2023届北京市朝阳区高三下学期一模数学试题

北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一

数学2023．3

（考试时间120分钟  满分150分）

本试卷分为选择题40分和非选择题110分

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 已知集合，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 设，若，则（    ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

4. 已知点，．若直线上存在点P，使得，则实数k的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 已知函数，则“”是“”（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C. 2 D. 或2

7. 在长方体中，与平面相交于点M，则下列结论一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 的一个周期为 B. 的最大值为

C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上有3个零点

9. 如图，圆M为的外接圆，，，N为边BC的中点，则（    ）

A. 5 B. 10 C. 13 D. 26

10. 已知项数为的等差数列满足，．若，则k的最大值是（    ）

A. 14 B. 15 C. 16 D. 17

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 若复数，则________.

12. 函数的值域为________．

13. 经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为______．

14. 中，，，．

（1）若，则________；

（2）当________（写出一个可能的值）时，满足条件的有两个．

15. 某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方初始兵力，t为战斗时间；，分别为红、蓝两方t时刻的兵力;正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T．给出下列四个结论：

①若且，则；

②若且，则；

③若，则红方获得战斗演习胜利；

④若，则红方获得战斗演习胜利．

其中所有正确结论的序号是________．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. 如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．

（1）求证：平面BDE；

（2）求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；

（3）求点D到平面ABE的距离．

17. 设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在．

（1）求函数的解析式；

（2）求在区间上最大值和最小值．

条件①：；

条件②：的最大值为；

条件③：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．

18. 某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：

假设所有学生的获奖情况相互独立．

（1）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；

（2）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望；

（3）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小．（结论不要求证明）

19. 已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）若对恒成立，求a的取值范围；

（3）证明：若在区间上存在唯一零点，则．

20. 已知椭圆经过点．

（1）求椭圆E的方程及离心率；

（2）设椭圆E的左顶点为A，直线与E相交于M，N两点，直线AM与直线相交于点Q．问：直线NQ是否经过x轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．

21. 已知有穷数列满足．给定正整数m，若存在正整数s，，使得对任意，都有，则称数列A是连续等项数列．

（1）判断数列是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由；

（2）若项数为N的任意数列A都是连续等项数列，求N的最小值；

（3）若数列不是连续等项数列，而数列，数列与数列都是连续等项数列，且，求的值．