2022-2023学年福建省宁德市九年级（上）期末数学试卷（一检）（含解析）

2022-2023学年福建省宁德市九年级（上）期末数学试卷（一检）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  做重复实验：抛掷同一枚啤酒瓶盖次．经过统计得“凸面向上”的频率约为，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  二次函数的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列各种现象属于中心投影的是(    )

A. 晚上人走在路灯下的影子 B. 中午用来乘凉的树影
C. 上午人走在路上的影子 D. 早上升旗时地面上旗杆的影子

7.  在如图所示的正方形网格中，以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点，则点的对应点是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在平面直角坐标系中，点，，的位置如图所示，若抛物线的图象经过，，三点，则下列关于抛物线性质的说法正确的是(    )

A. 开口向上
B. 与轴交于负半轴
C. 顶点在第二象限
D. 对称轴在轴右侧

9.  如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点到桥面的距离单位：米是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知，点，在反比例函数的图象上，则以下结论正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若且，则

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  如图，在中，，为边的中点若，则的长是        ．

12.  一元二次方程的根是______．

13.  在中，，，若将三边都扩大倍得到，则        ．

14.  已知抛物线与轴没有交点，则的取值范围是        ．

15.  将三个正六边形按如图方式摆放，若小正六边形的面积是，则大正六边形的面积是        ．

16.  如图，已知矩形，，点在上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若是中点，则        ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.  解方程：．

四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
如图，，与交于点，若，，，求的长．

19.  本小题分
如图，点，是反比例函数图象上两点，轴于点，轴于点．
求反比例函数的表达式；
求五边形的面积．

20.  本小题分
寿宁“金丝粉扣”是地方名优特产，深受消费者喜爱某超市购进一批“金丝粉扣”，进价为每千克元调查发现，当销售单价为每千克元时，平均每天能售出千克，而当销售单价每降价元时，平均每天能多售出千克．
设每千克降价元，用含的代数式表示实际销售单价和销售数量；
若超市要使这种“金丝粉扣”的销售利润每天达到元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？

21.  本小题分
如图，在菱形中，对角线，交于点，，．
求的长；
求的值．

22.  本小题分
为欢庆新春佳节，某班计划组织一次抽奖活动，全班位同学都有一次抽奖机会，准备设置一等奖名，二等奖名，其余均为鼓励奖抽奖活动的项目是“摸球游戏“，活动规则是：在一个不透明盒子中放入红球、白球共个，两种球除颜色外其它均相同，每位同学从盒子中同时摸出两个球，根据摸到两个球颜色的情况获得相应的奖项．
请你设计一种方案，使获得各种奖项的概率与计划设置的奖项比例大致相当先写出盒子中放入红球的个数，以及一、二等奖所对应的摸球结果，再通过列表或画树状图说明理由．

23.  本小题分
如图，已知，点是上任意一点不与，重合，于点．
求作：矩形，使得点在上，点在上；尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，若是的高，且，求矩形的周长．

24.  本小题分
如图，已知正方形，将边绕点顺时针旋转得到，连接并延长，过点作射线于点，连接．
如图，当时，求和的度数；
如图，当时，过点作于点连接，．
证明：；
在的旋转过程中，是否存在与相似？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由．

25.  本小题分
科技进步促进了运动水平的提高某运动员站在与篮框水平距离米的处练习定点站立投篮，他利用激光跟踪测高仪测量篮球运动中的高度已知篮圈中心到地面的距离为米，篮球每一次投出时离地面的距离都为米图所示抛物线的一部分是某次投篮训练中篮球飞行的部分轨迹，当篮球与篮框水平距离为米时离地面最高，最大高度为米．
建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
判断本次训练篮球能否直接投中篮圈中心？若能，请说明理由；若不能，那么在保持投篮力度和方向即篮球飞行的抛物线形状不变的情况下，求该球员只要向前或向后移动多少米，就能使篮球直接投中篮圈中心．
如图，在另一次训练中，该运动员在点处投篮，篮球从处投出并且直接命中篮圈中心，其运动轨迹经过点，，，且，试比较，的大小关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选C．
根据即可作出选择．
此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容，同学们要注意掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
可设，那么，
．
故选C．
先由已知条件可设，那么，再将它们代入所求代数式，即可求出结果．
本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．
 

3.【答案】 

【解析】【解析】
此题考查的是用频率估计概率，解答此题关键是要明白瓶盖只有两面，即凸面和凹面
【解答】
解：瓶盖只有两面，“凸面向上”的频率约为，
则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为．
故选D．
 

4.【答案】 

【解析】解：这个几何体的左视图为，

故选：．
根据解答几何体的三视图的定义，画出从左面看所得到的图形即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为．
故选：．
已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
本题考查通过抛物线的顶点坐标式写出抛物线的顶点坐标，比较容易．
 

6.【答案】 

【解析】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有选项得到的投影为中心投影．
故选：．
根据中心投影的性质，找到是灯光的光源即可．
此题主要考查了中心投影的性质，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，点为位似中心，，
，
即点的对应点为点．
故选：．
利用位似的性质点的对应点与点、共线，并且到点的距离为的两倍，从而可判断点的对应点的位置．
本题考查了位似变换：位似图形的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线．
 

8.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点、、的位置如已知图所示，若抛物线的图象经过、、三点，则抛物线开口向下，与轴交于正半轴，顶点在第一象限，对称轴在轴右侧，选项A、、说法错误，
故选：．
根据抛物线三点的位置、根据抛物线的对称性解答即可．
本题全面考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，
大桥主塔是一个轴对称图形，
．
，
米．
，

，
，
点到桥面的距离是米，
故选：．
过点作，垂足为根据大桥的轴对称性，先确定是等腰三角形，再利用三线合一求出的长，最后求出的长．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握轴对称图形的性质和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象在第一象限和第三象限，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小，且时，
故A，，D错误，不符合题意；
，即，
，
故C正确，符合题意．
故选：．
根据反比函数的性质逐项讨论即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，关键是利用反比例函数的性质解题．
 

11.【答案】 

【解析】解：在中，，为斜边的中点，，
，
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线性质得出，代入求出即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出是解此题的关键．
 

12.【答案】或 

【解析】解：，
或，
或，
故答案为：或
根据因式分解法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，，将的三边都扩大倍得到，
与相似，
相似三角形的对应角相等，
，
．
故答案为：．
根据题意可知变化后的三角形与原三角形相似即可解答．
本题考查了锐角三角函数的定义，根据题意可知变化后的三角形与原三角形相似是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：若抛物线与轴没有交点，则，
解得．
故答案为：．
抛物线与轴没有交点，则，进而求解．
本题考查抛物线与轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，由拼图可知是正三角形，且边长与小正六边形的边长相等，
，
，
即，
，


．
故答案为：．
根据正六边形的性质得出大正六边形的边长是小正六边形边长的倍，进而得到大正六边形的面积是小正六边形面积的倍得出答案．
本题考查正多边形与圆，求出大正六边形的边长是小正六边形的边长的倍是正确解答的前提．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

四边形是矩形，
，，，
，是中点，
，
，
，
是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
即，
，
，
，
又，
∽，
，
故答案为：．
连接，根据矩形的性质、等腰直角三角形的性质结合题意推出，根据勾股定理推出，，进而得出，结合，得到∽，根据相似三角形的性质即可得解．
此题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：这里，，，
，
，
则，． 

【解析】此题考查了解一元二次方程公式法，利用公式法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出，及的值，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值大于等于时，代入求根公式即可求出解．
找出，及的值，计算出根的判别式的值大于，代入求根公式即可求出解．
 

18.【答案】解：，
，，
∽，
，
即，
解得． 

【解析】利用字模型的相似三角形证明∽，然后利用相似三角形的性质即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握字模型的相似三角形是解题的关键．
 

19.【答案】解：点在反比例函数图象上，
，
反比例函数的表达式为；
在反比例函数图象上，
，
，
延长，交于点，
轴于点，轴于点，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
． 

【解析】利用待定系数法即可求解；
延长，交于点，利用即可求解．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，根据矩形的性质求得点的坐标是解题的关键．
 

20.【答案】解：由题意得：实际销售单价为元，销售数量为千克；
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
让顾客得到实惠，
，
答：销售利润每天达到元，且让顾客得到实惠，每千克应降价元． 

【解析】由题意：当销售单价为每千克元时，平均每天能售出千克，而当销售单价每降价元时，平均每天能多售出千克．即可得出结论；
由题意：超市要使这种“金丝粉扣”的销售利润每天达到元，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：四边形是菱形，，
，，，
在中，由勾股定理得：，
；
如图，过点作于点，

四边形是菱形，，，
，，
，
，
在中，． 

【解析】由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，即可得出结论；
过点作于点，由菱形的面积求出，再由锐角三角函数定义即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：盒子中放入红球个、白球个，摸到个红球为一等奖，摸到个白球为二等奖．
理由如下：
画树状图为：

共有种等可能的结果，其中摸出两个球都是红球的结果数为，摸出两个球都是白球的结果数为，
所以摸出两个球都是红球的概率，摸出两个球都是白球的概率，
因为全班位同学都有一次抽奖机会，设置一等奖名，二等奖名，
所以一等奖占为，二等奖占，
所以设计方案可为：在一个不透明盒子中放入红球个、白球个，两种球除颜色外其它均相同，每位同学从盒子中同时摸出两个球，根据摸到两个红球为一等奖，摸到两个白球为一等奖，其余均为鼓励奖． 

【解析】盒子中放入红球个、白球个，画树状图展示所有有种等可能的结果，找出摸出两个球都是红球的结果数和两个球都是白球的结果数，则可计算出摸出两个球都是红球的概率，摸出两个球都是白球的概率，这与一等奖和二等奖所占的比相同，所以可设计方案：在一个不透明盒子中放入红球个、白球个，两种球除颜色外其它均相同，每位同学从盒子中同时摸出两个球，根据摸到两个红球为一等奖，摸到两个白球为一等奖，其余均为鼓励奖．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
 

23.【答案】如图，

四边形是矩形，

，，
∽，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形的周长． 

【解析】过点作于，以为圆心，长为半径作弧交于，即可得矩形；
过点作于，根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
本题考查作图复杂作图、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：将边绕点顺时针旋转得到，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
；
证明：设与交于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
；
解：存在与相似，
，，，
≌，
，
，
，
Ⅰ当时，此时点与点重合，不合题意舍去；
Ⅱ当时，∽，

如图，过点作于点，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，
，
即，
在则，，
，
即的值为． 

【解析】根据旋转的性质可得为等边三角形，再利用三角形内角和定理得的度数，从而得出答案；
设与交于点，通过角度之间的转化可得，即可证明结论；
首先可知，当时，此时点与点重合，不合题意舍去；当时，∽，利用证明≌，得，再说明，即可解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，运用分类讨论思想确定三角形相似的对应关系是解题的关键．
 

25.【答案】解：根据题意，得抛物线的顶点坐标是，
设抛物线的解析式为，
点在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为；
由可知抛物线与轴交点为，
篮圈中心坐标为，
本次训练不能投中；
向前或向后移动只是对抛物线进行左右平移，而篮球飞行的抛物线形状不变，
可设抛物线的解析式为，
篮球要直接投中篮圈中心，
，
解得不合题意，舍去，
，
，
该球员只要向前移动米；
设点关于抛物线对称轴对称的点为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
，
落在，之间，
，
由对称性可知，
，即，
点，点分别到抛物线对称轴的距离为，，
，
，
，
． 

【解析】设抛物线解析式为顶点式，再用待定系数法求出的值即可；
根据抛物线解析式得出抛物线与轴的交点，可以判断运动员不能投篮；然后根据平移的性质设抛物线解析式为，然后把代入解析式求出，再计算平移的距离；
先做出点关于抛物线对称轴对称的点为，再根据和点，点分别到抛物线对称轴的距离即可判断．
本题考查二次函数的应用、待定系数法确定函数解析式等知识，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．