高考二轮专题复习——专题2 多面体的外接球试卷

专题2  多面体的外接球

第一讲 长方体切割体的外接球

设长方体相邻的三条边棱长分别为，，．

图1墙角体              图1鳖臑            图3挖墙角体        图4对角线相等的四面体

图1与图2有重垂线，三视图都是三个直角三角形，图3无重垂线，俯视图是一矩形，AC为虚线，主视图和左视图为直角三角形．

图4中，,

．

【例1】在球面上有四个点、、、.如果、、两两互相垂直，且,则这个球的表面积是          ．

【例2】在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，、、的面积分别为、、，则三棱锥的外接球的体积为（    ）

A．    B． C．        D．

【例3】如图所示，已知球的面上有四点、、、，

,则球的体积等于          ．

【例4】四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为（    ）

A．      

B． 

C．  

D．

基础自测

1．三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ）

A．     B． C． D．

2．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A．     B． C． D．

3．已知三棱锥的顶点都在球的表面上，若，，两两互相垂直，且，则球的体积为（    ）

A． B． C． D．

4．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

5．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为，，，，则此球的表面积等于（    ）

A． B． C． D．

6．已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，且，，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

7．三棱锥的四个顶点都在球的球面上，已知，，两两垂直，，，当三棱锥的体积最大时，球的体积为（    ）

A．     B． C． D．

8．如图所示，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面⊥平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（    ）

A．      

B． 

C．  

D．

第二讲 三棱柱的切割体的外接球

图1立着放的模型                     图2躺着放的模型

图1：立着放的模型一定有重垂线，且重垂线在底面的射影一定位于底面三个顶点中的一个，底面三角形非直角三角形，将重垂线长度设为，底面三角形外接圆半径设为，可以求出，则；

图2：躺着放的模型，底面是直角三角形或者矩形，侧面非直角三角形，底面一条棱垂直于侧面，．

【例5】如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在中，，，，，，则该球的体积为　   　    ．

11．四面体的四个顶点都在球的表面上，平面，三角形是边长为的等边三角形，若，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．  

14．已知，，，是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的体积为（    ）

A．     B． C． D．

第三讲 切瓜模型（两个平面互相垂直，最大高和最小高问题）

图1         图2底面固定，在球面上运动，最值问题

图1：由图可知，小圆直径长可以求出，平面必在大圆上，由，解出．

图2：先根据求出底面圆的直径，再根据几何性质求出球大圆的直径，最后根据垂径定理算出到底面距离的最大值和最小值．

双半径单交线公式：

注意：常见的切瓜模型中，一旦出现或时，则或．

此公式参考王文勇老师的《大招秒杀秘籍》一书，在此向努力教研的勇哥致敬！

双半径单交线公式适合所有的直二面角模型，两个半平面的外接圆半径分别为和，两半平面交线长度为，此公式属于一种开挂般的存在，在前面的直三棱柱切割体模型当中也可以使用，一旦两个半平面的二面角不是时，此公式将不再适用．

【例6】已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的半径为（    ）

A．     B． C． D．

15．矩形中，，，沿将矩形折起，使面⊥面，则四面体的外接球的体积为（    ）

A．     B． C． D．

16．点，，，在同一个球面上，，，若球的表面积为，则四面体体积最大值为（    ）

A． B． C． D．

17．在四面体中，，，，平面平面，则该四面体外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

18．如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在平面相互垂直，，，，则球的表面积为（    ）

A． 

B． 

C． 

D．                                       

第四讲 全等三角形折叠模型

题设：两个全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折叠，设折叠的二面角,

如图，作左图的二面角剖面图如右图：和分别为外心，，，，故．

凡是有二面角的四面体，一定要找到二面角的平面角，将其作剖面图，对剖面图进行分析时，利用圆内接四边形和三角形性质，可以求出外接球半径，特殊情况要用进行处理．

【例7】已知菱形中，，，对角线与的交点为，把菱形沿对角

线折起，使得，则折得的几何体的外接球的表面积为（    ）

A．     B． C． D．

【例8】在三棱锥 中，，，，则

三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A．     B． C． D．

【例9】在边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体，则此四面体的外接球表面积为          ．

第五讲 等腰三角形底边与一直角三角形斜边构成二面角的四面体

凡是遇到直角三角形，通常要转换直角顶点，因为直径所对的圆周角为直角，故可将直角顶点转换为共斜边的直角三角形直角顶点，如下图左：以斜边为交线与其它平面形成的二面角可以转换为平面与其它平面构成的二面角．

如上图中，为等腰三角形，且，是以为斜边的，二面角为，令的外接圆半径为，边上的高为，，为的外心，则根据剖面图可知，外接球半径满足以下恒等式．

【例10】在四面体中，，，为等边三角形，二面角的余弦值为，则四面体的外接球表面积为         ．

 第六讲 剖面图转化

定理：剖面图一致的外接球一定一致

两个等腰三角形（不全等）共底边的二面角，或等腰三角形底边与直角三角形直角边为公共边构成的二面角模型

如图6：设二面角，，，外接圆半径，外接圆半径，延长交球于,交球于，作如图6的二面角剖面图如图7所示，根据相交弦定理可知，若或者，则和全等等腰三角形共底边完全一样，利用公式秒杀．（备注：若，则，若，则）

如图8：为的斜边，设二面角，，，外接圆的半径为，外接圆的半径为，，延长交球于，交球于，作如图8的二面角剖面图如图9所示，根据相交弦定理可知，若或者，利用公式秒杀．

【例11】（2018•全国四模）已知三棱锥所有顶点都在球的球面上，为边长为的正三

角形，是以为斜边的直角三角形，且，二面角为，则球的表面积（    ）

A．     B． C． D．                               

【例12】（2018•长郡期末）四面体中，，，．则此四面体外接球的表面积为（　 　）

A．     B． C． D．

第七讲 含二面角的外接球终极公式

双距离单交线公式：

如右图，若空间四边形中，二面角的平面角大小为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，为公共弦中点，则，，，，，由于四点共圆，且，根据余弦定理，．

注意：此公式最好配合剖面图，需要求出两个半平面的外接圆半径，和外接圆圆心到公共弦的距离，通常是，剖面图能很快判断出两条相等弦的优先使用公式．

下面以此公式来解答一下前面出现的例题：

【例10】在四面体中，，，为等边三角形，二面角的余弦值为，则四面体的外接球表面积为         ．      

【例11】（2018•全国四模）已知三棱锥所有顶点都在球的球面上，为边长为的正三角形，是以为斜边的直角三角形，且，二面角为，则球的表面积为（    ）

  A．              B． C． D．  

达标训练

1．（2019•潮州二模）如图，四棱锥中，正方形的边长为2，为为直角顶点的等腰三角形，平面平面，则该几何体外接球的表面积为（    ）

A．     B． C． D．

第1题图                             第5题图

2．（2019•安徽模拟）在三棱锥中，已知，三角形是边长为的正三角形，则三棱锥的外接球的最小表面积为（    ）

A． B． C． D．

3．（2019•成都模拟）三棱柱中，棱，，两两垂直，，且三棱柱的侧面积为，若该三棱柱的顶点都在同一个球的表面上，则球表面积的最小值为（    ）

A． B． C． D．

4．（2019•河北二模）已知四面体的四个面都为直角三角形，且平面，，若该四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

5．（2019•莆田二模）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，，，，则四棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

6．（2019•南关月考）在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（    ）

A．     B． C． D．

7．（2019•武侯模拟）在梯形中，，，，，将梯形沿对角线折叠成三棱锥，当二面角是直二面角时，三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

8．（2019•深圳模拟）如右图所示，，均垂直于平面和平面，，，则多面体的外接球的表面积为（    ）

A．  

B． 

C．  

D．

9．（2018•金牛模拟）已知四边形是边长为2的菱形，，沿对角线将折起使位于新位置，且，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

10．（2019•渝水月考）已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

11．（2018•临川期末）在三棱锥中，，，二面角的余弦值是，则三棱锥外接球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

12．（2018•黄州三模）如图，四面体中，面和面都是等腰△，，

，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为（    ）

A．     B． C． D．

13．（2019•黄山一模）已知三棱锥，，且、均为等边三角形，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积是         ．

14．（2019•城关月考）在三棱锥中，，，侧面为正三角形，且顶点在底面上的射影落在的重心上，则该三棱锥的外接球的表面积为         ．

15．（2019•宝鸡一模）已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则         ．

16．（2018•南平一模）在三棱锥中，，，，与平面所成角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为         ．

例1.例2.A例3.例4.A例5.例6.B例7.A例8.D例9.例10.

例11.B例12.A例10.例11.B

基础自测1.A2.C3.C4.C5.D6.D7.C8.C9.B10.A11.C12.C13.A14.C15.D

达标训练1.D2.C3.C4.D5.B6.C7.D8.C9.A10.D11.D12.B13.14.15.16.