四川省成都外国语学校2022-2023学年高二数学（理）下学期3月月考试题（Word版附解析）

成都外国语学校2022—2023学年度高二下3月月考

数学试题（理科）

第Ⅰ卷

一、单选题（本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 复数等于（ ）

A. １+ｉ B. １－ｉ C. －１+ｉ D. －１－ｉ

【答案】A

【解析】

【详解】，选A

2. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线的渐近线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据双曲线的渐近线方程为求解.

【详解】因为双曲线的方程为，

所以其渐近线方程为，

故选：A．

3. 函数（为自然对数的底数），则的值为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】先求出，再求出即可．

【详解】∵，

∴，

∴．

故选：B．

4. 已知与之间的一组数据：，则与的线性回归方程为必过（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出样本中心即可得到答案.

【详解】由题意可知：，，

与的线性回归方程必过点.

故选：C.

5. 若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由有两个不相等的实数根求得的取值范围．

【详解】，

由于函数有三个单调区间，

∴有两个不相等的实数根，∴．

故选：C．

6. 若函数在上有极值点，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】对函数进行求导，由于函数有极值点即有变号零点，根据导函数的单调性列出不等式解出即可.

【详解】因为，所以，

因在上恒成立，所以在上为减函数，

所以，解得，

故选：A.

7. 已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点（点在第一象限），与交于点，若，，则（    ）

A.  B. 3 C. 6 D. 12

【答案】B

【解析】

【分析】利用抛物线的定义，以及几何关系可知，再利用数形结合表示的值，进而得，再根据焦半径公式得，，进而求解直线的方程并与抛物线联立得，再用焦半径公式求解即可.

【详解】如图，设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，，

所以，.

又，所以，

设，则.

因为，

所以，所以，

所以，即.

所以，抛物线为，焦点为，准线为，

由得，解得，

所以，，

所以，直线的方程为

所以，联立方程得，解得，

所以，，

所以，

故选：B

8. 若函数与的图像有且仅有一个交点，则关于x的不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】将条件与只有1个交点转换为函数只有1个零点，参数分离求出a，再构造函数，利用其单调性求解即可.

【详解】与只有1个交点等价于函数 只有1个零点，

即只有1个解，

令，则，，

当时，单调递增，当时，单调递减，并且，

所以， ，函数的大致图像如下图：

，原不等式为： ，即，

令，显然在时是增函数，又，

的解集是.

故选：C.

9. 某同学根据以下实验来估计圆周率的值，每次用计算机随机在区间内取两个数，共进行了次实验，统计发现这两个数与为边长能构成钝角三角形的情况有种，则由此估计的近似值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，画出几何图形，借助几何概型计算作答.

【详解】设是区间内的任意两个数，则，因此点所在的平面区域是边长为3的正方形内部，如图，

数与3为边长能构成钝角三角形，则点在满足的条件下，有，

此时点在以点O为圆心，3为半径的圆与线段AC所围弓形内部（不含边界），

弓形面积，而正方形的面积，

于是点落在弓形内部的概率为，

因为次实验中，出现数与为边长能构成钝角三角形的情况有种，

因此，解得，

所以估计的近似值为.

故选：A

10. 已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的x的值可能为(    )

A. －2 B. －1 C.  D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件构造函数，要求解的不等式可化为，判断F(x)单调性即可求解.

【详解】设，则，

∵，∴，

∴，即在定义域R上单调递减．

∵，∴，

∴不等式等价于，即，解得，

结合选项可知，只有D符合题意．

故选：D．

11. 已知曲线上一点，曲线上一点，当时，对任意，，都有恒成立，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题中条件，得到，，推出，；证明，得到，推出，分离参数得，构造函数求出最大值，即可得出结果.

【详解】因为当时，对于任意，都有恒成立，

所以有：，，

，

，

令，则，

所以当时，，则单调递增；

当时，，则单调递减；

因此，即显然恒成立；

因为，所以，即；

为使恒成立，只需恒成立；即恒成立；

令，则，

由解得；由解得；

所以在上单调递增；在上单调递减；

所以；

，因此的最小值为.

故选：

【点睛】关键点点睛：

求解本题的关键在于将问题转化为不等式恒成立求参数范围的问题，根据，只需，分离参数后，即可根据导数的方法求解.

12. 已知椭圆，为的左、右焦点，为上一点，且的内心为，若的面积为，则的值为（    ）

A.  B. 3 C.  D. 6

【答案】D

【解析】

【分析】利用焦点三角形的面积公式，建立等量关系，结合椭圆的性质，计算椭圆的离心率，再结合焦点三角形的面积公式即可求的值.

【详解】由题意得，的内心到轴的距离

等于内切圆的半径，即为的纵坐标，即为，

因为为上的一点，

所以,

即，

又因为，所以，

，

整理得，解得（舍）或，

所以，

所以，

所以，即，解得.

故选：D.

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．把答案填在答题卡的相应位置．）

13. 下面一段程序执行后的结果是________.

【答案】

【解析】

【分析】根据程序的语句，经过一次乘法，加法后输出结果，据此计算即可

【详解】初始赋值，经过后，数值变为，经过运算后，结果为.

故答案为：

14. 已知复数是纯虚数，则___________.

【答案】1

【解析】

【分析】根据复数的概念列式即可求得的值.

【详解】因为是纯虚数，所以，解得.

故答案为：.

15. 已知双曲线C：上有不同的三点A，B，P，且A，B关于原点对称，直线PA，PB的斜率分别为，，且，则离心率e的取值范围是____________．

【答案】

【解析】

【分析】利用点差法求得，由此化简求得离心率的取值范围.

【详解】设，，因为A，B关于原点对称，所以，

∴，，∴．

又因为点P，A都在双曲线上，所以，，

两式相减得：，

∴，

∴，

∴，，

∴．

故答案为：

16. 已知函数，若关于x的不等式，对恒成立，则实数a的最小值是______．

【答案】

【解析】

【分析】将不等式化为，构造函数，原不等式即可化为，根据的单调性可得，参变分离得，则即可求解.

【详解】，由可得，

构造函数，其中，则，

∴函数在上单调递增，原式等价于，

由，，则，则，

即得，∴，

令，其中，则．

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

∴，，

∵，解得，故实数的最小值为．

故答案为：．

三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 已知函数，且.

（1）求的解析式；

（2）求曲线在处的切线方程.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求导数，根据可求，进而可得答案；

（2）先求导数得到切线斜率，再求出切点，利用点斜式可求切线方程.

【小问1详解】

因为，且，所以，解得，所以函数的解析式为.

【小问2详解】

由（1）可知，；

又，所以曲线在处的切线方程为，即.

18. 已知抛物线的准线方程为.

（1）求的值；

（2）直线交抛物线于、两点，求弦长.

【答案】（1）2；    （2）.

【解析】

【分析】（1）根据给定抛物线方程，求出其准线方程即可计算作答；

（2）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求出弦长作答.

小问1详解】

抛物线的准线方程为，依题意，，解得，

所以的值为2.

【小问2详解】

由（1）知，抛物线，设点，，

由消去y得：，，则，，

所以

.

19. 已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围.

【答案】（1）减区间为，增区间为；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）对求导得到，令，，解不等式即可得到单调区间；

（2）把在上单调递增转化成在上大于等于零恒成立，再求出最值即可得到的取值范围.

【小问1详解】

函数的定义域为，当时，

求导得，整理得：

由得；由得，

从而，函数减区间为，增区间为；

【小问2详解】

由已知得时，恒成立，即恒成立，即恒成立，则.

令函数，由知在单调递增，

从而.

经检验知，当时，函数不是常函数，

所以a的取值范围是.

20. 某校从高一年级的一次月考成绩中随机抽取了50名学生的成绩，这50名学生的成绩都在内，按成绩分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）根据频率分布直方图估计该校高一年级本次考试成绩的中位数；（四舍五入保留1位小数）；

（2）用分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2名学生进行调查，求月考成绩在内至少有1名学生被抽到的概率．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由频率分布直方图的性质，求得，结合中位数的计算方法，即可求解；

（2）由频率分布直方图成绩在和和频率分别是和，得到成绩在上的有4人，成绩在上的有2人，结合概率计算公式，即可求解.

小问1详解】

解：由频率分布直方图的性质，可得，

解得；

在频率分布直方图中前两组频率和为，

第三组频率为，所以中位数在第三组，

设中位数为，则，解得.

【小问2详解】

解：由频率分布直方图成绩在和和频率分别是和，

则抽取的人中，成绩在上的有4人，成绩在上的有2人，

从6人中任意抽取2人共有种方法，

其中2人成绩都在上的方法有种，

所以月考成绩在内至少有1名学生被抽到的概率为．

21. 已知点，，动点P满足.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）设点，斜率为k的直线l与曲线C交于M，N两点.若，求k的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设动点，分别表示出，然后代入计算，化简即可得到结果；

（2）根据题意，分与两种情况讨论，当时，设直线l：，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出MN的中点的坐标，再由条件列出方程，即可得到结果.

【小问1详解】

设动点，则，，

，由已知，得，

化简，得，故动点P的轨迹C的方程是.

【小问2详解】

当时，设直线l：，将代入，

整理，得，

设，，，

整理，得，①

设MN的中点为Q，，，

所以，

由，得，即直线EQ的斜率为，

所以，化简，得，②

将②代入①式，解得且.

当时，显然存在直线l，满足题设.

综上，可知k的取值范围是.

22. 已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设函数有两个极值点，证明：．

【答案】（1）答案见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）先求出定义域，再求导，根据确定或，再对进行分类讨论，讨论求出函数的单调性；

（2）对求导，结合的极值点个数得到在上有两个不等实根，得到，，，表达出，只需证，构造，，研究其单调性，求出，由对勾函数的单调性证明出结论.

【小问1详解】

定义域为，且

，

令得，或，

①当时，与，，单调递增，

，，单调递减，

②当时，，在单调递增，

③当时，与，，单调递增，

，，单调递减，

综上，当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减；

当时，在区间上单调递增；

当时，在区间，上单调递增，在区间单调递减；

【小问2详解】

由已知，，则，

函数有两个极值点，，即在上有两个不等实根，

令，只需，故，

又，，

所以

，

要证，即证，

只需证，

令，，

则，

令，则恒成立，

所以在上单调递减，

又，，

由零点存在性定理得，使得，

即，

所以时，，单调递增，

时，，单调递减，

则，

∵由对勾函数知在上单调递增，

∴，

∴，即，得证．

【点睛】隐零点的处理思路：

第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；

第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.