2023年安徽省芜湖市南陵县中考数学模拟试卷（一）（含解析）

2023年安徽省芜湖市南陵县中考数学模拟试卷（一）

一、选择题（本大题共9小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，这四个数中最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日，十三届全国人大五次会议在京召开，国务院总理李克强做政府工作报告，今年主要预期目标粮食产量保持在万亿斤以上，其中万亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  一种商品，先提价，再降价，这时的价格是元．则该商品原来的价格是(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

7.  年月日中国航天日某校举办了以“航天点亮梦想”为主题的中学生知识竞赛中，五位评委分别给甲队、乙队两组选手的评分如下：
甲组：，，，，；乙组：，，，，．
则下列说法：从甲、乙得分的平均分看，他们两人的成绩没有差别；从甲、乙得分的众数看，乙的成绩比甲好；从甲、乙得分的中位数看，乙的成绩比甲好；从甲、乙成绩的稳定性看，乙的成绩比甲好；正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线则下列选项中正确的是(    )
 

A.  B.
C.  D. 当为实数时，

9.  已知菱形，边长为，，分别在，上，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

10.  不等式的解集为        ．

11.  因式分解：______．

12.  如图，一次函数与反比例函数上的图象交于，两点，轴，轴，若的面积为，则______．

13.  在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，在三角形纸片中剪下以点为一个顶点，另个顶点分别在，，上的一个正方形，量得，，则：
正方形的边长为        ；
和的面积之和为        ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
已知三个顶点的坐标分别为，，．
将向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，请在网格中画出；
以点为位似中心，在第一象限画出，使它与的相似比为，并写出点的坐标．

16.  本小题分
某项工程，甲工程队单独施工天后，为加快进度，乙工程队也加入一起施工，这样共用天完成了任务，已知乙工程队单独施工需要天完成，求甲工程队单独完成此项工程所需的天数．

17.  本小题分
如图是自动卸货汽车卸货时的状态图，图是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆的底部支撑点在水平线的下方，与水平线之间的夹角是，卸货时，车厢与水平线成，此时与支撑顶杆的夹角为，若米，求的长度．结果保留一位小数

参考数据：，，，，，，

18.  本小题分
观察下列关于自然数的等式：
，
，
，

根据上述规律解决下列问题：
完成第四个等式：        ；
写出你猜想的第个等式用含的式子表示，并验证其正确性；
根据你发现的规律，可知        直接写出结果即可

19.  本小题分
如图，是圆的直径，，是圆上的点在同侧，过点的圆的切线交直线于点．
若，，求的长；
若四边形是平行四边形，证明：平分．

20.  本小题分
某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程依次用，，，表示，为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动必选且只选一种”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图．

请根据统计图将下面的信息补充完整：
参加问卷调查的学生共有______人；
扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的度数为______；
若该校共有学生名，请你估计该校全体学生中最喜欢课程的学生有多少人？
现从喜欢编导表演课程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率．

21.  本小题分
已知抛物线与直线交于点．
若抛物线经过时，求抛物线解析式；
设点的纵坐标为，当取最小值时，抛物线上有两点，，，比较与的大小；
若线段两端点坐标分别是，，当抛物线与线段有公共点时，求出的取值范围．

22.  本小题分
如图，在中，，，点为边上的一点，连接，过点作于点，交于点，连接．
求证：∽；
若，求证：；
如图，若，，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，
最小的数是，
故选：．
根据正数大于，负数小于，负数比较大小，绝对值大的反而小即可得出答案．
本题考查了有理数大小比较，掌握负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：万亿亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式，故本选项计算错误，不符合题意；
B、原式，故本选项计算错误，不符合题意；
C、原式，故本选项计算错误，不符合题意；
D、原式，故本选项计算正确，符合题意；
故选：．
根据同底数幂的除法法则判断；根据同底数幂的乘法法则判断；根据完全平方公式判断；根据积的乘方法则判断．
本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘除法，积的乘方，掌握运算法则及公式是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．

先利用三角板的角度以及外角性质即可求得，进而得出结果．
本题考查的是利用三角板度数求未知角的度数，熟记三角形外角的性质是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，即，解得．
故选：．
扇形面积公式为，直接代值计算即可．
此题考查扇形的面积公式，，解题关键是在不同已知条件下挑选合适的公式进行求解．
 

6.【答案】 

【解析】解：设该商品原来的价格是元，依题意有：
，
解得．
故该商品原来的价格是元．
故选：．
可设该商品原来的价格是元，根据等量关系：先提价，再降价，这时的价格是元，列出方程计算即可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，根据等量关系列出相应的方程．
 

7.【答案】 

【解析】解：甲组的平均数为，
乙组的平均数为，
所以从甲、乙得分的平均分看，他们两人的成绩没有差别，故说法正确；
甲组的众数为，乙组的众数为；
因为，
所以从甲、乙得分的众数看，乙的成绩比甲好，故说法正确；
乙组的中位数为，乙组的中位数为，
所以从甲、乙得分的中位数看，乙的成绩比甲好，故说法正确；
，
，
因为，
从甲、乙成绩的稳定性看，甲的成绩比乙好，故说法错误．
正确的是．
故选：．
分别求出它们的平均数，众数和方差即可．
本题考查了众数、中位数、平均数以及方差，解题的关键是牢记概念及公式．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．
由图象开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知，根据对称轴方程得到，于是得到，故A错误；根据二次函数的图象与轴的交点，得到，求得，故B错误；根据对称轴方程得到，当时，，于是得到，故C错误；当为实数时，代入解析式得到，于是得到，故D正确．
【解答】
解：由图象开口向上，可知，
与轴的交点在轴的上方，可知，
又对称轴方程为，所以，所以，
，故A错误；
二次函数的图象与轴交于，两点，
，
，故B错误；
，
，
当时，，
，
，故C错误；
当为实数时，，
，，，
，故D正确，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，，
过点作交于点，
，
，，，
是等边三角形，
，
，
故选：．
证明≌，则，过点作交于点，可得是等边三角形，，求出，即可求．
本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

11.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

12.【答案】 

【解析】解：设交轴于点，

由反比例函数系数的几何意义可得的面积为，
由函数的对称性可得点为中点，即为中位线，
，
，
，
．
故答案为：．
设交轴于点，由正比例函数与反比例函数的对称性可得为中位线，从而可得，进而求解．
本题考查反比例函数系数的几何意义，解题关键是掌握反比例函数的性质．
 

13.【答案】   

【解析】解：设，
四边形为正方形，
，，，
，
∽，
，即，
解得，，
，
，，
在中，，
，
解得，
正方形的边长为；
故答案为：；
设，由知，，
，
，
．
故答案为：．
设，证明∽，利用相似比表示出，，则，，，接着利用勾股定理计算出，所以，然后解出；
设，由知，，利用三角形的面积公式分别计算出和，从而得到的值．
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．也考查了三角形面积和相似三角形的判定与性质．
 

14.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

15.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作，点的坐标为．
 

【解析】利用点平移的坐标变换规律得到点、、的坐标，然后描点即可；
利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点、、的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点即可．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或也考查了平移变换．
 

16.【答案】解：设甲工程队单独完成此项工程需要天，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：甲工程队单独完成此项工程需要天． 

【解析】设甲工程队单独完成此项工程需要天，利用甲工程队完成的工程量乙工程队完成的工程款总工程量，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，过点作于点，

在中，，
米，
在中，，
，
米，
答：所求的长度约为米． 

【解析】直接过点作于点，利用锐角三角函数关系得出的长，进而得出的长．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：观察可发现，等号右边第一个乘式的第一个数字均是序列号，后面就是连续的整数，第二个乘式的第二个数字是序列号，第一个和第三个分别是序列号的相邻数字，
所以第四个式子右边应该是：；
故答案为：；
由观察可得，等式左边乘式的组成为，第一个数字为，第二个数字为序列号，第三个数字为序列号加，
再由可知，第个式子应该就是：；
等式右边左边，
所以猜想正确．




，
故答案为：．
观察前三个等式，观察三个等式规律，找到相同点和不同点，相同点每个式子第一个都是，不同点在于第二个就是序号数字，第三个是序号数字加，根据此即可解出此题．
根据所给的等式的特点，不难得出第个等式为：，对等式右边进行整理即可求证；
利用中的规律进行求解即可．
本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
 

19.【答案】解：是圆的直径，
，
在中，，，
，
或舍去，
的长为；
证明：连结，交于点，

与圆相切于点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分． 

【解析】根据直径所对的圆周角是直角可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
连结，交于点，利用切线的性质可得，再利用平行四边形的性质可得，，从而可得，进而可得，然后根据等腰三角形的性质，以及平行线的性质可得平分，即可解答．
本题考查了勾股定理，切线的性质，圆周角定理，平行四边形的性质，熟练掌握切线的性质，以及平行四边形的性质是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：参加问卷调查的学生人数是人，
扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为，
故答案为：，；
最喜欢课程人数所占百分比为，
最喜欢课程的人数所占百分比为，
估计全体名学生中最喜欢课程的人数约为：人，
答：估计该校全体学生中最喜欢课程的学生有人；
列表如下：

共有种等可能的结果数，其中恰好甲和丁同学被选到的结果数为，
恰好甲和丁同学被选到的概率为．
由最喜欢课程人数及其所占百分比可得总人数；
用乘以最喜欢课程人数所占比例即可得出其对应圆心角度数；
求出最喜欢课程人数所占百分比后，再乘以总人数即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法列举出所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率，也考查了统计图．
 

21.【答案】解：将代入得，
解得，
．
将代入得，
时，取最小值，
，
时，随增大而减小，
，
．
，
抛物线顶点坐标为，
抛物线随值的变化而左右平移，
将代入得，
解得或，
将代入得，
解得或，
时，抛物线对称轴在点左侧，抛物线与线段有交点，
时，抛物线对称轴在点右侧，抛物线与线段有交点．
或． 

【解析】将代入解析式求解．
将代入解析式求出点纵坐标，通过配方可得取最小值时的值，再将二次函数解析式化为顶点式求解．
分别将点，坐标代入解析式求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

22.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
∽；
证明：如图，过点作交的延长线于，
，
，
，
，
由可知，∽，
，
在和中，
，
≌，
，
；
解：在中，，，，
则，，
设，则，
在中，，
则，
，，
∽，
，即，
解得：，舍去，
，，
，
． 

【解析】根据同角的余角相等得到，证明∽；
过点作交的延长线于，根据平行线分线段成比例定理得到，证明≌，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论；
证明∽，根据相似三角形的性质求出，根据平行线分线段成比例列出比例式，计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判断定理是解题的关键．