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光学、机械振动和机械波压轴解答题（全国甲卷和Ⅰ卷）-2023年高考物理十年压轴真题题型解读与模拟预测（解析版）
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这是一份光学、机械振动和机械波压轴解答题（全国甲卷和Ⅰ卷）-2023年高考物理十年压轴真题题型解读与模拟预测（解析版），共30页。试卷主要包含了光的折射定律和全反射，5m， 分析综合问题的基本思路等内容，欢迎下载使用。
光学、机械振动和机械波压轴解答题（全国甲卷和Ⅰ卷）
命题规律
高考物理光学、机械振动和机械波压轴解答题是考查学生物理学科素养高低的试金石，表现为综合性一般、求解难度不大、对考生的综合分析能力和应用数学知识解决物理问题的能力要求一般等特点。
一、 命题范围
1.光的折射定律和全反射（压轴指数★★★★）
利用光路图找出入射角和折射角，根据折射定律求解。全反射注意其发生条件。
2、机械振动和机械波（压轴指数★★★★）
理解好简谐运动的特点，会根据简谐运动方程判断某质点的运动情况。会利用波的图像，分析判断波的传播方向和质点振动方向的关系，会利用波长和波速和周期的关系，求解多解问题。会根据波的叠加原理，判断两列波叠加时的特点。
二、命题类型
1.光学情境综合型。物理情境选自生活生产情境或学习探究情境，物理光学情境综合型试题的物理模型有：各种形状各异的玻璃砖、或水池。求解方法技巧性强、灵活性高、应用数学知识解决问题的能力要求高的特点。命题点常包含：光的折射定律、全反射角。
2. 波的图像问题、波的干涉叠加问题、波传播的周期性与多解性问题。
简谐运动的振动方程和振动步调相同、相反的频率相同的波源发出两列波的叠加。根据波的图像，求解波的传播时间，质点振动的位移和路程等问题。波传播的周期性与多解性问题。
历年真题
1．（2022·全国·统考高考真题）如图，边长为a的正方形ABCD为一棱镜的横截面，M为AB边的中点。在截面所在的平面，一光线自M点射入棱镜，入射角为60°，经折射后在BC边的N点恰好发生全反射，反射光线从CD边的P点射出棱镜，求棱镜的折射率以及P、C两点之间的距离。
【答案】，
【解析】光线在M点发生折射有
sin60° = nsinθ
由题知，光线经折射后在BC边的N点恰好发生全反射，则
C = 90° - θ
联立有
根据几何关系有
解得
再由
解得
2．（2021·全国·高考真题）均匀介质中质点A、B的平衡位置位于x轴上，坐标分别为0和xB=16cm。某简谐横波沿x轴正方向传播，波速为v=20cm/s，波长大于20cm，振幅为A=1cm，且传播时无衰减。t=0时刻A、B偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同，运动方向相反，此后每隔△t=0.6s两者偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同。已知在t1时刻（t1>0），质点A位于波峰。求
（1）从t1时刻开始，质点B最少要经过多长时间位于波峰；
（2）t1时刻质点B偏离平衡位置的位移。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）时刻质点A位于波峰，波长
则
则从t1时刻开始，质点B第一次到达波峰时，波传播的距离为
则质点B到达波峰的最少时间为
（2）由题意可知，波的周期是
则波长
时刻的波形图如图所示
质点B位于
处，则质点B偏离平衡位置的位移
带入数据解得
3．（2020·全国·统考高考真题）一振动片以频率f做简谐振动时，固定在振动片上的两根细杆同步周期性地触动水面上a、b两点，两波源发出的波在水面上形成稳定的干涉图样。c是水面上的一点，a、b、c间的距离均为l，如图所示。已知除c点外，在ac连线上还有其他振幅极大的点，其中距c最近的点到c的距离为。求：
（i）波的波长；
（ii）波的传播速度。
【答案】（i）；（ii）
【解析】（i）设与c点最近的振幅极大点为d，则
根据干涉加强点距离差的关系：
所以波长为
（ii）由于受迫振动的频率取决于受迫源的频率由知，
4．（2019·全国·高考真题）如图，一般帆船静止在湖面上，帆船的竖直桅杆顶端高出水面3 m．距水面4 m的湖底P点发出的激光束，从水面出射后恰好照射到桅杆顶端，该出射光束与竖直方向的夹角为53°（取sin53°=0.8）．已知水的折射率为
（1）求桅杆到P点的水平距离；
（2）船向左行驶一段距离后停止，调整由P点发出的激光束方向，当其与竖直方向夹角为45°时，从水面射出后仍然照射在桅杆顶端，求船行驶的距离．
【答案】（1）7m （2）5.5m
【解析】①设光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为，到P点的水平距离为，桅杆高度为，P点处水深为；激光束在水中与竖直方向的夹角为，由几何关系有
由折射定律有：
设桅杆到P点的水平距离为
则
联立方程并代入数据得：
②设激光束在水中与竖直方向的夹角为时，从水面出射的方向与竖直方向夹角为
由折射定律有：
设船向左行驶的距离为，此时光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为，到P点的水平距离为，则：
联立方程并代入数据得：
5．（2018·全国·高考真题）一列简谐横波在时的波形图如图(a)所示，P、Q是介质中的两个质点。图(b)是质点Q的振动图象。求：
（1）波速及波的传播方向；
（2）质点Q的平衡位置的x坐标。
【答案】（1）18cm/s，沿x轴负方向传播；（2）9cm
【解析】（1）由图(a)可以看出，该波的波长为
λ＝36cm
由图(b)可以看出，周期为
T＝2s
波速为
v＝＝18cm/s
由图(b)知，当时，Q点向上运动，结合图(a)可得，波沿x轴负方向传播。
（2）设质点P、Q平衡位置的x坐标分别为、由图(a)知，x＝0处
y＝－＝Asin(－)
因此
由图(b)知，在t＝0时Q点处于平衡位置，经Δt＝s，其振动状态向x轴负方向传播至P点处，可得P、Q间平衡位置距离为
＝vΔt＝6cm
则质点Q的平衡位置的x坐标为
＝9cm
6．（2017·全国·高考真题）如图，一玻璃工件的上半部是半径为R的半球体，O点为球心；下半部是半径为R、高为2R的圆柱体，圆柱体底面镀有反射膜．有一平行于中心轴OC的光线从半球面射入，该光线与OC之间的距离为0．6R．已知最后从半球面射出的光线恰好与入射光线平行(不考虑多次反射)，求该玻璃的折射率．
【答案】1.43
【解析】光路图如图所示：
根据光路的对称性和光路可逆性，与入射光线相对于OC轴对称的出射光线一定与入射光线平行．这样，从半球面射入的折射光线，将从圆柱体底面中心C点反射．
设光线在半球面的入射角为i，折射角为r．由折射定律有
①
由正弦定理有
②
由几何关系，入射点的法线与OC的夹角为i．由题设条件和几何关系有
③
式中L是入射光线与OC的距离．由②③式和题给数据得
④
由①③④式和题给数据得
⑤
7．（2016·全国·高考真题）如图，在注满水的游泳池的池底有一点光源A，它到池边的水平距离为3.0 m．从点光源A射向池边的光线AB与竖直方向的夹角恰好等于全反射的临界角，水的折射率为4/3．
（i）求池内的水深；
（ii）一救生员坐在离池边不远处的高凳上，他的眼睛到地面的高度为2.0 m．当他看到正前下方的点光源A时，他的眼睛所接受的光线与竖直方向的夹角恰好为45°．求救生员的眼睛到池边的水平距离（结果保留1位有效数字）．
【答案】（i） （ii）0.7 m
【解析】（i）如图，设达到池边的光线的入射角为i．依题意，水的折射率n=，光线的折射角θ=90°．
由折射定律有
nsin i=sinθ①
由几何关系有
sin i=②
式中，l=3 m，h是池内水的深度．联立①②式并代入题给数据得
h=m≈2．6 m③
（ii）设此时救生员的眼睛到池边的距离为x．依题意，救生员的视线与竖直方向的夹角为θ'=45°．由折射定律有
nsin i'=sin θ' ④
式中，i'是光线在水面的入射角．设池底点光源A到水面入射点的水平距离为a．由几何关系有
sin i'=⑤
x+l=a+h' ⑥
式中h'=2 m．联立③④⑤⑥式得
x=(3–1)m≈0．7 m⑦
考点：光的折射定律
8．（2015·全国·高考真题）甲、乙两列简谐横波在同一介质中分别沿轴正向和负向传播，波速度均为。两列波在时的波形曲线如图所示，求：
（1）时，介质中偏离平衡位置位移为的所有质点的坐标；
（2）从开始，介质中最早出现偏离平衡位置位移为的质点的时间。
【答案】(1) ；(2)t=0.1s
【解析】（1）根据两列波的振幅都为，偏离平衡位置位移为16的质点即为两列波的波峰相遇。设质点坐标为，根据波形图可知，甲、乙的波长分别为，。则甲、乙两列波的波峰坐标分别为
综上，所有波峰和波峰相遇的质点坐标为整理可得
（2）偏离平衡位置位移为是两列波的波谷相遇的点，时，波谷之差
整理可得
波谷之间最小的距离为
两列波相向传播，相对速度为，所以出现偏离平衡位置位移为的最短时间
9．（2014·全国·高考真题）一个半圆柱形透明玻璃砖，其横截面是半径为R的半圆，AB为半圆的直径，O为圆心，如图所示，玻璃的折射率为n=
(1)一束平行光垂直射向玻璃砖的下表面，若光线到达上表面后，都能从该表面射出，则入射光束在AB上的最大宽度为多少?
(2)一细束光线在O点左侧与O相距处垂直于AB从下方入射，求此光线从玻璃砖射出点的位置？
【答案】(1)；(2)此光线从玻璃砖射出点的位置在O点左侧或者右侧处
【解析】(1)根据全反射定律得
即临界角为，如图
由几何知识得
则入射光束在AB上的最大宽度为
(2)设光线在距离O点的C点射入后，在上表面的入射角为α，由几何关系和已知条件得
光线在玻璃砖内会发生三次全反射，最后由G点射出，如图
由反射定律和几何关系得
射到G点的光有一部分被反射，沿原路返回到达C点射出。
10．（2013·全国·高考真题）图示为一光导纤维（可简化为一长玻璃丝）的示意图，玻璃丝长为L，折射率为n，AB代表端面。已知光在真空中的传播速度为c。
（i）为使光线能从玻璃丝的AB端面传播到另一端面，求光线在端面AB上的入射角应满足的条件；
（ii）求光线从玻璃丝的AB端面传播到另一端面所需的最长时间。
【答案】（i）；（ii）
【解析】（i）设入射角为折射角，光线到达上界面的入射角为，全反射临界角为C，由折射定律
①
由几何关系
②
即
③
当时发生全反射，又因为
④， ⑤
联立①②③④⑤解得
⑥
（ii）当折射光线发生全反射后，光在介质中传播的速度
⑦
在介质中传播的距离为
⑧
越小sin也越小， 最小等于临界角C时光在介质中传播最长的距离
Lm=
所以最长时间
【点睛】第一问的关键是画出光路图找到和的关系，利用，可解出入射角满足的条件，即。第二问的关键是找到最长的传播距离，由，越小sin也越小，最小等于临界角C时光在介质中传播最长的距离Lm=，再由即可解出最长时间。
应考策略
一、折射定律 折射率
1．对折射率的理解
(1)折射率的大小不仅反映了介质对光的折射本领，也反映了光在该介质中传播速度的大小v＝.
(2)折射率的大小不仅与介质本身有关，还与光的频率有关．
①同一种介质中，频率越大的光折射率越大，传播速度越小．
②同一种光，在不同介质中虽然波速、波长不同，但频率相同．
2．光路的可逆性
在光的折射现象中，光路是可逆的．如果让光线逆着原来的折射光线射到界面上，光线就会逆着原来的入射光线发生折射．
3．平行玻璃砖、三棱镜和圆柱体(球)对光路的控制特点
平行玻璃砖
三棱镜
圆柱体(球)
对光线的作用
通过平行玻璃砖的光线不改变传播方向，但要发生侧移
通过三棱镜的光线经两次折射后，出射光线向棱镜底面偏折
圆界面的法线是过圆心的直线，光线经过两次折射后向圆心偏折
二、全反射
1．光密介质与光疏介质
介质
光密介质
光疏介质
折射率
大
小
光速
小
大
相对性
若n甲＞n乙，则甲相对乙是光密介质
若n甲＜n丙，则甲相对丙是光疏介质
2.全反射
(1)定义：光从光密介质射入光疏介质时，当入射角增大到某一角度，折射光线消失，只剩下反射光线的现象．
(2)条件：①光从光密介质射向光疏介质．②入射角大于或等于临界角．
(3)临界角：折射角等于90°时的入射角．若光从介质(折射率为n)射向真空或空气时，发生全反射的临界角为C，由n＝，得sin C＝.介质的折射率越大，发生全反射的临界角越小．
3．光导纤维
光导纤维的原理是利用光的全反射(如图)．
4. 分析综合问题的基本思路
(1)判断光线是从光疏介质进入光密介质还是从光密介质进入光疏介质．
(2)判断入射角是否大于或等于临界角，明确是否会发生全反射现象．
(3)画出反射、折射或全反射的光路图，必要时还可应用光路的可逆原理画出光路图，然后结合几何知识推断和求解相关问题．
三、振动图像和波的图像
1.从振动图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示)．
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移．
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定．
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同．
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况．
四、机械波
1．波的周期性
(1)质点振动nT(n＝1,2,3，…)时，波形不变．
(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1,2,3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)(n＝0,1,2,3，…)时，它们的振动步调总相反．
2．波的传播方向与质点振动方向的互判
“上下坡”法
沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
“同侧”法
波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“微平移”法
将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断质点振动方向
五、波的图像与振动图像的综合应用
振动图像和波的图像的比较
比较项目
振动图像
波的图像
研究对象
一个质点
波传播方向上的所有质点
研究内容
某质点位移随时间的变化规律
某时刻所有质点在空间分布的规律
图像
横坐标
表示时间
表示各质点的平衡位置
物理意义
某质点在各时刻的位移
某时刻各质点的位移
振动方向的判断
(看下一时刻的位移)
(同侧法)
Δt后的图形
随时间推移，图像延伸，但已有形状不变
随时间推移，图像沿波的传播方向平移，原有波形做周期性变化
联系
(1)纵坐标均表示质点的位移
(2)纵坐标的最大值均表示振幅
(3)波在传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动
六、波传播的周期性与多解性问题
造成波动问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确．
②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确．
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定．
②振动方向双向性：质点振动方向不确定．
七、波的叠加
1．波的叠加
在波的叠加中，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和．
2．波的干涉现象中加强点、减弱点的判断方法
(1)公式法：
某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr.
①当两波源振动步调一致时．
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，则振动减弱．
②当两波源振动步调相反时．
若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动减弱．
(2)图像法：
在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自连接形成以两波源为中心向外辐射的连线，形成加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间．
模拟预测
1．如图所示，为透明材料制成的一件艺术摆件的截面图，上半部分是半径为R的半圆形，一细光束沿径向射入，在底面B点恰好发生全反射，OA是圆心O到底面的高，已知，光在真空中传播的速度为c，求：
（1）该透明材料的折射率；
（2）最终从透明艺术摆件射出的光线与最初的入射光线相比偏转的角度；
（3）光在透明艺术摆件中传播的时间。
【答案】（1）；（2）105°；（3）
【解析】（1）由题意可知，该透明材料的临界角为
C=45°
则折射率
（2）光路如图
由题中数据可知，，则
根据光的折射定律
则
可得
即最终从透明艺术摆件射出的光线与最初的入射光线相比偏转的角度105°；
（3）光在透明艺术摆件中传播的速度
传播的时间
2．如图所示，截面为直角三角形的玻璃砖ABC放置在水平面上，。一束频率为f的光沿平行于AB方向从AC边上P点射入玻璃砖，从BC边上的M点射出，且，光在空气中传播的速度为c。求：
（1）光射出玻璃砖的偏转角；
（2）光在玻璃砖中传播的波长。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）作出光路图如图所示
光射入玻璃砖的入射角为
由几何关系得
由光的折射定律可得，玻璃砖折射率为
解得
即光射出玻璃砖的偏转角为。
（2）由（1）可知，该玻璃砖的折射率为，光在玻璃砖中的传播速度为
光在玻璃砖中传播的波长为
3．半径为的玻璃半圆柱体水平放置，横截面如图所示，为圆心，一条单色光垂直底面射向圆柱面，光线的入射点为，为圆柱面上的点且竖直，，该玻璃对该单色光的折射率。求：
（1）单色光经柱面折射后与底面交于点（图中没有画出），单色光在点的入射角；
（2）点到圆心的距离。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据题意，由折射定律作出光路如图所示
设光在点的入射角为，折射角为，由折射定律有
得
由几何关系可知
得
（2）过B点作MN垂线交于Q点，如图所示
由几何知识有
解得
又有
解得
4．如图所示，真空中有一透明圆柱体，其截面是半径为的圆，截面内有两条间距为的平行光线和（过圆心），分别从B、D两点射入透明圆柱体，射出后汇聚于图中的点。已知圆柱体的折射率，光在真空中的传播速度为，，求：
（1）点到圆心的距离；
（2）光从点传播到点所用的时间；
（3）光从点传播到点所用的时间。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】本题考查光的折射，目的是考查学生的推理能力。
（1）作出光路图如图所示，根据几何关系有
折射率
并根据
解得
（2）从点射入的光在透明体中传播的距离为，有
解得
（3）在和中，有
，
则时间
解得
5．截面为梯形的容器贮满水，靠墙放置在房间内水平桌面上，如图所示。早晨的阳光穿过窗户照射到水面，某时刻观察到阳光恰好照亮容器的整个底部。已知容器梯面倾角的正弦值为，水的折射率为，求：
（ⅰ）此时光线与水面的夹角；
（ⅱ）到了中午，若阳光仍能照到水面，则照亮容器底部的范围如何变化，简要说明原因。
【答案】（ⅰ）；（ⅱ）照亮的范围不变，见解析
【解析】（ⅰ）当光恰好照射到整个容器的底部时，由几何知识可知光线的入射角为，折射角为，根据折射定律有
代入数据解得
（ⅱ）到了中午，太阳升高，光线的入射角变小，折射角也随之变小，光仍会照亮整个底部，照亮的范围不变。
6．折射率为的半圆形透明柱体，其横截面的半径为R，圆心为O，AB为水平直径，如图所示。点光源S置于O点正下方距O点R处的圆面内，不考虑光在AB界面上的反射。
（1）求半圆形界面上无光线射出的区域长度l；
（2）若从O点正上方观察光源S，求观察到的光源距O点的距离h。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）光在介质内刚好发生全反射时的光路图如图所示
光在D点恰好发生全反射
，
解得
无光线射出的部分对应的圆心角
故无光线射出的长度
解得
（2）从O点正上方观察时光路如图所示
由图中几何关系可得
由于较小，故
由折射定律得
可得观察到得光源的深度为
7．在均匀介质中，波源位于O点的简谐横波在Oxy水平面内传播，波面为圆。t=0时刻，波面分布如图甲所示，其中实线表示波峰，虚线表示相邻的波谷（图中只画出了一个波谷和一个波峰）。B处质点的振动图像如图乙所示，z轴正方向竖直向上。试求：
（1）该波从B点传播到D点所需的时间；
（2）t=8s时，E处质点的位移。
【答案】（1）0.4s；（2）
【解析】（1）由甲图可知，波长为，由乙图可知振幅为，周期为，故波速为
故该波从B点传播到D点所需的时间为
（2）由几何关系可知
故OE两点之间间隔2.5个波长，t=8s时波源振动了20个周期，O点恰好处于波峰位置，故此时E处质点处于波谷，位移为。
8．甲、乙两列简谐横波在同一介质中分别沿轴正向和负向传播，波速均为，两列波在时的部分波形曲线如图所示。求：
（1）时，介质中偏离平衡位置位移为的所有质点的坐标；
（2）从开始，介质中最早出现偏离平衡位置位移为的质点的时间。
【答案】（1）（，，…）；（2）0.1s
【解析】（1）根据两列波的振幅都为，偏离平衡位置位移为的质点即为两列波的波峰相遇。
设质点坐标为，根据波形图可知，甲乙的波长分别为，，则甲、乙两列波的波峰坐标分别为
综上，所有波峰和波峰相遇的质点坐标为，整理可得
，，，，
（2）偏离平衡位置位移为是两列波的波谷相遇的点，时，波谷之差
，，，，
整理可得
波谷之间最小的距离为
两列波相向传播，相对速度为
所以出现偏离平衡位置位移为的最短时间
9．甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中沿x轴相向传播，波速，某时刻的波形如图所示。
（1）处的质点开始振动时刻作为计时起点，请写出其振动方程；
（2）处的质点从图示时刻开始经过的过程中通过的路程s。
【答案】（1）；（2）25cm
【解析】（1）处是振幅最大的位置，该处质点的振幅为
波的周期为
所以振动方程为
（2）在0~1s内处的质点不振动；1s~3s内甲波引起质点振动半个周期，通过的路程为
乙波从图示时刻经3s传到处，在3s~4s内，甲、乙两列波共同使质点振动，反射叠加，甲波使质点从平衡位置振动到波谷位置，乙波使质点从平衡位置振动到波峰位置，所以3s~4s内通过的路程为
所以从图示时刻开始经过的过程中通过的路程为
10．如图，均匀介质中两波源a、b分别位于x轴上x1=0、x2=14m处，波源a振动方程为ya=2sin5πt（cm），波源b振动方程为yb=4sin5πt（cm）。已知x轴上xP=10m处质点P在t1=0.4s时刻开始振动，求：
（1）这两列波在均匀介质中的波长；
（2）从t=0开始在△t=2s的时间内质点P通过的路程。
【答案】（1）m；（2）
【解析】（1）设波在介质中传播速度为v，有
解得
m
（2）设波源a的振动经时间传播到P点，有
在～时间内P质点通过的路程为
在s到s时间内P质点通过的路程为
所以
11．如图所示，以原点O为界在x轴上有两段不同材料的绳子，波源S1和S2分别置于和处，产生两列简谐横波甲和乙，分别沿x轴正方向和x轴负方向传播。t=0时刻和处的质点刚好开始振动，某时刻二列波恰好同时到达原点处的质点O，若从开始到时间内P点经过的路程为6cm，求：
（1）甲乙两波的频率之比；
（2）甲波在左侧绳子中的传播速度大小；
（3）从t=0到t=5s，原点处的质点O经过的路程。
【答案】（1）1:1；（2）；（3）0
【解析】（1）两列波同时传到0点，由
得出
由波速公式
由题可知
联立可得，甲乙两波的频率之比为
（2）经时P质点在平衡位置向y轴负方向运动，由图像可知时P质点的x位置坐标为
则在内甲波传播的路程为
由
解得
（3）由于两列波的频率相同，振幅相同，且两波同时传到O点，所以O点是振动减弱点，故P点路程为零。
12．如图甲所示，同种均匀介质中存在能产生简谐横波的A、B两个波源，A、B间距为，质点P在两波源的连线上，，两波源的振动图像如图乙中的实线和虚线所示。已知两波源的振动传播到P点的时间差为。
（1）求波源A形成的简谐横波在介质中的波长；
（2）写出P点的振动方程（以波源B的振动刚传播到P的时刻为计时起点）。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据题意可得
根据
结合
解得
（2）根据
因为
可知点为振动减弱点，即
由分析知，初相位为，则
13．两列简谐横波P、Q在同一介质中分别沿x轴正方向和负方向传播，P、Q两列波在t=0时刻的波形分别如图甲中实线、虚线所示，x=1.5L处质点的振动图像如图乙所示。简谐波P的周期为TP，图中A1、A2已知，T0未知。求：
（1）两列波在介质中的传播速度v及简谐波Q的周期TQ；
（2）求T0及x=1.5L处质点从t=0时刻到T0时间内通过的路程s。
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）由图可知简谐波P、Q的波长
，
根据，解得
波在同种介质中传播速度相等，则
解得
（2）时刻起到处质点再次出现波谷与波谷叠加经历的时间为，则
当，时，对应时间，则
由图乙可知，路程
14．x轴上的波源s1、s2分别位于和处，t=0时刻两波源同时开始振动，产生的两列简谐横波沿s1、s2连线相向传播，时两列波刚好传到如图位置。质点M的平衡位置位于处，求：
（1）两列波传播速度的大小；
（2）质点M振动方程和质点M从t=0到时运动的路程。
【答案】（1）；（2）（）；
【解析】（1）波速为
（2）质点M到两波源的波程差
故质点M是加强点
波传播到M点的时间为
质点振动的周期为
质点M的振动方程
（）
质点M振动时间为
质点M从t=0到时运动的路程
15．波源S1和S2振动方向相同，频率均为4Hz，分别置于均匀介质中的A、B两点处，AB＝1.2m，如图所示。两波源产生的简谐横波沿直线AB相向传播，波速为4m/s。已知两波源振动的初始相位相同，求
（1）形成机械波的波长；
（2）A、B间合振动振幅最小的点的位置。
【答案】（1）1m；（2）见解析
【解析】（1）根据
解得
（2）以A为坐标原点，设P为AB间的任一点，其坐标为x，则两波源到P点的路程差为
，
合振幅最小的点满足
可知，当k=-1时
x=0.35m
当k=0时
x=0.85m
光学、机械振动和机械波压轴解答题（全国甲卷和Ⅰ卷）
命题规律
高考物理光学、机械振动和机械波压轴解答题是考查学生物理学科素养高低的试金石，表现为综合性一般、求解难度不大、对考生的综合分析能力和应用数学知识解决物理问题的能力要求一般等特点。
一、 命题范围
1.光的折射定律和全反射（压轴指数★★★★）
利用光路图找出入射角和折射角，根据折射定律求解。全反射注意其发生条件。
2、机械振动和机械波（压轴指数★★★★）
理解好简谐运动的特点，会根据简谐运动方程判断某质点的运动情况。会利用波的图像，分析判断波的传播方向和质点振动方向的关系，会利用波长和波速和周期的关系，求解多解问题。会根据波的叠加原理，判断两列波叠加时的特点。
二、命题类型
1.光学情境综合型。物理情境选自生活生产情境或学习探究情境，物理光学情境综合型试题的物理模型有：各种形状各异的玻璃砖、或水池。求解方法技巧性强、灵活性高、应用数学知识解决问题的能力要求高的特点。命题点常包含：光的折射定律、全反射角。
2. 波的图像问题、波的干涉叠加问题、波传播的周期性与多解性问题。
简谐运动的振动方程和振动步调相同、相反的频率相同的波源发出两列波的叠加。根据波的图像，求解波的传播时间，质点振动的位移和路程等问题。波传播的周期性与多解性问题。
历年真题
1．（2022·全国·统考高考真题）如图，边长为a的正方形ABCD为一棱镜的横截面，M为AB边的中点。在截面所在的平面，一光线自M点射入棱镜，入射角为60°，经折射后在BC边的N点恰好发生全反射，反射光线从CD边的P点射出棱镜，求棱镜的折射率以及P、C两点之间的距离。
【答案】，
【解析】光线在M点发生折射有
sin60° = nsinθ
由题知，光线经折射后在BC边的N点恰好发生全反射，则
C = 90° - θ
联立有
根据几何关系有
解得
再由
解得
2．（2021·全国·高考真题）均匀介质中质点A、B的平衡位置位于x轴上，坐标分别为0和xB=16cm。某简谐横波沿x轴正方向传播，波速为v=20cm/s，波长大于20cm，振幅为A=1cm，且传播时无衰减。t=0时刻A、B偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同，运动方向相反，此后每隔△t=0.6s两者偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同。已知在t1时刻（t1>0），质点A位于波峰。求
（1）从t1时刻开始，质点B最少要经过多长时间位于波峰；
（2）t1时刻质点B偏离平衡位置的位移。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）时刻质点A位于波峰，波长
则
则从t1时刻开始，质点B第一次到达波峰时，波传播的距离为
则质点B到达波峰的最少时间为
（2）由题意可知，波的周期是
则波长
时刻的波形图如图所示
质点B位于
处，则质点B偏离平衡位置的位移
带入数据解得
3．（2020·全国·统考高考真题）一振动片以频率f做简谐振动时，固定在振动片上的两根细杆同步周期性地触动水面上a、b两点，两波源发出的波在水面上形成稳定的干涉图样。c是水面上的一点，a、b、c间的距离均为l，如图所示。已知除c点外，在ac连线上还有其他振幅极大的点，其中距c最近的点到c的距离为。求：
（i）波的波长；
（ii）波的传播速度。
【答案】（i）；（ii）
【解析】（i）设与c点最近的振幅极大点为d，则
根据干涉加强点距离差的关系：
所以波长为
（ii）由于受迫振动的频率取决于受迫源的频率由知，
4．（2019·全国·高考真题）如图，一般帆船静止在湖面上，帆船的竖直桅杆顶端高出水面3 m．距水面4 m的湖底P点发出的激光束，从水面出射后恰好照射到桅杆顶端，该出射光束与竖直方向的夹角为53°（取sin53°=0.8）．已知水的折射率为
（1）求桅杆到P点的水平距离；
（2）船向左行驶一段距离后停止，调整由P点发出的激光束方向，当其与竖直方向夹角为45°时，从水面射出后仍然照射在桅杆顶端，求船行驶的距离．
【答案】（1）7m （2）5.5m
【解析】①设光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为，到P点的水平距离为，桅杆高度为，P点处水深为；激光束在水中与竖直方向的夹角为，由几何关系有
由折射定律有：
设桅杆到P点的水平距离为
则
联立方程并代入数据得：
②设激光束在水中与竖直方向的夹角为时，从水面出射的方向与竖直方向夹角为
由折射定律有：
设船向左行驶的距离为，此时光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为，到P点的水平距离为，则：
联立方程并代入数据得：
5．（2018·全国·高考真题）一列简谐横波在时的波形图如图(a)所示，P、Q是介质中的两个质点。图(b)是质点Q的振动图象。求：
（1）波速及波的传播方向；
（2）质点Q的平衡位置的x坐标。
【答案】（1）18cm/s，沿x轴负方向传播；（2）9cm
【解析】（1）由图(a)可以看出，该波的波长为
λ＝36cm
由图(b)可以看出，周期为
T＝2s
波速为
v＝＝18cm/s
由图(b)知，当时，Q点向上运动，结合图(a)可得，波沿x轴负方向传播。
（2）设质点P、Q平衡位置的x坐标分别为、由图(a)知，x＝0处
y＝－＝Asin(－)
因此
由图(b)知，在t＝0时Q点处于平衡位置，经Δt＝s，其振动状态向x轴负方向传播至P点处，可得P、Q间平衡位置距离为
＝vΔt＝6cm
则质点Q的平衡位置的x坐标为
＝9cm
6．（2017·全国·高考真题）如图，一玻璃工件的上半部是半径为R的半球体，O点为球心；下半部是半径为R、高为2R的圆柱体，圆柱体底面镀有反射膜．有一平行于中心轴OC的光线从半球面射入，该光线与OC之间的距离为0．6R．已知最后从半球面射出的光线恰好与入射光线平行(不考虑多次反射)，求该玻璃的折射率．
【答案】1.43
【解析】光路图如图所示：
根据光路的对称性和光路可逆性，与入射光线相对于OC轴对称的出射光线一定与入射光线平行．这样，从半球面射入的折射光线，将从圆柱体底面中心C点反射．
设光线在半球面的入射角为i，折射角为r．由折射定律有
①
由正弦定理有
②
由几何关系，入射点的法线与OC的夹角为i．由题设条件和几何关系有
③
式中L是入射光线与OC的距离．由②③式和题给数据得
④
由①③④式和题给数据得
⑤
7．（2016·全国·高考真题）如图，在注满水的游泳池的池底有一点光源A，它到池边的水平距离为3.0 m．从点光源A射向池边的光线AB与竖直方向的夹角恰好等于全反射的临界角，水的折射率为4/3．
（i）求池内的水深；
（ii）一救生员坐在离池边不远处的高凳上，他的眼睛到地面的高度为2.0 m．当他看到正前下方的点光源A时，他的眼睛所接受的光线与竖直方向的夹角恰好为45°．求救生员的眼睛到池边的水平距离（结果保留1位有效数字）．
【答案】（i） （ii）0.7 m
【解析】（i）如图，设达到池边的光线的入射角为i．依题意，水的折射率n=，光线的折射角θ=90°．
由折射定律有
nsin i=sinθ①
由几何关系有
sin i=②
式中，l=3 m，h是池内水的深度．联立①②式并代入题给数据得
h=m≈2．6 m③
（ii）设此时救生员的眼睛到池边的距离为x．依题意，救生员的视线与竖直方向的夹角为θ'=45°．由折射定律有
nsin i'=sin θ' ④
式中，i'是光线在水面的入射角．设池底点光源A到水面入射点的水平距离为a．由几何关系有
sin i'=⑤
x+l=a+h' ⑥
式中h'=2 m．联立③④⑤⑥式得
x=(3–1)m≈0．7 m⑦
考点：光的折射定律
8．（2015·全国·高考真题）甲、乙两列简谐横波在同一介质中分别沿轴正向和负向传播，波速度均为。两列波在时的波形曲线如图所示，求：
（1）时，介质中偏离平衡位置位移为的所有质点的坐标；
（2）从开始，介质中最早出现偏离平衡位置位移为的质点的时间。
【答案】(1) ；(2)t=0.1s
【解析】（1）根据两列波的振幅都为，偏离平衡位置位移为16的质点即为两列波的波峰相遇。设质点坐标为，根据波形图可知，甲、乙的波长分别为，。则甲、乙两列波的波峰坐标分别为
综上，所有波峰和波峰相遇的质点坐标为整理可得
（2）偏离平衡位置位移为是两列波的波谷相遇的点，时，波谷之差
整理可得
波谷之间最小的距离为
两列波相向传播，相对速度为，所以出现偏离平衡位置位移为的最短时间
9．（2014·全国·高考真题）一个半圆柱形透明玻璃砖，其横截面是半径为R的半圆，AB为半圆的直径，O为圆心，如图所示，玻璃的折射率为n=
(1)一束平行光垂直射向玻璃砖的下表面，若光线到达上表面后，都能从该表面射出，则入射光束在AB上的最大宽度为多少?
(2)一细束光线在O点左侧与O相距处垂直于AB从下方入射，求此光线从玻璃砖射出点的位置？
【答案】(1)；(2)此光线从玻璃砖射出点的位置在O点左侧或者右侧处
【解析】(1)根据全反射定律得
即临界角为，如图
由几何知识得
则入射光束在AB上的最大宽度为
(2)设光线在距离O点的C点射入后，在上表面的入射角为α，由几何关系和已知条件得
光线在玻璃砖内会发生三次全反射，最后由G点射出，如图
由反射定律和几何关系得
射到G点的光有一部分被反射，沿原路返回到达C点射出。
10．（2013·全国·高考真题）图示为一光导纤维（可简化为一长玻璃丝）的示意图，玻璃丝长为L，折射率为n，AB代表端面。已知光在真空中的传播速度为c。
（i）为使光线能从玻璃丝的AB端面传播到另一端面，求光线在端面AB上的入射角应满足的条件；
（ii）求光线从玻璃丝的AB端面传播到另一端面所需的最长时间。
【答案】（i）；（ii）
【解析】（i）设入射角为折射角，光线到达上界面的入射角为，全反射临界角为C，由折射定律
①
由几何关系
②
即
③
当时发生全反射，又因为
④， ⑤
联立①②③④⑤解得
⑥
（ii）当折射光线发生全反射后，光在介质中传播的速度
⑦
在介质中传播的距离为
⑧
越小sin也越小， 最小等于临界角C时光在介质中传播最长的距离
Lm=
所以最长时间
【点睛】第一问的关键是画出光路图找到和的关系，利用，可解出入射角满足的条件，即。第二问的关键是找到最长的传播距离，由，越小sin也越小，最小等于临界角C时光在介质中传播最长的距离Lm=，再由即可解出最长时间。
应考策略
一、折射定律 折射率
1．对折射率的理解
(1)折射率的大小不仅反映了介质对光的折射本领，也反映了光在该介质中传播速度的大小v＝.
(2)折射率的大小不仅与介质本身有关，还与光的频率有关．
①同一种介质中，频率越大的光折射率越大，传播速度越小．
②同一种光，在不同介质中虽然波速、波长不同，但频率相同．
2．光路的可逆性
在光的折射现象中，光路是可逆的．如果让光线逆着原来的折射光线射到界面上，光线就会逆着原来的入射光线发生折射．
3．平行玻璃砖、三棱镜和圆柱体(球)对光路的控制特点
平行玻璃砖
三棱镜
圆柱体(球)
对光线的作用
通过平行玻璃砖的光线不改变传播方向，但要发生侧移
通过三棱镜的光线经两次折射后，出射光线向棱镜底面偏折
圆界面的法线是过圆心的直线，光线经过两次折射后向圆心偏折
二、全反射
1．光密介质与光疏介质
介质
光密介质
光疏介质
折射率
大
小
光速
小
大
相对性
若n甲＞n乙，则甲相对乙是光密介质
若n甲＜n丙，则甲相对丙是光疏介质
2.全反射
(1)定义：光从光密介质射入光疏介质时，当入射角增大到某一角度，折射光线消失，只剩下反射光线的现象．
(2)条件：①光从光密介质射向光疏介质．②入射角大于或等于临界角．
(3)临界角：折射角等于90°时的入射角．若光从介质(折射率为n)射向真空或空气时，发生全反射的临界角为C，由n＝，得sin C＝.介质的折射率越大，发生全反射的临界角越小．
3．光导纤维
光导纤维的原理是利用光的全反射(如图)．
4. 分析综合问题的基本思路
(1)判断光线是从光疏介质进入光密介质还是从光密介质进入光疏介质．
(2)判断入射角是否大于或等于临界角，明确是否会发生全反射现象．
(3)画出反射、折射或全反射的光路图，必要时还可应用光路的可逆原理画出光路图，然后结合几何知识推断和求解相关问题．
三、振动图像和波的图像
1.从振动图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示)．
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移．
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定．
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同．
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况．
四、机械波
1．波的周期性
(1)质点振动nT(n＝1,2,3，…)时，波形不变．
(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1,2,3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)(n＝0,1,2,3，…)时，它们的振动步调总相反．
2．波的传播方向与质点振动方向的互判
“上下坡”法
沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
“同侧”法
波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“微平移”法
将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断质点振动方向
五、波的图像与振动图像的综合应用
振动图像和波的图像的比较
比较项目
振动图像
波的图像
研究对象
一个质点
波传播方向上的所有质点
研究内容
某质点位移随时间的变化规律
某时刻所有质点在空间分布的规律
图像
横坐标
表示时间
表示各质点的平衡位置
物理意义
某质点在各时刻的位移
某时刻各质点的位移
振动方向的判断
(看下一时刻的位移)
(同侧法)
Δt后的图形
随时间推移，图像延伸，但已有形状不变
随时间推移，图像沿波的传播方向平移，原有波形做周期性变化
联系
(1)纵坐标均表示质点的位移
(2)纵坐标的最大值均表示振幅
(3)波在传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动
六、波传播的周期性与多解性问题
造成波动问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确．
②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确．
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定．
②振动方向双向性：质点振动方向不确定．
七、波的叠加
1．波的叠加
在波的叠加中，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和．
2．波的干涉现象中加强点、减弱点的判断方法
(1)公式法：
某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr.
①当两波源振动步调一致时．
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，则振动减弱．
②当两波源振动步调相反时．
若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动减弱．
(2)图像法：
在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自连接形成以两波源为中心向外辐射的连线，形成加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间．
模拟预测
1．如图所示，为透明材料制成的一件艺术摆件的截面图，上半部分是半径为R的半圆形，一细光束沿径向射入，在底面B点恰好发生全反射，OA是圆心O到底面的高，已知，光在真空中传播的速度为c，求：
（1）该透明材料的折射率；
（2）最终从透明艺术摆件射出的光线与最初的入射光线相比偏转的角度；
（3）光在透明艺术摆件中传播的时间。
【答案】（1）；（2）105°；（3）
【解析】（1）由题意可知，该透明材料的临界角为
C=45°
则折射率
（2）光路如图
由题中数据可知，，则
根据光的折射定律
则
可得
即最终从透明艺术摆件射出的光线与最初的入射光线相比偏转的角度105°；
（3）光在透明艺术摆件中传播的速度
传播的时间
2．如图所示，截面为直角三角形的玻璃砖ABC放置在水平面上，。一束频率为f的光沿平行于AB方向从AC边上P点射入玻璃砖，从BC边上的M点射出，且，光在空气中传播的速度为c。求：
（1）光射出玻璃砖的偏转角；
（2）光在玻璃砖中传播的波长。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）作出光路图如图所示
光射入玻璃砖的入射角为
由几何关系得
由光的折射定律可得，玻璃砖折射率为
解得
即光射出玻璃砖的偏转角为。
（2）由（1）可知，该玻璃砖的折射率为，光在玻璃砖中的传播速度为
光在玻璃砖中传播的波长为
3．半径为的玻璃半圆柱体水平放置，横截面如图所示，为圆心，一条单色光垂直底面射向圆柱面，光线的入射点为，为圆柱面上的点且竖直，，该玻璃对该单色光的折射率。求：
（1）单色光经柱面折射后与底面交于点（图中没有画出），单色光在点的入射角；
（2）点到圆心的距离。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据题意，由折射定律作出光路如图所示
设光在点的入射角为，折射角为，由折射定律有
得
由几何关系可知
得
（2）过B点作MN垂线交于Q点，如图所示
由几何知识有
解得
又有
解得
4．如图所示，真空中有一透明圆柱体，其截面是半径为的圆，截面内有两条间距为的平行光线和（过圆心），分别从B、D两点射入透明圆柱体，射出后汇聚于图中的点。已知圆柱体的折射率，光在真空中的传播速度为，，求：
（1）点到圆心的距离；
（2）光从点传播到点所用的时间；
（3）光从点传播到点所用的时间。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】本题考查光的折射，目的是考查学生的推理能力。
（1）作出光路图如图所示，根据几何关系有
折射率
并根据
解得
（2）从点射入的光在透明体中传播的距离为，有
解得
（3）在和中，有
，
则时间
解得
5．截面为梯形的容器贮满水，靠墙放置在房间内水平桌面上，如图所示。早晨的阳光穿过窗户照射到水面，某时刻观察到阳光恰好照亮容器的整个底部。已知容器梯面倾角的正弦值为，水的折射率为，求：
（ⅰ）此时光线与水面的夹角；
（ⅱ）到了中午，若阳光仍能照到水面，则照亮容器底部的范围如何变化，简要说明原因。
【答案】（ⅰ）；（ⅱ）照亮的范围不变，见解析
【解析】（ⅰ）当光恰好照射到整个容器的底部时，由几何知识可知光线的入射角为，折射角为，根据折射定律有
代入数据解得
（ⅱ）到了中午，太阳升高，光线的入射角变小，折射角也随之变小，光仍会照亮整个底部，照亮的范围不变。
6．折射率为的半圆形透明柱体，其横截面的半径为R，圆心为O，AB为水平直径，如图所示。点光源S置于O点正下方距O点R处的圆面内，不考虑光在AB界面上的反射。
（1）求半圆形界面上无光线射出的区域长度l；
（2）若从O点正上方观察光源S，求观察到的光源距O点的距离h。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）光在介质内刚好发生全反射时的光路图如图所示
光在D点恰好发生全反射
，
解得
无光线射出的部分对应的圆心角
故无光线射出的长度
解得
（2）从O点正上方观察时光路如图所示
由图中几何关系可得
由于较小，故
由折射定律得
可得观察到得光源的深度为
7．在均匀介质中，波源位于O点的简谐横波在Oxy水平面内传播，波面为圆。t=0时刻，波面分布如图甲所示，其中实线表示波峰，虚线表示相邻的波谷（图中只画出了一个波谷和一个波峰）。B处质点的振动图像如图乙所示，z轴正方向竖直向上。试求：
（1）该波从B点传播到D点所需的时间；
（2）t=8s时，E处质点的位移。
【答案】（1）0.4s；（2）
【解析】（1）由甲图可知，波长为，由乙图可知振幅为，周期为，故波速为
故该波从B点传播到D点所需的时间为
（2）由几何关系可知
故OE两点之间间隔2.5个波长，t=8s时波源振动了20个周期，O点恰好处于波峰位置，故此时E处质点处于波谷，位移为。
8．甲、乙两列简谐横波在同一介质中分别沿轴正向和负向传播，波速均为，两列波在时的部分波形曲线如图所示。求：
（1）时，介质中偏离平衡位置位移为的所有质点的坐标；
（2）从开始，介质中最早出现偏离平衡位置位移为的质点的时间。
【答案】（1）（，，…）；（2）0.1s
【解析】（1）根据两列波的振幅都为，偏离平衡位置位移为的质点即为两列波的波峰相遇。
设质点坐标为，根据波形图可知，甲乙的波长分别为，，则甲、乙两列波的波峰坐标分别为
综上，所有波峰和波峰相遇的质点坐标为，整理可得
，，，，
（2）偏离平衡位置位移为是两列波的波谷相遇的点，时，波谷之差
，，，，
整理可得
波谷之间最小的距离为
两列波相向传播，相对速度为
所以出现偏离平衡位置位移为的最短时间
9．甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中沿x轴相向传播，波速，某时刻的波形如图所示。
（1）处的质点开始振动时刻作为计时起点，请写出其振动方程；
（2）处的质点从图示时刻开始经过的过程中通过的路程s。
【答案】（1）；（2）25cm
【解析】（1）处是振幅最大的位置，该处质点的振幅为
波的周期为
所以振动方程为
（2）在0~1s内处的质点不振动；1s~3s内甲波引起质点振动半个周期，通过的路程为
乙波从图示时刻经3s传到处，在3s~4s内，甲、乙两列波共同使质点振动，反射叠加，甲波使质点从平衡位置振动到波谷位置，乙波使质点从平衡位置振动到波峰位置，所以3s~4s内通过的路程为
所以从图示时刻开始经过的过程中通过的路程为
10．如图，均匀介质中两波源a、b分别位于x轴上x1=0、x2=14m处，波源a振动方程为ya=2sin5πt（cm），波源b振动方程为yb=4sin5πt（cm）。已知x轴上xP=10m处质点P在t1=0.4s时刻开始振动，求：
（1）这两列波在均匀介质中的波长；
（2）从t=0开始在△t=2s的时间内质点P通过的路程。
【答案】（1）m；（2）
【解析】（1）设波在介质中传播速度为v，有
解得
m
（2）设波源a的振动经时间传播到P点，有
在～时间内P质点通过的路程为
在s到s时间内P质点通过的路程为
所以
11．如图所示，以原点O为界在x轴上有两段不同材料的绳子，波源S1和S2分别置于和处，产生两列简谐横波甲和乙，分别沿x轴正方向和x轴负方向传播。t=0时刻和处的质点刚好开始振动，某时刻二列波恰好同时到达原点处的质点O，若从开始到时间内P点经过的路程为6cm，求：
（1）甲乙两波的频率之比；
（2）甲波在左侧绳子中的传播速度大小；
（3）从t=0到t=5s，原点处的质点O经过的路程。
【答案】（1）1:1；（2）；（3）0
【解析】（1）两列波同时传到0点，由
得出
由波速公式
由题可知
联立可得，甲乙两波的频率之比为
（2）经时P质点在平衡位置向y轴负方向运动，由图像可知时P质点的x位置坐标为
则在内甲波传播的路程为
由
解得
（3）由于两列波的频率相同，振幅相同，且两波同时传到O点，所以O点是振动减弱点，故P点路程为零。
12．如图甲所示，同种均匀介质中存在能产生简谐横波的A、B两个波源，A、B间距为，质点P在两波源的连线上，，两波源的振动图像如图乙中的实线和虚线所示。已知两波源的振动传播到P点的时间差为。
（1）求波源A形成的简谐横波在介质中的波长；
（2）写出P点的振动方程（以波源B的振动刚传播到P的时刻为计时起点）。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据题意可得
根据
结合
解得
（2）根据
因为
可知点为振动减弱点，即
由分析知，初相位为，则
13．两列简谐横波P、Q在同一介质中分别沿x轴正方向和负方向传播，P、Q两列波在t=0时刻的波形分别如图甲中实线、虚线所示，x=1.5L处质点的振动图像如图乙所示。简谐波P的周期为TP，图中A1、A2已知，T0未知。求：
（1）两列波在介质中的传播速度v及简谐波Q的周期TQ；
（2）求T0及x=1.5L处质点从t=0时刻到T0时间内通过的路程s。
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）由图可知简谐波P、Q的波长
，
根据，解得
波在同种介质中传播速度相等，则
解得
（2）时刻起到处质点再次出现波谷与波谷叠加经历的时间为，则
当，时，对应时间，则
由图乙可知，路程
14．x轴上的波源s1、s2分别位于和处，t=0时刻两波源同时开始振动，产生的两列简谐横波沿s1、s2连线相向传播，时两列波刚好传到如图位置。质点M的平衡位置位于处，求：
（1）两列波传播速度的大小；
（2）质点M振动方程和质点M从t=0到时运动的路程。
【答案】（1）；（2）（）；
【解析】（1）波速为
（2）质点M到两波源的波程差
故质点M是加强点
波传播到M点的时间为
质点振动的周期为
质点M的振动方程
（）
质点M振动时间为
质点M从t=0到时运动的路程
15．波源S1和S2振动方向相同，频率均为4Hz，分别置于均匀介质中的A、B两点处，AB＝1.2m，如图所示。两波源产生的简谐横波沿直线AB相向传播，波速为4m/s。已知两波源振动的初始相位相同，求
（1）形成机械波的波长；
（2）A、B间合振动振幅最小的点的位置。
【答案】（1）1m；（2）见解析
【解析】（1）根据
解得
（2）以A为坐标原点，设P为AB间的任一点，其坐标为x，则两波源到P点的路程差为
，
合振幅最小的点满足
可知，当k=-1时
x=0.35m
当k=0时
x=0.85m
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