人教版初中数学总复习优化设计单元检测四几何初步知识与三角形含答案

单元检测四　几何初步知识与三角形

(时间:90分钟　满分:120分)

一、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)

1. 如图,AB∥CD,CE平分∠ACD,若∠1=25°,则∠2的度数是　　　　　. 

答案:130°

2. 如图,已知AB=AD,∠BAE=∠DAC,要使△ABC≌△ADE,可补充的条件是　　　　　　　　　　　.(写出一个即可) 

答案:AC=AE或∠C=∠E或∠B=∠D

3. 如图,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF,连接EF.若AB=3,AC=2,且α+β=∠B,则EF=　　　　. 

答案:

4. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,点E,F是AD的三等分点,若△ABC的面积为12 cm2,则图中阴影部分的面积是　　　　cm2. 

答案:6

5. 由四个直角边分别是3和4的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”如图所示,小亮随机地往大正方形区域内投针一次,则针孔在阴影部分的概率是　　　　　. 

答案:

6. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=3.点D是BC边上的一动点(不与点B,C重合),过点D作DE⊥BC交AB于点E,将∠B沿直线DE翻折,点B落在射线BC上的点F处.当△AEF为直角三角形时,BD的长为　　　　　. 

答案:1或2

二、选择题(本大题共10小题,每小题只有一个正确选项,每小题4分,共40分)

7.如图,已知AB∥CD,直线AC和BD相交于点E,若∠ABE=70°,∠ACD=40°,则∠AEB等于(　　)

A.50° B.60° C.70° D.80°

答案:C

8.如果将长为6 cm,宽为5 cm的长方形纸片折叠一次,那么这条折痕的长不可能是(　　)

A.8 cm B.5 cm C.5.5 cm D.1 cm

答案:A

9. 若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”,则图中以BC为公共边的“共边三角形”有(　　)

A.2对 B.3对 C.4对 D.6对

答案:B

10. 如图所示,在△ABC中,AB=AC,过AC上一点作DE⊥AC,EF⊥BC,若∠BDE=140°,则∠DEF=(　　)

A.55° B.60° C.65° D.70°

答案:C

11. 如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以40 n mile/h的速度向正北方向航行,2 h后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为(　　)

A.40 n mile B.60 n mile 

C.70 n mile D.80 n mile

答案:D

12. 如图,等腰三角形ABC的周长为21,底边BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则△BEC的周长为              (　　)

A.13 B.14 

C.15 D.16

答案:A

13. 如图,有一底角为35°的等腰三角形纸片,现过底边上一点,沿与底边垂直的方向将其剪开,分成三角形和四边形两部分,则四边形中,最大角的度数是(　　)

A.110° B.120° C.125° D.130°

答案:C

14. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于点D,AB=13,CD=6,则AC+BC等于(　　)

A.5 B.5 C.13 D.9

答案:B

15. (2021浙江中考)如图,菱形ABCD中,∠B=60°,点P从点B出发,沿折线BC-CD方向移动,移动到点D停止.在△ABP形状的变化过程中,依次出现的特殊三角形是(　　)

A.直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形

B.直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形

C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形

D.等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形

答案:C

16. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2 cm,D为BC的中点,若动点E以1 cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t s(0≤t<6),连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值为(　　)

A.2 B.2.5或3.5 

C.3.5或4.5 D.2或3.5或4.5

答案:D

三、解答题(本大题共6小题,共56分)

17.(本小题满分6分)如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:∠A=∠D.

证明∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,

即BC=EF.

在△ABC和△DEF中,

∴△ABC≌△DEF(SSS).

∴∠A=∠D.

18. (本小题满分8分)如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F,试判断△AFC的形状,并说明理由.

解:△AFC是等腰三角形.

理由如下:在△BAD与△BCE中,

∵∠B=∠B,∠BAD=∠BCE,BD=BE,∴△BAD≌△BCE.

∴BA=BC.∴∠BAC=∠BCA.

∴∠BAC-∠BAD=∠BCA-∠BCE,即∠FAC=∠FCA.

∴△AFC是等腰三角形.

19.(本小题满分10分)(2021天津中考)如图,一艘货船在灯塔C的正南方向,距离灯塔257海里的A处遇险,发出求救信号.一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上,同时位于A处的北偏东60°方向上的B处,救生船接到求救信号后,立即前往救援.求AB的长(结果取整数).

参考数据:tan 40°≈0.84,取1.73.

解:

如图,过点B作BH⊥CA,垂足为H.

根据题意,∠BAC=60°,∠BCA=40°,CA=257.

∵在Rt△BAH中,tan∠BAH=,cos∠BAH=,

∴BH=AH·tan 60°=AH,AB==2AH.

∵在Rt△BCH中,tan∠BCH=,

∴CH=

又CA=CH+AH,∴257=+AH,可得AH=AB==168.

答:AB的长约为168海里.

20.(本小题满分10分)某货站传送货物的平面示意图如图.为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45° 改为30°.已知原传送带AB长为4 m.

 (1)求新传送带AC的长度;

(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2 m的通道,试判断距离点B处 4 m的货物MNQP是否需要挪走,并说明理由.(说明:(1),(2)的计算结果精确到0.1 m,参考数据:1.41,1.73,2.24,2.45)

解:(1)如图,过点A作AD⊥BC,交CB的延长线于点D.

在Rt△ABD中,AD=ABsin 45°=4=2(m).在Rt△ACD中,∵∠ACD=30°,∴AC=2AD=45.6(m),即新传送带AC的长度约为5.6 m.

(2)货物MNQP需要挪走.

理由:在Rt△ABD中,BD=ABcos 45°=4=2(m),在Rt△ACD中,CD=ACcos 30°=4=2(m),∴CB=CD-BD=2-2=2()≈2.1(m).∵PC=PB-CB≈4-2.1=1.9(m),1.9<2,∴货物MNQP需要挪走.

21.(本小题满分10分)问题情境:将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)按图①所示的方式摆放,其中∠ACB=90°,CA=CB,∠FDE=90°,∠E=30°,O是AB的中点,点D与点O重合,DF⊥AC于点M,DE⊥BC于点N.

(1)试判断线段OM与ON的数量关系,并说明理由;

(2)将图①中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图②的位置,使点D落在BA的延长线上,FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M,BC的延长线与DE垂直相交于点N,连接OM,ON.试判断线段OM,ON的数量关系与位置关系,并写出证明过程.

图①

图②

解:(1)OM=ON,理由如下:

∵CA=CB,∴∠A=∠B.

∵O是AB的中点,∴OA=OB.

∵DF⊥AC,DE⊥BC,∴∠AMO=∠BNO=90°.

在△OMA和△ONB中,

∴△OMA≌△ONB(AAS).∴OM=ON.

(2)OM=ON,OM⊥ON.理由如下:如图,连接OC.

∵BN⊥DE,FM⊥CM,CM⊥BN,∴四边形DMCN是矩形,∴CN=DM.

∵∠DAM=∠CAB=45°,∠DMA=90°.∴DM=MA,∴CN=MA.

∵∠ACB=90°,O为AB中点,

∴CO=AB=AO,∠BCO=45°,CO⊥AB,∴∠NCO=∠MAO=135°.

在△NOC和△MOA中,

∴△NOC≌△MOA(SAS),

∴OM=ON,∠AOM=∠NOC.

∵∠NOC+∠AON=90°,

∴∠AOM+∠AON=90°,

∴∠MON=90°,即OM⊥ON.

22.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,D为BC中点.

(1)若E,F分别是AB,AC上的点,且AE=CF,求证:△AED≌△CFD;

(2)当点F,E分别从C,A两点同时出发,以1个单位长度/秒的速度沿CA,AB运动到点A,B时停止,设△DEF的面积为y,点F的运动时间为x,求y与x之间的函数关系式.

 (1)证明∵∠BAC=90°,AB=AC=6,D为BC中点,∴AD=DC,∠DAE=∠C=45°.又AE=CF,∴△AED≌△CFD.

(2)解:由题知AE=x,AF=6-x,

∴EF2=AE2+AF2=x2+(6-x)2=2x2-12x+36,由(1)知:△AED≌△CFD,

∴DE=DF,∠ADE=∠CDF,

∴∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°,∴△DEF是等腰直角三角形,∴DE2=DF2=EF2,

∴S△DEF=DE·DF=DE2=EF2,即y=(2x2-12x+36)=x2-3x+9.