2023年四川省南充市中考数学一诊试卷（含解析）

2023年四川省南充市中考数学一诊试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于将用科学记数法可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，在由个相同的小正方形拼成的网格中，(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  垃圾分类利国利民．某校宣传小组就“空矿泉水瓶应投放到哪种颜色的垃圾收集桶内”进行统计活动，他们随机采访名学生并作好记录．以下是排乱的统计步骤：
从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率
整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表
绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比
正确统计步骤的顺序应该是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为米，当无人机与旗杆的水平距离是米时，观测旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度约为(    )

A. 米 B.  C.  D. 米

8.  如图，在菱形中，，，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度，交轴于点，交反比例函数图象于点，若，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  二次函数图象如图，下列结论：
；
；
当时，；
；
若，且，则．
其中正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  计算的结果是        ．

12.  在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是        ．

13.  如图，是由四个直角边分别为和的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，小亮随机的往大正方形区域内投针一次，则针扎在阴影部分的概率是______．
 

14.  若将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥体，则圆锥体底面圆的半径最大为        ．

15.  点在函数的图象上，则代数式的值等于        ．

16.  如图，在矩形中，，分别是线段，上的两个动点，若，，则的最小值为        ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，点、、、在同一条直线上，，，．
求证：．

19.  本小题分
在学习“一次函数的图象和性质”时，李老师设计了一个数学活动有、两组卡片，每组各张，每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同组卡片上分别写有，，；组卡片上分别写有，，甲从组中随机抽取一张记为，乙从组中随机抽取一张记为．
若甲抽出的数字是，乙抽出的数是，得到的坐标在函数的图象上，求的值；
在的条件下，求甲、乙随机抽取的数得到坐标恰在函数的图象上的概率请用树形图或列表法求解

20.  本小题分
关于的一元二次方程中，、、是的三条边，其中．
 求证此方程有两个不相等的实数根；
若方程的两个根是、，且，求：：．

21.  本小题分
如图，点在第一象限，轴，垂足为，，，反比例函数的图象经过的中点．
求值；
若直线与反比例函数图象在第一象限有交点，求的取值范围．

22.  本小题分
如图，是的内接三角形，为的直径，过点的直线交的延长线于点，连接，且，．
求证：是的切线；
若，，，求的值．

23.  本小题分
某批发市场批发甲、乙两种水果，甲种水果的销售利润万元与进货量吨近似满足函数关系；乙种水果的销售利润万元与进货量吨近似满足函数关系其中，，为常数，且进货量为吨时，销售利润为万元；进货量为吨时，销售利润为万元．
求万元与吨之间的函数关系式；
如果市场准备进甲、乙两种水果共吨，设乙种水果的进货量为吨，销售完毕，这两种水果所获最大利润是多少？

24.  本小题分
如图，四边形是矩形，点是延长线一点，连接，垂直平分，垂足为，点在上，点在上，且．
若，，求；
若，求证：．

25.  本小题分
抛物线经过、两点，且，直线过点，，点是线段不含端点上的动点，过作轴交抛物线于点，连接、．
求抛物线与直线的解析式；
求证：为定值；
在第四象限内是否存在一点，使得以、、、为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用有理数的减法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了有理数的减法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：用科学记数法可以表示得：；
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，

在和中，
，
≌，
，
，
．
故选：．
利用全等三角形的性质解答即可．
本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项，与不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；
选项，原式，故该选项计算错误，不符合题意；
选项，原式，故该选项计算错误，不符合题意；
选项，原式，故该选项计算正确，符合题意；
故选：．
根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，平方差公式计算即可．
本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，注意完全平方公式展开有三项．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
先根据五边形的内角和求出，由切线的性质得到，最后利用五边形的内角和即可得出答案．
本题考查了正五边形的内角和、切线的性质，求出正五边形每个内角的度数是解题的关键．
【解答】
解：正五边形的每个内角度数为：，
，
、分别与相切于、两点，
，
，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：正确统计步骤的顺序应该是：整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表，绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比，从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率，即正确统计步骤的顺序应该是：，
故选：．
根据统计调查的一般过程判断即可．
本题考查的是扇形统计图，统计调查的一般过程：问卷调查法-----收集数据；列统计表-----整理数据；画统计图-----描述数据．
 

7.【答案】 

【解析】解：设旗杆底部为点，顶部为点，无人机处为点，
延长，交点处的水平线于点，
由题意得，米，米，，
在中，，
解得，
米．
故选：．
设旗杆底部为点，顶部为点，无人机处为点，延长，交点处的水平线于点，在中，，解得，由可得答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，
，
，
设，
则，，
，
，
．
故选：．
根据，设出，则，，得出，根据，，求出，再利用勾股定理得出的长，即可求出答案．
本题考查了菱形的性质，解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．
 

9.【答案】 

【解析】解：直线与反比例函数的图象交于点，
解得或，
，
，
的纵坐标为，
把代入得，，
，
将直线沿轴向上平移个单位长度，得到直线，
把的坐标代入得，求得，
故选：．
解析式联立，解方程求得的横坐标，根据定义求得的纵坐标，把纵坐标代入反比例函数的解析式求得的坐标，代入即可求得的值．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与几何变换，求得交点的坐标是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
，
，所以错误；
，
，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，
当时，有最大值，
当时，，
即当时，，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在点的左侧，
抛物线与轴的另一个交点在的右侧，
时，，
即，所以错误；
若，且，
即若，且，则．
和时，函数值相等，
，
，所以正确．
故选：．
利用抛物线开口方向确定，利用抛物线的对称轴得到，利用抛物线与轴的交点位置确定，从而可对进行判断；利用二次函数的最值问题可对进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与轴的另一个交点在的右侧，则时，，即，则可对进行判断；利用抛物线的对称性得到和时，函数值相等，所以，从而可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时即，对称轴在轴左侧；当与异号时即，对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于也考查了抛物线与轴的交点问题和二次函数图象上点的坐标特征．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴对称，
点的坐标是：．
故答案为：．
直接利用关于轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标改变符号，进而得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据勾股定理可知正方形的边长为，面积为，
阴影部分的面积正方形的面积个三角形的面积，
故针扎在阴影部分的概率．
根据几何概率的求法，针扎在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法，首先根据勾股定理得出正方形的边长为，面积为，然后求出阴影部分的面积，最后根据概率公式即可得解．
 

14.【答案】 

【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，
解得，
即这个圆锥的底面圆的半径为．
故答案为：．
设圆锥的底面圆的半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

15.【答案】 

【解析】解：点在函数的图象上，
，
，
则代数式，
故答案为：．
利用一次函数图象上点的坐标特征可得出，将其代入中即可求出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：作点关于的对称点，过作于点，交于，
则的最小值，
若，，
，，
，
边上的高为，所以，
∽，


．
故答案为：．
作点关于的对称点，过作于点，交于，则的最小值．
本题考查最短路径问题，关键确定何时路径最短，然后运用勾股定理和相似三角形的性质求得解．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
即，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】先证，再证，然后证≌，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

19.【答案】解：将，代入方程得：，即；

列表得：

所有等可能的情况有种，其中甲、乙随机抽取的数得到坐标恰在函数的图象上的情况有，，共种，
则甲、乙随机抽取的数得到坐标恰在函数的图象上的概率为． 

【解析】将，代入方程计算即可求出的值；
列表得出所有等可能的情况数，甲、乙随机抽取的数得到坐标恰在函数的图象上的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：关于的一元二次方程去括号，整理为一般形式为：，

、、是的三条边，其中，
，
，
，
此方程有两个不相等的实数根；
方程的两个根是、，
，，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
：：：：． 

【解析】先把方程变为一般式：，由方程有两个相等的实数根，得到，由、、是的三条边，其中则有，即可得出，得出此方程有两个不相等的实数根；
由，得出，根据根与系数的关系得出，由得出，化简得到，进一步得到，代入得出，从而得出：：：：．
本题考查了一元二次方程为常数的根的判别式、根与系数的关系以及勾股定理的应用，掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键．
 

21.【答案】解：，，
，
，
由勾股定理得：，
，，
，
是的中点，
，
；
令，整理得，
直线与反比例函数图象在第一象限有交点，
，
或舍，
故的取值范围为：． 

【解析】先根据，可得，根据，由此可得的坐标，由是的中点，可得点的坐标，从而得的值；
令，整理得，由此可得该方程有解，即，由此可得出的取值范围．
本题考查反比例函数图象上点的特征，三角形面积，中点坐标公式，解题的关键是根据待定系数法求出反比例函数的解析式，本题属于中等题型．
 

22.【答案】证明：如图，连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：如图，过点作于点，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
为的直径，
，
，，
，
在中，，
，
，
，
． 

【解析】连接，根据直径所对的圆周角为直角可得，再说明，即可说明，从而解决问题；
过点作于点，首先根据，，得，再解即可．
本题主要考查了切线的判定与性质，含角的直角三角形的性质，解三角形等知识，将问题转化为解是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题意，得：，
解得，
．

，
，
时，有最大值为，
吨．
答：甲、乙两种水果的进货量分别为吨和吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是万元． 

【解析】根据题意列出二元一次方程组，求出、的值即可求出函数关系式的解．
已知，用配方法化简函数关系式即可求出的最大值．
本题考查学生利用二次函数解决实际问题的能力，注意二次函数的最大值往往要通过顶点坐标来确定．
 

24.【答案】解：如图，连接，
，，
，
垂直平分，
，，
，
，
；
证明：如图，在上截取，在上截取，连接，
在和中，
，
≌，
，，
，
又，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由垂直平分线的性质可得，由勾股定理可求，的长，即可求解；
由“”可得≌，可得，，可证，通过证明∽，可得，即可求解．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

25.【答案】解：由题意得，点，，
将点的坐标代入得：，
解得：
抛物线的解析式为：；
设直线为，将点，的坐标代入得，
，解得：，
直线的解析式是：；

证明：设点，，如图，过点作轴于点，

则，则，，，
为定值；

解：存在，理由：
当是平行四边形的边时，
如下图：设直线交轴于点，交于点，
由的表达式知，，，

过点作于点，则，
则，
则以、、、为顶点的平行四边形面积，
其中为常数，
故当最大时，平行四边形的面积最大，
设点，则点，
则，
即的最大值为，此时点；
当是平行四边形的对角线时，如下图，

同理可得：以、、、为顶点的平行四边形面积，
此时，
当时，的值随最大而增大，而，
当时，最大值为，
故该种情况，不符合题设要求，
综上，点，即四边形为平行四边形时，符合题设要求，
设点，
由中点坐标公式得：，
解得：，
故点 

【解析】由待定系数法即可求解；
由，则，，，即可求解；
解：当是平行四边形的边时，确定以、、、为顶点的平行四边形面积，故当最大时，平行四边形的面积最大，计算的最大值为；当是平行四边形的对角线时，证明该种情况，不符合题设要求，进而求解．
此题考查的是二次函数综合题目，掌握待定系数法求解析式、由坐标得线段长度、平行四边形的判定与性质是解决此题关键．