轴由a点移动到b点，电子的电势能不变
【答案】　D
【解析】　a、b间电场强度大小为E0且保持不变，则其为匀强电场，外侧电场强度快速趋近于零，且都为负值，因此x轴为平行于两板的中心轴线，电场强度为负表示电场强度方向由B指向A，如图所示，则A板带负电，选项A错误；由于两板间的x轴为一等势线，电势不变，b、O与O、a之间的电势差均为零，所以将电子由a点沿x轴移动到b点，电场力不做功，电势能不变，选项B、C错误，D正确。

【例14】(多选)(2022·安徽合肥市一模)沿电场中某条电场线方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所示，x轴正方向为电场强度E的正方向，坐标轴上的点O、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等．一个带正电的粒子从O点由静止释放，运动到A点的动能为Ek，仅考虑静电力作用，则下列说法正确的是(　　)

A．从O点到C点，电势先升高后降低
B．粒子先做匀加速运动，后做变加速运动
C．粒子运动到C点时动能大于3Ek
D．粒子在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量
【答案】　CD
【解析】　由O点到C点，沿电场方向，电势一直降低，A错误；电场强度大小一直在变化，静电力也就在不断变化，带正电的粒子的加速度在不断变化，做变加速运动，B错误；根据E随x的变化规律可知，由A到C电场强度平均值大于OA段电场强度平均值，A到C静电力做功大于2Ek，则粒子运动到C点时动能大于3Ek，C正确；粒子在AB段平均静电力大于BC段平均静电力，则AB段静电力做的功大于BC段静电力做的功，所以在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量，D正确．
类型4　Ep－x图像、Ek－x图像
1．Ep－x图像
由静电力做功与电势能变化关系F电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep－x图像的切线斜率k＝，其大小等于静电力，斜率正负代表静电力的方向．
2．Ek－x图像
当带电体只有静电力做功，由动能定理F电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek－x图像的切线斜率k＝，其大小表示静电力．
【例15】(多选)如图所示，空间中存在沿x轴的静电场，x1、x2、x3、x4是x轴上的四个点，质量为m、带电荷量为－q的粒子(不计重力)，以初速度v0从O点沿x轴正方向进入电场，在粒子沿x轴运动的过程中，其电势能Ep沿x轴的变化如图所示，下列说法正确的是(　　)

A．粒子在x2点的速度为v0
B．从O点到x3点的过程中，电场的电势先升高再降低再升高
C．若粒子能到达x4处，则v0的大小至少应为
D．若v0＝2，则粒子在运动过程中的最大动能为2Ep0
【答案】　AC
【解析】　粒子从O运动到x2的过程中，电势能变化量为零，静电力做功为零，根据动能定理知，粒子在x2点的速度为v0，故A正确；从O点到x3点的过程中，电场的电势先降低再升高，故B错误；粒子能运动到x1处，就能运动到x4处，若粒子恰好能运动到x1处，此时初速度v0最小，根据动能定理得－qφ0＝0－mv02，解得v0＝＝，所以若粒子能运动到x4处，则初速度v0至少为，故C正确；粒子运动过程中，静电力所做正功的最大值为qφ0，若v0＝2，由动能定理得W＝qφ0＝Ekm－mv02，解得Ekm＝3Ep0，故D错误．
【例16】(多选)如图甲所示，a、b是点电荷电场中同一电场线上的两点，一个带电粒子在a点由静止释放，仅在静电力作用下从a点向b点运动，粒子的动能与位移之间的关系如图乙所示，则下列说法中正确的是(　　)

A．带电粒子与场源电荷带异种电荷
B．a点电势比b点电势高
C．a点场强比b点场强大
D．带电粒子在a点的电势能比在b点的电势能大
【答案】　CD
【解析】　粒子从a点向b点运动，Ek－x图像的切线斜率减小，根据动能定理，则有qEx＝Ek，电场强度减小，因此a点更靠近场源电荷，则a点场强比b点场强大，若场源电荷是正电荷，则粒子带正电，若场源电荷是负电荷，则粒子带负电，它们带同种电荷，故A错误，C正确；由于不能确定场源电荷的性质，所以也不能确定电场线的方向，不能确定a点电势与b点电势的高低，故B错误；带电粒子仅在静电力作用下从a点运动到b点，静电力做正功，电势能减小，所以带电粒子在a点的电势能大于在b点的电势能，故D正确．
【例17】(多选) (20222·天津市东丽区等级考模拟)一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中0～x2段是对称的曲线，x2～x3段是直线，则下列说法正确的是(　　)

A．x1处电场强度为零
B．x1、x2、x3处电势φ1、φ2、φ3的关系为φ1＞φ2＞φ3
C．粒子在x2～x3段速度v随x均匀减小
D．x2～x3段是匀强电场
【答案】　ABD
【解析】　根据电势能与电场力关系qE·Δx＝ΔEp，可知Ep－x 图像切线的斜率是电场力，在x1处切线斜率为零，粒子在x1处所受电场力为零，则x1处电场强度为零，故A正确；根据电势能与电势的关系Ep＝qφ，粒子带负电，q＜0，则知电势能越大，粒子所在处的电势越低，所以有φ1＞φ2＞φ3，故B正确；由图可知x2～x3段斜率不变，则电场力不变，电场强度不变，是匀强电场，粒子所受的电场力不变，做匀变速直线运动，速度随时间均匀变化，不会随x均匀减小的，故C错误，D正确。
【例18】(多选)(2022·广东新高考八省大联考)如图甲所示，在某电场中建立x坐标轴，A、B为x轴上的两点，xA、xB分别为A、B两点在x轴上的坐标值。一电子仅在电场力作用下沿x轴运动，该电子的电势能Ep随其坐标x变化的关系如图乙所示，则下列说法中正确的是(　　)

A．该电场一定不是孤立点电荷形成的电场
B．A点的电场强度小于B点的电场强度
C．电子由A点运动到B点的过程中电场力对其所做的功W＝EpA－EpB
D．电子在A点的动能小于在B点的动能
【答案】　AC
【解析】　根据功能关系知，Ep＝qφ，电场强度E＝，得E＝·，即有＝qE，图线的斜率k＝qE，则知E保持不变，说明电场强度不变，所以该电场一定是匀强电场，一定不是孤立点电荷形成的电场，EA＝EB，故A正确，B错误；电子由A点运动到B点的过程中，由功能关系可得，电场力对其所做的功W＝EpA－EpB，故C正确；根据能量守恒定律得知，电子从A到B电势能增大，动能减小，即电子在A点的动能大于在B点的动能，故D错误。