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易错点04 三角形（8大典型易错详析）-备战2023年中考数学考试易错题【全国通用】
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这是一份易错点04 三角形（8大典型易错详析）-备战2023年中考数学考试易错题【全国通用】，文件包含易错点04三角形-备战2023年中考数学考试易错题全国通用解析版docx、易错点04三角形-备战2023年中考数学考试易错题全国通用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共87页， 欢迎下载使用。
备战2023年中考数学考试易错题
易错点04三角形
易错题01三角形的有关概念
易错题02与三角形有关的角
易错题03全等三角形
易错题04等腰三角形
易错题05角平分线与线段垂直平分线
易错题06勾股定理
易错题07解直角三角形
易错题08相似三角形
01 三角形的有关概念
1. 三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
2. 三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
3. 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
1．（2022•十堰）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．三角形两边之和大于第三边
【分析】根据两点确定一条直线判断即可．
【解答】解：这样做应用的数学知识是两点确定一条直线，
故选：B．
2．（2022•河北）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
【分析】利用凸五边形的特征，根据两点之间线段最短求得d的取值范围，利用此范围即可得出结论．
【解答】解：∵平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形，
∴1+d+1+1＞5且1+5+1+1＞d，
∴d的取值范围为：2＜d＜8，
∴则d可能是7．
故选：C．
3．（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（ ）
A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm
【分析】过点A作AD⊥BC于D，用刻度尺测量AD即可．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，
用刻度尺测量AD的长度，更接近2cm，
故选：D．
二．填空题（共2小题）
4．（2022秋•安顺期末）已知n为整数，若一个三角形的三边长分别是4n+31，n﹣13，6n，则所有满足条件的n值的和为 48 ．
【分析】分两种情况讨论：①若n﹣13＜6n≤4n+31，②若n﹣13＜4n+31≤6n，分别依据三角形三边关系进行求解即可．
【解答】解：①若n﹣13＜6n≤4n+31，则，
解得，即＜n≤，
∴正整数n有1个：15；
②若n﹣13＜4n+31≤6n，则，
解得，即≤n＜18，
∴正整数n有2个：16和17；
综上所述，满足条件的n的值有3个，它们的和＝15+16+17＝48；
故答案为：48．
5．（2022•苏州模拟）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 1 cm2．
【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．
【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），
同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），
∴S△BCE＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．
故答案为1．
02 与三角形有关的角
1.三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
2.三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
3.三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
4.三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
1．（2022秋•滨城区校级期末）△ABC中，给出下列条件：
①∠A＝∠B﹣∠C，
②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
③∠A＝2∠B＝3∠C，
④点D是边AB的中点，且CD＝AB．
其中能判定△ABC是直角三角形的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】根据三角形内角和定理求出最大的内角，即可判断①②③，然后根据点D是边AB的中点，且CD＝AB．求出∠A+∠B＝90°，即可判断④，进而可以解决问题．
【解答】解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝180°×＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝（）°，
所以△ABC不是直角三角形；
④∵点D是边AB的中点，且CD＝AB，
∴AD＝CD＝BD，
∴∠A＝∠DCA，∠B＝∠DCB，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴2∠A+2∠B＝180°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
综上所述：能判断△ABC是直角三角形的有3个．
故选：C．
2．（2022秋•青岛期末）如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为（ ）
A．30° B．40° C．60° D．80°
【分析】根据两直线平行，内错角相等以及三角形外角和定理即可解答．
【解答】解：反向延长DE交BC于M，如图：
∵AB∥DE，
∴∠BMD＝∠ABC＝80°，
∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝100°；
又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，
∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝140°﹣100°＝40°．
故选：B．
3．（2022秋•碑林区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，BH是∠ABC的平分线，BD和CD是△ABC两个外角的平分线，D、C、H三点在一条直线上，下列结论中：①DB⊥BH；②；③DH∥AB；④；⑤∠CBD＝∠D，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
【分析】①根据BH、BD是∠ABC与∠CBE的平分线，可得∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD，再由邻补角的性质，可得①正确；②根据BD和CD是△ABC两个外角的平分线，可得，可得②正确；③根据∠A＝∠ABC，可得∠BCF＝∠A+∠ABC＝2∠ABC，可得∠BCD＝∠ABC，可得③正确；④根据，可得④正确；⑤根据∠ABC+∠CBE＝180°，BD平分∠CBE，可得，再由∠A＝∠ABC，可得，可得⑤正确，即可求解．
【解答】解：①∵BH、BD是∠ABC与∠CBE的平分线，
∴∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD，
∵∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠CBH+∠CBD＝90°，即∠DBH＝90°，
∴DB⊥BH，故①正确；
②∵BD和CD是△ABC两个外角的平分线，
∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣
＝
＝
＝
＝，故②正确；
③∵∠A＝∠ABC，
∴∠BCF＝∠A+∠ABC＝2∠ABC，
∵CD是∠BCF的平分线，
∴，
∴DH∥AB，故③正确；
④∵，
∴，故④正确；
⑤∵∠ABC+∠CBE＝180°，BD平分∠CBE，
∴，
∵∠A＝∠ABC，
∴，
∵，
∴∠CBD＝∠D，故⑤正确．
综上所述，正确的有①②③④⑤．
故选：D．
4．（2022秋•泰兴市期末）已知，如图，△ABC中，∠ABC＝48°，∠ACB＝84°，点D、E分别在BA、BC延长线上，BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，连接AP，则∠PAC的度数为（ ）
A．45° B．48° C．60° D．66°
【分析】根据角平分线的性质定理证得PF＝PH，PF＝PG，进而得出PH＝PG，从而判定PA平分∠CAD，再利用外角的性质求出∠CAD即可．
【解答】解：作PF⊥BE于点F，PH⊥BD于点H，PG⊥AC于点G，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，
∴PF＝PH，PF＝PG，
∴PH＝PG，
∵PH⊥BD，PG⊥AC，
∴AP平分∠CAD，
∵∠ABC＝48°，∠ACB＝84°，
∴∠CAD＝∠ABC+∠ACB＝48°+84°＝132°，
∴∠PAC＝∠CAD＝66°．
故选：D．
5．（2022秋•莲池区校级期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
故选：B．
二．填空题（共1小题）
6．（2021•河北）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 减少 （填“增加”或“减少”） 10 度．
【分析】延长EF，交CD于点 G，依据三角形的内角和定理可求∠ACB，根据对顶角相等可得∠DCE，再由三角形内角和定理的推论得到∠DGF的度数；利用∠EFD＝110°，和三角形的外角的性质可得∠D的度数，从而得出结论．
【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图：
∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠ECD＝∠ACB＝70°．
∵∠DGF＝∠DCE+∠E，
∴∠DGF＝70°+30°＝100°．
∵∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF+∠D，
∴∠D＝10°．
而图中∠D＝20°，
∴∠D应减少10°．
故答案为：减少，10．
03全等三角形
1.全等三角形的判定:
（1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
2.全等三角形的性质
性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
1．（2022•云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（ ）
A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE
【分析】由OB平分∠AOC，得∠DOE＝∠FOE，由OE＝OE，可知∠ODE＝∠OFE，即可根据AAS得△DOE≌△FOE，可得答案．
【解答】解：∵OB平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠FOE，
又OE＝OE，
若∠ODE＝∠OFE，则根据AAS可得△DOE≌△FOE，故选项D符合题意，
而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故选项A不符合题意，
增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故选项B不符合题意，
增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故选项C不符合题意，
故选：D．
2．（2022•成都）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D
【分析】先根据平行线的性质得到∠A＝∠D，加上AC＝DF，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵AC∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AC＝DF，
∴当添加∠C＝∠F时，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF；
当添加∠ABC＝∠DEF时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；
当添加AB＝DE时，即AE＝BD，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF．
故选：B．
3．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（ ）
A．24 B．22 C．20 D．18
【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解．
【解答】解：∵CG∥AB，
∴∠B＝∠MCG，
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，
，
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，
∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，
∴GH∥AC，
∴四边形ACGH为矩形，
∴GH＝8，
∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，
故选：B．
4．（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）
A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC
【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】解：A．利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
B．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
C．AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；
D．根据∠A，∠B，BC，三角形形状确定，故此选项不合题意；
故选：C．
5．（2022•淮安）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．求证：∠B＝∠E．
【分析】利用全等三角形的判定和性质定理解答即可．
【解答】证明：∵AD＝CF，
∴AD+CD＝CF+CD，
∴AC＝DF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠B＝∠E．
6．（2022•资阳）如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．
（1）求证：△ABC≌△ECD；
（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．
【分析】（1）由CD∥AB得∠ABC＝∠ECD，而CD＝CB，CE＝AB，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△ECD；
（2））由∠A＝90°，根据全等三角形的对应角相等证明∠BED＝∠CED＝∠A＝90°，设BE＝x，由BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，列方程（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，解方程求得符合题意的x的值为2，则BC＝5，再根据勾股定理求出DE的长，即可求出△BCD的面积．
【解答】（1）证明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，
∴∠ABC＝∠ECD，
在△ABC和△ECD中，
，
∴△ABC≌△ECD（SAS）．
（2）解：∵∠A＝90°，
∴∠CED＝∠A＝90°，
∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，
设BE＝x，
∵EC＝AB＝3，BD＝2，
∴CD＝BC＝3+x，
∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，
∴（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，
整理得x2+3x﹣10＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），
∴BE＝2，BC＝3+2＝5，
∴DE＝＝＝4，
∴S△BCD＝BC•DE＝×5×4＝10，
∴△BCD的面积为10．
7．（2022•牡丹江）如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如图①，易证：BC+BE＝BF．请解答下列问题：
（1）如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；
（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；
（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60°，S△ABC＝12，则BC＝ 8 ，BF＝ 14或18 ．
【分析】（1）根据图形分别得出答案；
（2）利用AAS证明△ABC≌△DFE，得BC＝EF，再根据图形可得结论；
（3）首先利用含30°角的直角三角形的性质求出BH和AH的长，从而得出BC，再对点E的位置进行分类即可．
【解答】解：（1）图②：BC+BE＝BF，
图③：BE﹣BC＝BF；
（2）图②：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，
∴△ABC≌△DFE（ASA），
∴BC＝EF，
∵BE＝BC+CE，
∴BC+BE＝EF+BC+CE＝BF；
图③：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，
∴△ABC≌△DFE（ASA），
∴BC＝EF，
∵BE＝BF+EF，
∴BE﹣BC＝BF+EF﹣BC＝BF+BC﹣BC＝BF；
（3）当点E在BC上时，如图，作AH⊥BC于H，
∵∠B＝∠F＝60°，
∴∠BAH＝30°，
∴BH＝3，
∴AH＝3，
∵S△ABC＝12，
∴＝12，
∴BC＝8，
∵CE＝2，
∴BF＝BE+EF＝8﹣2+8＝14；
同理，当点E在BC延长线上时，如图②，BF＝BC+BE＝8+10＝18，
故答案为：8，14或18．
04 等腰三角形
1.等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
2.等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
3.等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
4.等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
1．（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（ ）
A．23° B．25° C．27° D．30°
【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠E，再根据三角形外角性质计算∠E的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠BAE＝50°，
∵CF＝EF，
∴∠C＝∠E，
∵∠DFE＝∠C+∠E，
∴∠C＝∠DFE＝×50°＝25°，
故选：B．
2．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（ ）
A．39° B．40° C．49° D．51°
【分析】利用等边对等角求得∠B＝∠ACB＝78°，然后利用三角形外角的性质求得答案即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，
∴∠B＝∠ACB＝78°．
∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，
∴∠D＝∠CAD＝∠ACB＝39°．
故选：A．
3．（2021•辽宁）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（ ）
A．+1 B．+3 C．+1 D．4
【分析】由题意得BE是∠ABC的平分线，再由等腰三角形的性质得BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，由勾股定理得BC＝，然后由直角三角形斜边上的中线性质得EF＝BC＝BF＝CF，求解即可．
【解答】解：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，
∵AB＝BC，
∴BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，
∴∠BEC＝90°，
∴BC＝＝＝，
∵点F为BC的中点，
∴EF＝BC＝BF＝CF，
∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE＝+1，
故选：C．
4．（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为 ．
【分析】根据SAS证△ABD≌△BCE，得出∠APB＝120°，在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，证△APB∽△BFE，根据比例关系设BP＝x，则AP＝2x，作BH⊥AD延长线于H，利用勾股定理列方程求解即可得出BP和AP的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，
∴∠APB＝120°，
在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，
∴∠C＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠BFE＝120°，
即∠APB＝∠BFE，
∴△APB∽△BFE，
∴＝＝2，
设BP＝x，则AP＝2x，
作BH⊥AD延长线于H，
∵∠BPD＝∠APE＝60°，
∴∠PBH＝30°，
∴PH＝，BH＝，
∴AH＝AP+PH＝2x+＝x，
在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，
即（x）2+（x）2＝62，
解得x＝或﹣（舍去），
∴AP＝，BP＝，
∴△ABP的周长为AB+AP+BP＝6++＝6+＝，
故答案为：．
5．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 6 ．
【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．
【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，
∴AB＝2BC或BC＝2AB，
若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，
∴腰AB的长为6；
若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，
∵1.5+1.5＝3，
∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；
综上所述，腰AB的长是6，
故答案为：6．
6．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；
（2）利用平行线的性质可得∠ADE＝∠AED，则AD＝AE，从而有CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，可知BE＝DE，等量代换即可．
【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB．
（2）解：CD＝ED，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴CD＝BE，
由（1）得，∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴CD＝ED．
7．（2021•绍兴）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE．
（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；
（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣80°）＝50°，根据三角形的内角定理得到∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，推出△BCE是等边三角形，得到∠EBC＝60°，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠CBE＝∠BEC＝α，再根据△BDC的内角和等于180°，求得β，得出α+β的值，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝80°，BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣80°）＝50°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵CE＝BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝80°﹣60°＝20°；
（2）∠BEC与∠BDC之间的关系：∠BEC+∠BDC＝110°，
理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β，
在△ABE中，α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE，
∵CE＝BC，
∴∠CBE＝∠BEC＝α，
∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE，
在△BDC中，BD＝BC，
∴∠BDC+∠BCD+∠DBC＝2β+40°+2∠ABE＝180°，
∴β＝70°﹣∠ABE，
∴α+β＝40°+∠ABE+70°﹣∠ABE＝110°，
∴∠BEC+∠BDC＝110°．
8．（2022秋•德州期末）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？
【分析】（1）由平行线的性质得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可；
（2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，
∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，
又∠B＝60°，
∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP＝BQ，
由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，
∴9﹣t＝6，
解得：t＝3，
∴当t的值为3时，PQ∥AC；
（2）如图2，①当点Q在边BC上时，
此时△APQ不可能为等边三角形；
②当点Q在边AC上时，
若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，
由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，
∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，
即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，
∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．
05 角平分线与线段垂直平分线
1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角
2.线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
1．（2021•青海）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
【分析】过D点作DE⊥BC于E，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DA＝3，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA＝3，
∴△BCD的面积＝×5×3＝7.5．
故选：B．
2．（2022秋•新华区校级期末）如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周长为18，ID＝4，则△ABC的面积为（ ）
A．18 B．30 C．36 D．72
【分析】过I点作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，如图，利用角平分线的性质得到IE＝IF＝ID＝4，然后根据三角形面积公式得到S△ABC＝S△ABI+S△IBC+S△IAC＝2（AB+BC+AC）．
【解答】解：过I点作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，如图，
∵AI，BI，CI分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，
∴IE＝IF＝ID＝4，
∴S△ABC＝S△ABI+S△IBC+S△IAC
＝×AB×4+×BC×4+×AC×4
＝2（AB+BC+AC）
＝2×18
＝36．
故选：C．
3．（2022秋•扶沟县校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，BC＝3，连接AC，AC⊥CD，垂足为C，并且∠ACB＝∠D，点E是AD边上一动点，则CE的最小值是（ ）
A．1.5 B．3 C．3.5 D．4
【分析】由三角形的内角和定理和角的和差求出∠BAC＝∠DAC，角平分线的性质定理得BC＝CH，垂线段定义证明CH最短，求出CE长的最小值为3．
【解答】解：过点C作CH⊥AD交AD于点H，如图所示：
∵AC⊥DC，
∴∠ACD＝90°，
又∵∠D+∠ACD+∠CAD＝180°，∠ACB+∠B+∠BAC＝180°，
∠ACB＝∠D，∠ACD＝∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴AC是∠BAD的角平分线，
又∵BC⊥BA，CH⊥AD，
∴BC＝CH，
又∵BC＝3，
∴CH＝3，
又∴点C是直线AD外一点，
∴当点E在AD上运动时，点E运动到与点H重合时CE最短，其长度为CH长等于3，
即CE长的最小值为3．
故选：B．
4．（2022秋•东昌府区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过C点作CG⊥AB于点G，交AD于点E，过D点作DF⊥AB于点F．下列结论中正确的个数是（ ）
①∠CED＝∠CDE；②S△AEC：S△AEG＝AC：AG；③∠ADF＝2∠FDB；④CE＝DF．
A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④
【分析】根据直角三角形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，可证明∠CED＝∠CDE；根据角平分线的性质，过点E作EH⊥AC于H，可计算出，，并证明S△AEC：S△AEG＝AC：AG；根据题目给定的条件，无法证明∠ADF＝2∠FDB；根据结论①，角平分线的性质可证CE＝DF，由此即可求解．
【解答】解：结论①，
∵∠ACB＝90°，CG⊥AB，AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠DAG，∠CAD+∠CDA＝∠DAG+∠AEG＝90°，
∴∠AEG＝∠CDA，
∵∠AEG＝∠CED，
∴∠CED＝∠CDE，故结论①正确；
结论②，如图所示，过点E作EH⊥AC于H，
∵AD平方∠BAC，CG⊥AB，
∴EG＝EH，
∴，，
∴，故结论②正确；
结论③，
∵∠ACB＝90°，DF⊥AB，AD平方∠BAC，
∴∠DCA＝∠DFA＝90°，∠CAD＝∠DAF，DC＝DF，
∴△ACD≌△AFD（AAS），
∴∠CDA＝∠FDA，
∵CG⊥AB，DF⊥AB，
∴CG∥DF，
∴∠FDB＝∠GCD，且由结论①正确得，∠CED＝∠CDE＝∠ADF，
在△CDE中，∠ECD+2∠EDC＝180°，即∠FDB+2∠ADF＝180°，
∴∠FDB＝180°﹣2∠ADF，
∴条件不足，无法证明∠ADF＝2∠FDB，故结论③错误；
结论④，
由结论①正确得，∠CED＝∠CDE＝∠ADF，即CE＝CD，由角平分线的性质，∠BCA＝∠DFB＝90°，可证CD＝DF，
∴CE＝DF，故结论④正确．
综上所述，正确的有①②④．
故选：D．
5．（2022秋•拱墅区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＞∠B，CD是斜边上的高线，CE是△ABC的角平分线，FG是边AB的垂直平分线，FG分别交BC边，AB边于点F，点G．若∠DCE＝∠B，则为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】连接AF，如图，先证明∠ACD＝∠DCE＝∠B，再利用CE是△ABC的角平分线得到2∠B＝45°，接着根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FB，则∠CFA＝2∠B＝45°，于是可判断△CAF为等腰直角三角形，所以AF＝CF＝BF．
【解答】解：连接AF，如图，
∵∠ACB＝90°，CD是斜边上的高线，
∴∠CAB+∠B＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠DCE＝∠B，
∴∠ACD＝∠DCE＝∠B，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝45°，即2∠B＝45°，
∵FG是边AB的垂直平分线，
∴FA＝FB，
∴∠FAB＝∠B，
∴∠CFA＝∠FAB+∠B＝2∠B＝45°，
∴△CAF为等腰直角三角形，
∴AF＝CF，
∴BF＝CF，
即＝．
故选：C．
6．（2022秋•福州月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝55°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】求出∠C，∠AB′D，利用三角形的外角的性质求解即可．
【解答】解：∵∠B＝55°，∠ABC＝90°，
∴∠C＝90°﹣55°＝35°，
∵AD⊥BC，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，
∴∠AB′D＝∠B＝55°，
∵∠AB′D＝∠C+∠CAB′，
∴∠CAB′＝55°﹣35°＝20°，
故选：B．
7．（2021秋•东平县期末）如图，AB＝AC，点B关于AD的对称点E恰好落在CD上，∠BAC＝124°，AF为△ACE中CE边上的中线，则∠ADB的度数为（ ）
A．24° B．28° C．30° D．38°
【分析】证明AC＝AE，利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠AFD＝90°，求出∠DAF，即可解决问题．
【解答】解：如图，∵△AED与△ABD关于AD对称，
∴AB＝AE，∠ADB＝∠ADE，∠BAD＝∠DAE，
∵AC＝AB，
∴AC＝AE，
∵AF是△ACE的中线，
∴∠CAF＝∠EAF，AF⊥CE，
∴∠DAF＝∠BAC＝62°，
∵∠AFD＝90°，
∴∠ADF＝90°﹣62°＝28°，
∴∠ADB＝∠ADF＝28°，
故选：B．
8．（2022春•高州市期中）如图，从△ABC内一点O出发，把△ABC剪成三个三角形（如图1），边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上（如图2），直线MN∥AC，则点O是△ABC的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点
C．三条中线的交点 D．三边中垂线的交点
【分析】利用平行线间的距离处处相等，可知点O到BC、AC、AB的距离相等，然后可作出判断．
【解答】解：如图1，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F．
∵MN∥AB，
∴OD＝OE＝OF（夹在平行线间的距离处处相等）．
如图2：过点O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'．
由题意可知：OD＝OD'，OE＝OE'，OF＝OF'，
∴OD'＝OE'＝OF'，
∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点，
故选：A．
06 勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么
变式：
1）a²=c²- b²
2）b²=c²- a²
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
1．（2022秋•丰城市校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
【分析】由勾股定理得AB＝5，再由三角形面积公式得S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，即可得出结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，
∴CD＝＝＝2.4，
故选：A．
2．（2022秋•天山区校级期末）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若△ABC的周长为30，OM＝4．则△ABC的面积为（ ）
A．30 B．15 C．60 D．120
【分析】过点O，作OE⊥AB，OF⊥BC，垂足分别为点E、F，根据角平分线的性质得出OE＝OF＝OM＝4，然后根据S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC求值即可．
【解答】解：过点O，作OE⊥AB，OF⊥BC，垂足分别为点E、F，
∵AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，OM⊥AC，OM＝4，
∴OE＝OM＝4，OE＝OF，
∴OE＝OF＝OM＝4，
∵△ABC的周长为30，
∴AB+AC+BC＝30，
∴S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC
＝OE•AB+OM•AC+OF•BC
＝×4AB+×4AC+×4BC
＝2AB+2AC+2BC
＝2（AB+AC+BC）
＝2×30
＝60．
故选：C．
3．（2022秋•长安区校级期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（ ）
A．2m B．2.5m C．2.6m D．2.7m
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理计算出AB的长，再在Rt△A′BD中由勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝2.5（m），
∴A′B＝AB＝2.5米，
在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD＝＝＝2（m），
∴CD＝BC+BD＝2+0.7＝2.7（m），
即小巷的宽为2.7米，
故选：D．
4．（2022秋•平顶山期末）如图，Rt△ABO中，∠A＝90°，AO＝2，AB＝1．以BC＝1，OB为直角边，构造Rt△OBC；再以CD＝1，OC为直角边，构造Rt△OCD；…，按照这个规律，在Rt△OHI中，点H到OI的距离是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理得OB＝＝＝，OC＝＝＝，OD＝，按照这个规律，根据勾股定理得OI＝＝2，作HM⊥OI于点M，根据三角形的面积公式即可求出答案．
【解答】解：在Rt△ABO中，∠A＝90°，AO＝2，AB＝1，
根据勾股定理得OB＝＝＝，
在Rt△OBC，根据勾股定理得OC＝＝＝，
在Rt△OCD，根据勾股定理得OD＝，
按照这个规律，在Rt△OHI中，根据勾股定理得OI＝＝2，
如图，作HM⊥OI于点M，
∴OI•HM＝OH•HI，
∴×2×HM＝××1，
∴HM＝，
∴点H到OI的距离是．
故选：B．
5．（2022秋•辉县市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边向外做正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝4，S2＝7，则S△ACP：S△BCP等于（ ）
A．2： B．4：3 C．： D．7：4
【分析】过点P作PM⊥CB，交CB的延长线于点M，作PN⊥CA，交CA的延长线于点N．根据CP平分∠ACB，即可得出PM＝PN．再根据正方形ACDE和正方形BCFG的面积之比为4：3，即可得到AC：BC＝2：，进而利用三角形面积公式得到S△ACP：S△BCP的值．
【解答】解：如图所示，过点P作PM⊥CB，交CB的延长线于点M，作PN⊥CA，交CA的延长线于点N，
由题可得，∠BCG＝45°，CP⊥CG，
∴∠BCP＝45°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP＝45°，即CP平分∠ACB，
又∵PM⊥BC，PN⊥AC，
∴PM＝PN，
∵正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，且S1＝4，S2＝7，
∴正方形BCFG的面积＝7﹣4＝3，
∴正方形ACDE和正方形BCFG的面积之比为4：3，
∴AC：BC＝2：，
∴＝＝＝，
即S△ACP：S△BCP等于2：．
故选：A．
6．（2022秋•宁德期末）意大利著名画家达•芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是（ ）
A．S1＝a2+b2+2ab B．S1＝a2+b2+ab
C．S2＝c2 D．S2＝c2+ab
【分析】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题．
【解答】解：观察图象可知：S1＝S2＝a2+b2+ab＝c2+ab，
故选：B．
7．（2022春•舒城县校级月考）如图，小明有一个圆柱形饮水杯．底面半径是6cm，高是16cm，上底面贴着杯壁有一个小圆孔，则一条长24cm的直吸管露在杯外部分a的长度（杯壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．8≤a≤10 B．4≤a≤8 C．4≤a≤2 D．4≤a≤10
【分析】先画出图形，即△ABC，∠ABC＝90°，则AB＝2×6＝12cm，BC＝16cm，根据勾股定理求得AC＝20cm，当直吸管按AC位置放置时，露在杯外部分a最短，当直吸管按BC位置放置时，露在杯外部分a最长，于是有16≤24﹣a≤20，解不等式求出不等式的解集即可．
【解答】解：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝16cm，
∵圆柱形饮水杯的底面半径是6cm，
∴AB＝2×6＝12（cm），
∴AC＝＝＝20（cm），
∵16≤24﹣a≤20，
∴4≤a≤8，
∴直吸管露在杯外部分a的长度范围是4≤a≤8，
故选：B．
8．（2022秋•萧县期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21．大正方形的面积为13．则小正方形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5
【分析】观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，可以得出4个直角三角形的面积，进而求出答案．
【解答】解：如图所示：
∵（a+b）2＝21，
∴a2+2ab+b2＝21，
∵大正方形的面积为13，
∴a2+b2＝13，
∴2ab＝21﹣13＝8，
∴小正方形的面积为13﹣8＝5．
故选：C．
07 解直角三角形
1. 锐角三角函数
2. 特殊角的三角函数值
1．（2022秋•沈丘县期末）如图是简化后的冬奥会跳台滑雪的雪道示意图，AB段为助滑道，BC段为着陆坡，着陆坡的坡角为α，A点与B点的高度差为120米，A点与C点的高度差为h米，则着陆坡BC的长度为（ ）
A．（h﹣120）sinα米 B．（120﹣h） cosα米
C．米 D．米
【分析】过点A作AG⊥CD，交DC的延长线于点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，过点B作BF⊥AG，垂足为F，可得四边形BFGE矩形，从而得FG＝BE，然后在Rt△BEC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作AG⊥CD，交DC的延长线于点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，过点B作BF⊥AG，垂足为F，
则四边形BFGE矩形，
∴FG＝BE，
∵AG＝120米，AF＝h米，
∴FG＝BE＝（h﹣120）米，
在Rt△BEC中，BC＝＝米，
故选：D．
2．（2022秋•海淀区校级期末）已知在△ABC中，∠A＝60°，AB＝1+，AC＝2，则∠C＝（ ）
A．45° B．75° C．90° D．105°
【分析】过点C作CD⊥AB，先在Rt△ACD中求出∠ACD、CD、AD，再求出BD，最后在Rt△BCD中，利用等腰三角形的性质得结论．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
在Rt△ACD中，
∵∠A＝60°，
∴∠ACD＝30°．
∵sinA＝，cosA＝，
∴CD＝sin60°×2＝，
AD＝cos60°×2＝1．
∴BD＝AB﹣AD＝1+﹣1＝．
在Rt△BCD中，
∵CD＝BD，
∴∠BCD＝45°．
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝75°．
故选：B．
3．（2022秋•卧龙区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则BD的长为（ ）
A． B． C．3 D．
【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出AB＝5，过点D作DE⊥AB于点E，依据三角函数值可得，从而得，再由AE+BE＝5得AE＝2，DE＝1，由勾股定理得BD．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
过点D作DE⊥AB于点E，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵AE+BE＝5，
∴，
∴AE＝2，
∴DE＝1，BE＝3，
在Rt△BDE中，．
故选：B．
4．（2022秋•蒙城县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，延长AB到点D，使BD＝AB，连接CD．若，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】过点B作BE∥AC，交CD于E，就可以得出∠CBE＝90°，就有，得到BC＝3BE；由BE∥AC就可以得出△DBE∽△DAC就可以表示出AC，从而求出结论．
【解答】解：过点B作BE∥AC，交CD于E，如图所示，
∴∠ACB＝∠CBE＝90°，
∵，
∴Rt△BCE中，，
∴BC＝3BE．
∵BE∥AC，
∴△DBE∽△DAC，
∴，
∵BD＝AB，
∴，
∴AC＝2BE，
∴，
故选：A．
二．解答题（共4小题）
5．（2022秋•卧龙区校级期末）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1：3（点E、C、B在同一水平线上）．
（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．
【分析】（1）作DG⊥CE于G，解Rt△CDG，即可求出DG；
（2）过点D作DH⊥AB于点H，设AB＝xm米，用含x的代数式表示出AH、DH，根据列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）过点D作DG⊥BE于点G．
由题意知i＝1：3，
∴CG＝3DG．
又，，
即DG2+10DG2＝160，
∴DG＝4米．
答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为4米．
（2）过点D作DH⊥AB于点H，
∵DG＝4，CG＝3DG
∴CG＝3×4＝12（ m）．
设大树高为xm．
∵∠ACB＝45°，
∴CB＝AB＝xm，DH＝BG＝BC+CG＝（x+12）m，AH＝AB﹣DG＝（x﹣4）m．
又∠ADH＝30°，
∴，即，解得．
经检验，是原方程的根且符合题意．
答：大树AB的高度是．
6．（2022秋•徐汇区校级期末）某地一居民的窗户朝南．窗户的离地高度为0.8米，此地一年的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α，夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β．若你是一名设计师，请你为教学楼的窗户设计一个直角形遮阳蓬BCD，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．根据测量测得∠α＝30°，∠β＝60°，AB＝1.5米．若同时满足下面两个条件：
（1）当太阳光与地面的夹角是α时，太阳光刚好射入室内．
（2）当太阳光与地面的夹角是β时，太阳光刚好不射入室内．请你求出直角形遮阳蓬BCD中CD的长、CD离地面的高度．
【分析】在直角三角形△BCD和△ACD，利用相应的三角函数用BC分别表示出CD、AC长，而AC﹣BC＝AB，由此即可求得BC长，进而求得CD长．
【解答】解：设BC＝x米，
∵∠α＝30°，∠β＝60°，
∴∠CDB＝30°，∠CDA＝60°，
在Rt△BCD中，tan∠CDB＝＝tan30°＝＝，
∴CD＝x，
在Rt△ACD中，tan∠CDA＝tan60°＝＝＝，
∴CD＝，
∴＝x，
解得x＝，
∴CD＝（米），
CD离地面的高度0.8+1.5+＝3.05（米）．
答：直角形遮阳蓬BCD中CD的长为米，CD离地面的高度3.05米．
7．（2022秋•小店区校级期末）钢琴音色优美，刚柔并济，在人疲倦时听一些抒情的曲子能缓解疲劳、在人心情郁闷时听一些欢快的曲子可以调节自己的情绪，陶冶情操，修身养性．图1标识了某品牌三角钢琴的部分产品数据，图2为该钢琴正面简化示意图，已知钢琴大盖板AD闭合时与AB重合，此时大盖板为打开状态，支撑杆BC的长度为76cm，支撑杆与水平方向的夹角∠ABC＝60°，大盖板AD的长度为148cm，钢琴的高度为101cm．（参考数据：≈1.7，sin31°≈0.5，cos31°≈0.9，tan31°≈0.6）
（1）求∠BAC的度数．
（2）求此时大盖板上点D的高度（即点D到水平面EF的距离）．
【分析】（1）如图2中，过点C作CH⊥AB于点H．求出CH，AH，利用正切函数的定义求解即可；
（2）过点D作DT⊥AB于点T．解直角三角形求出DT，可得结论．
【解答】解：（1）如图2中，过点C作CH⊥AB于点H．
在Rt△BCH中，BC＝76cm，∠CBH＝60°，
∴BH＝BC•cos60°＝38cm，CH＝BH＝×38≈64.6（cm），
∵AD＝AB＝148cm，
∴AH＝AB﹣BH＝148﹣38＝110（cm），
∴tan∠BAC＝＝≈0.6，
∴∠BAC＝31°；
（2）过点D作DT⊥AB于点T．
∴DT＝AD•sin31°≈74（cm），
∵钢琴的高度为101cm，
∴此时大盖板上点D的高度175cm．
8．（2022秋•渝中区校级期末）如图，一艘渔船以每小时30海里的速度自东向西航行，在B处测得补给站C在北偏西30°方向，继续航行2小时后到达A处，测得补给站C在北偏东60°方向．
（1）求此时渔船与补给站C的距离；（结果保留根号）
（2）此时渔船发现在A点北偏西15°方向的D点处有大量鱼群，渔船联系了补给站，决定调整方向以原速前往作业，与此同时补给站C测得点D在北偏西75°方向，并立即派出补给船给渔船补给食物和淡水，若两船恰好在D处相遇，求补给船的速度．（精确到十分位，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）．
【分析】（1）根据题意可得：AB＝60海里，∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，从而利用三角形内角和定理可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，进行计算即可解答；
（2）过点A作AE⊥CD，垂足为E，根据垂直定义可得∠AEC＝∠AED＝90°，根据题意可得：∠DAC＝75°，FA∥CG，从而利用平行线的性质可得∠ACG＝∠FAC＝60°，进而可得∠ACD＝45°，然后再利用直角三角形的两个锐角互余求出∠EAC＝45°，从而求出∠DAE＝30°，再在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出AE，CE的长，最后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE，AD的长，从而求出CD的长，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
AB＝30×2＝60（海里），∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠CBA＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝90°，
在Rt△ACB中，AC＝AB•sinn60°＝60×＝30（海里），
∴此时渔船与补给站C的距离为30海里；
（2）如图：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
∴∠AEC＝∠AED＝90°，
由题意得：
∠DAC＝15°+60°＝75°，FA∥CG，
∴∠ACG＝∠FAC＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∴∠EAC＝90°﹣∠ACD＝45°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝30°，
在Rt△AEC中，AC＝30海里，
∴AE＝AC•sin45°＝30×＝15（海里），
CE＝AC•cos45°＝30×＝15（海里），
在Rt△ADE中，DE＝AE•tan30°＝15×＝15（海里），
∴AD＝2DE＝30（海里），
∴DC＝DE+CE＝（15+15）海里，
∴＝＝（小时），
∴补给船的速度＝＝＝15+15≈41.0（海里/时），
∴补给船的速度约为41.0海里/时．
08 相似三角形
1.相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
2.相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
1．（2022秋•桥西区校级期末）在如图所示的小正方形网格中，以点O为位似中心，△ABC的位似图形是（ ）
A．△MQH B．△MRH C．△MQP D．△MRP
【分析】根据位似三角形的定义作出图形即可得出答案．
【解答】解：
故选：C．
2．（2022秋•丛台区校级期末）如图，F是线段CD上除端点外的一点，将△ADF绕正方形ABCD的顶点A按顺时针方向旋转90°，得到△ABE，连接EF交AB于点H，则下列结论正确的是（ ）
A．∠EAF＝120° B．EB：AD＝EH：HF
C．AF2＝EH⋅EF D．
【分析】由已知可得△ABE≌△ADF，从而得到∠EAB＝∠DAF，AE＝AF；由∠EAF＝∠BAE+∠FAB＝90°＝∠DAF+∠FAB＝90°，可知A不正确；由∠EAF＝90°，AE＝AF，可知△AEF是等腰直角三角形，所以EF＝AE，则D不正确；若AF2＝EH•EF成立，可得EH＝EF，即H是EF的中点，而H不一定是EF的中点，故C不正确；由AB∥CD，由平行线分线段成比例可得EB：BC＝EH：HF，故B正确．
【解答】解：∵△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得到△ABE，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠EAB＝∠DAF，
∴∠EAF＝∠BAE+∠FAB＝90°＝∠DAF+∠FAB＝90°，
故A不正确；
∵∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF＝AE，
∴AE：EF＝1：，
故D不正确；
若AF2＝EH•EF成立，
∵AE：EF＝1：，
∴EH＝AF，
∴EH＝EF，
即H是EF的中点，H不一定是EF的中点，
故C不正确；
∵AB∥CD，
∴EB：BC＝EH：HF，
∵BC＝AD，
∴EB：AD＝EH：HF，
故B正确；
故选：B．
3．（2022秋•成华区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BDEF是平行四边形，．若△ADE的面积为1，则平行四边形BDEF的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用平行四边形的性质先说明△ADE∽△ABC、△CEF∽△CBA，再利用相似三角形的性质求出△ADE、△ABC、△CEF的面积，最后利用面积的和差关系得结论．
【解答】解：∵四边形BDEF是平行四边形，
∴DE∥BC，EF∥AB．
∴△ADE∽△ABC，△CEF∽△CBA．
∵，
∴＝．
∴＝．
∴＝（）2＝，＝（）2＝．
∵S△ADE＝1，
∴S△ABC＝9，S△CEF＝4．
∵S△ADE+S△CEF+S平行四边形BDEF＝S△ABC，
∴S平行四边形BDEF＝9﹣1﹣4＝4．
故选：B．
4．（2022秋•南宫市期末）有一块锐角三角形余料△ABC，边BC的长为20cm，BC边上的高为l6cm，现要把它分割成若干个邻边长分别为5cm和4cm的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小长方形的长为5cm的边在BC上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】设最上层的小长方形的一边与AB，AC交于点E，F，过点A作AD⊥BC 于点D，交EF于点G，利用相似三角形的判定与性质求得AG，则GD可求，利用GD的值可以判定最多能分多少层，再利用相似三角形的判定与性质求得每层的小长方形的数目，则结论可得．
【解答】解：设最上层的小长方形的一边与AB，AC交于点E，F，过点A作AD⊥BC 于点D，交EF于点G，如图，
则EF＝5cm，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴，
∴AG＝4cm．
∴GD＝AD﹣AG＝12cm，
∵分割成的小长方形邻边长分别为5cm和4cm，
∴最多能分3层，
由题意最上层能分割1个，
同理可得下一层能分割2个小长方形，最下面一层可分割3个小长方形，
∴分割成的小长方形零件最多有6个，
故选：B．
5．（2022秋•嘉定区校级期末）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且∠ANE＝∠DCE．
（1）如图，求证：AE是AM和AN的比例中项；
（2）当点N在线段AB的延长线上时，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长．
【分析】（1）利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用△EDC∽△CAD，得出比例式求得线段DE，AE，利用△AME∽△DEC求得线段AM，利用（1）的结论求得线段AN，则MN＝AN﹣AM．
【解答】（1）证明：∵EM⊥EC，
∴∠AEM+∠DEC＝90°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠DEC+∠ECD＝90°，
∴∠AEM＝∠DCE，
∵∠ANE＝∠DCE，
∴∠ANE＝∠AEM．
∵∠A＝∠A，
∴△ANE∽△AEM，
∴．
∴AE2＝AM•AN，
∴AE是AM和AN的比例中项；
（2）解：如图，
AC＝＝＝5．
∵AC与NE互相垂直，
∴∠AFE＝90°，
∴∠ANE+∠NAF＝90°．
∵∠NAF+∠CAD＝90°，
∴∠ANE＝∠DAC．
∵∠ANE＝∠DCE，
∴∠DAC＝∠DCE，
∵∠D＝∠D，
∴△EDC∽△CAD，
∴，
∴，
∴DE＝，
∴AE＝AD﹣DE＝．
∵EM⊥EC，
∴∠AEM+∠DEC＝90°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠MAE＝∠D＝90°，
∴∠DEC+∠ECD＝90°，
∴∠AEM＝∠DCE，
∴△AME∽△DEC，
∴，
∴，
∴AM＝．
由（1）知：AE2＝AM•AN，
∴AN＝，
∴MN＝AN﹣AM＝＝．
6．（2022秋•嘉定区校级期末）如图，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，∠BAC＝∠AED．
（1）求证：AB•AD＝BC•AE；
（2）在边AC取一点F，如果，，求证：∠AFE＝∠D．
【分析】（1）利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用（1）中的结论和已知条件得到，利用相似三角形的判定与性质得到∠AFE＝∠C，再利用（1）中的结论和相似三角形的性质解答即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠B．
∵∠BAC＝∠AED，
∴△ADE∽△BCA，
∴，
∴AB•AD＝BC•AE；
（2）∵，，
∴，
∵∠EAF＝∠BAC，
∴△AEF∽△ABC，
∴∠AFE＝∠C．
由（1）知：△ADE∽△BCA，
∴∠ADE＝∠C，
∴∠AFE＝∠D．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，动点M以1cm/s的速度从A点出发，沿AB向点B运动，同时动点N以2cm/s的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜3）．
（1）当t为何值时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在某一时刻t，使得以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据矩形的性质求出∠BAD＝90°，求出AM、AN，根据三角形的面积公式，利用S＝×18建立方程，解之即可；
（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6cm，∠BAD＝90°，
AM＝tcm，AN＝6﹣2t（cm），
∴S△AMN＝AN•AM＝×（6﹣2t）×t＝﹣（t﹣）2+（0≤t≤3），
依题意得：﹣（t﹣）2+＝×3×6，
t2﹣3t+2＝0，
t1＝2，t2＝1．
答：经过1秒或2秒时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的；
（2）设运动时间为t秒，
由题意得DN＝2t（cm），AN＝（6﹣2t）（cm），AM＝t（cm），
若△NMA∽△ACD，
则有AD：AN＝CD：AM，即6：（6﹣2t）＝3：t，
解得t＝1.5，
若△MNA∽△ACD
则有AD：AM＝CD：AN，即6：t＝3：（6﹣2t），
解得t＝2.4，
答：当运动时间为1.5秒或2.4秒时，以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似．
8．（2022秋•邹城市校级期末）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做“比例三角形”．
（1）如图1，在四边形ABCD中，AD＝AB，对角线DB平分∠ADC，∠DAC＝∠ABC．求证：△ACD是“比例三角形”；
（2）如图2，在（1）的条件下，当∠ABC＝90°时，求的值．
【分析】（1）先判断出∠ACB＝∠CAD，得出△ABC∽△DCA即可；由△ABC∽△DCA得出CA2＝BC•AD，再由∠ADB＝∠CBD＝∠ABD知AB＝AD，即可得出结论；
（2）过点A作AH⊥BD于点H，证△ADH∽△BDC，得AD•DC＝BH•DB，即AD•DC＝BD2，再由AD•DC＝AC2推出BD2＝AC2，据此可得答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵AB∥DC，
∴∠BAC＝∠ACD，
又∵∠ABC＝∠DAC，
∴△ABC∽△CAD，
∴＝，
∴即CA2＝AB⋅CD．
∵AB＝AD，
∴CA2＝AD⋅CD，
根据“比例三角形”的定义可知△AC是“比例三角形”．
（2）解：点A作AH⊥BD于点H，
由（1）得AB＝AD，
∴DH＝BD，
∵A∥DC，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DHA＝∠BCD．
又∵∠ADH＝∠BDC，
∴△ADH∽△BDC，
∴＝即AD⋅DC＝DH⋅DB，
∴AD•DC＝BD2，
又由（1）可知AD•DC＝AC2，
∴，BD2＝AC2，
∴＝．
9．（2022秋•源汇区校级期末）如图①，有一块三角形余料△ABC，它的边BC＝10，高AD＝6．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，AD交PN于点E，则加工成的正方形零件的边长为多少？
小颖解得此题的答案为，小颖善于反思，她又提出了如下的问题：
（1）如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形由两个并排放置的正方形组成．如图②，此时，这个矩形零件的相邻两边长又分别是多少？
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图③，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值以及这个矩形面积达到最大值时矩形零件的相邻两边长又分别是多少？
【分析】（1）设PN＝2y，则PQ＝y，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可；
（2）设PN＝xmm，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．
【解答】解：（1）设矩形的边长PN＝2y，则PQ＝y，由条件可得△APN∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得y＝，
∴PN＝×2＝，
答：这个矩形零件的两条边长分别为，；
（2）设PN＝x（mm），矩形PQMN的面积为S（mm2），
由条件可得△APN∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得PQ＝6﹣x．
∴S＝PN•PQ＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣5）2+15，
∴S的最大值为15，此时PN＝5，PQ＝6﹣×5＝3．
10．（2022秋•夏邑县期末）（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点G，求证：DG＝EG．
（2）如图2，在 （1）的条件下，连接CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求的值．
【分析】（1）证明△AGD∽△AFB，△AFC∽△AGE，根据相似三角形的性质得到＝，进而证明结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质求出CE，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴△AGD∽△AFB，△AFC∽△AGE，
∴＝，＝，
∴＝，
∵BF＝CF，
∴DG＝EG；
（2）解：∵DG＝EG，CG⊥DE，
∴CE＝CD＝6，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝．
备战2023年中考数学考试易错题
易错点04三角形
易错题01三角形的有关概念
易错题02与三角形有关的角
易错题03全等三角形
易错题04等腰三角形
易错题05角平分线与线段垂直平分线
易错题06勾股定理
易错题07解直角三角形
易错题08相似三角形
01 三角形的有关概念
1. 三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
2. 三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
3. 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
1．（2022•十堰）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．三角形两边之和大于第三边
【分析】根据两点确定一条直线判断即可．
【解答】解：这样做应用的数学知识是两点确定一条直线，
故选：B．
2．（2022•河北）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
【分析】利用凸五边形的特征，根据两点之间线段最短求得d的取值范围，利用此范围即可得出结论．
【解答】解：∵平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形，
∴1+d+1+1＞5且1+5+1+1＞d，
∴d的取值范围为：2＜d＜8，
∴则d可能是7．
故选：C．
3．（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（ ）
A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm
【分析】过点A作AD⊥BC于D，用刻度尺测量AD即可．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，
用刻度尺测量AD的长度，更接近2cm，
故选：D．
二．填空题（共2小题）
4．（2022秋•安顺期末）已知n为整数，若一个三角形的三边长分别是4n+31，n﹣13，6n，则所有满足条件的n值的和为 48 ．
【分析】分两种情况讨论：①若n﹣13＜6n≤4n+31，②若n﹣13＜4n+31≤6n，分别依据三角形三边关系进行求解即可．
【解答】解：①若n﹣13＜6n≤4n+31，则，
解得，即＜n≤，
∴正整数n有1个：15；
②若n﹣13＜4n+31≤6n，则，
解得，即≤n＜18，
∴正整数n有2个：16和17；
综上所述，满足条件的n的值有3个，它们的和＝15+16+17＝48；
故答案为：48．
5．（2022•苏州模拟）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 1 cm2．
【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．
【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），
同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），
∴S△BCE＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．
故答案为1．
02 与三角形有关的角
1.三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
2.三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
3.三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
4.三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
1．（2022秋•滨城区校级期末）△ABC中，给出下列条件：
①∠A＝∠B﹣∠C，
②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
③∠A＝2∠B＝3∠C，
④点D是边AB的中点，且CD＝AB．
其中能判定△ABC是直角三角形的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】根据三角形内角和定理求出最大的内角，即可判断①②③，然后根据点D是边AB的中点，且CD＝AB．求出∠A+∠B＝90°，即可判断④，进而可以解决问题．
【解答】解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝180°×＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝（）°，
所以△ABC不是直角三角形；
④∵点D是边AB的中点，且CD＝AB，
∴AD＝CD＝BD，
∴∠A＝∠DCA，∠B＝∠DCB，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴2∠A+2∠B＝180°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
综上所述：能判断△ABC是直角三角形的有3个．
故选：C．
2．（2022秋•青岛期末）如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为（ ）
A．30° B．40° C．60° D．80°
【分析】根据两直线平行，内错角相等以及三角形外角和定理即可解答．
【解答】解：反向延长DE交BC于M，如图：
∵AB∥DE，
∴∠BMD＝∠ABC＝80°，
∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝100°；
又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，
∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝140°﹣100°＝40°．
故选：B．
3．（2022秋•碑林区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，BH是∠ABC的平分线，BD和CD是△ABC两个外角的平分线，D、C、H三点在一条直线上，下列结论中：①DB⊥BH；②；③DH∥AB；④；⑤∠CBD＝∠D，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
【分析】①根据BH、BD是∠ABC与∠CBE的平分线，可得∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD，再由邻补角的性质，可得①正确；②根据BD和CD是△ABC两个外角的平分线，可得，可得②正确；③根据∠A＝∠ABC，可得∠BCF＝∠A+∠ABC＝2∠ABC，可得∠BCD＝∠ABC，可得③正确；④根据，可得④正确；⑤根据∠ABC+∠CBE＝180°，BD平分∠CBE，可得，再由∠A＝∠ABC，可得，可得⑤正确，即可求解．
【解答】解：①∵BH、BD是∠ABC与∠CBE的平分线，
∴∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD，
∵∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠CBH+∠CBD＝90°，即∠DBH＝90°，
∴DB⊥BH，故①正确；
②∵BD和CD是△ABC两个外角的平分线，
∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣
＝
＝
＝
＝，故②正确；
③∵∠A＝∠ABC，
∴∠BCF＝∠A+∠ABC＝2∠ABC，
∵CD是∠BCF的平分线，
∴，
∴DH∥AB，故③正确；
④∵，
∴，故④正确；
⑤∵∠ABC+∠CBE＝180°，BD平分∠CBE，
∴，
∵∠A＝∠ABC，
∴，
∵，
∴∠CBD＝∠D，故⑤正确．
综上所述，正确的有①②③④⑤．
故选：D．
4．（2022秋•泰兴市期末）已知，如图，△ABC中，∠ABC＝48°，∠ACB＝84°，点D、E分别在BA、BC延长线上，BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，连接AP，则∠PAC的度数为（ ）
A．45° B．48° C．60° D．66°
【分析】根据角平分线的性质定理证得PF＝PH，PF＝PG，进而得出PH＝PG，从而判定PA平分∠CAD，再利用外角的性质求出∠CAD即可．
【解答】解：作PF⊥BE于点F，PH⊥BD于点H，PG⊥AC于点G，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，
∴PF＝PH，PF＝PG，
∴PH＝PG，
∵PH⊥BD，PG⊥AC，
∴AP平分∠CAD，
∵∠ABC＝48°，∠ACB＝84°，
∴∠CAD＝∠ABC+∠ACB＝48°+84°＝132°，
∴∠PAC＝∠CAD＝66°．
故选：D．
5．（2022秋•莲池区校级期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
故选：B．
二．填空题（共1小题）
6．（2021•河北）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 减少 （填“增加”或“减少”） 10 度．
【分析】延长EF，交CD于点 G，依据三角形的内角和定理可求∠ACB，根据对顶角相等可得∠DCE，再由三角形内角和定理的推论得到∠DGF的度数；利用∠EFD＝110°，和三角形的外角的性质可得∠D的度数，从而得出结论．
【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图：
∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠ECD＝∠ACB＝70°．
∵∠DGF＝∠DCE+∠E，
∴∠DGF＝70°+30°＝100°．
∵∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF+∠D，
∴∠D＝10°．
而图中∠D＝20°，
∴∠D应减少10°．
故答案为：减少，10．
03全等三角形
1.全等三角形的判定:
（1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
2.全等三角形的性质
性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
1．（2022•云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（ ）
A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE
【分析】由OB平分∠AOC，得∠DOE＝∠FOE，由OE＝OE，可知∠ODE＝∠OFE，即可根据AAS得△DOE≌△FOE，可得答案．
【解答】解：∵OB平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠FOE，
又OE＝OE，
若∠ODE＝∠OFE，则根据AAS可得△DOE≌△FOE，故选项D符合题意，
而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故选项A不符合题意，
增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故选项B不符合题意，
增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故选项C不符合题意，
故选：D．
2．（2022•成都）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D
【分析】先根据平行线的性质得到∠A＝∠D，加上AC＝DF，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵AC∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AC＝DF，
∴当添加∠C＝∠F时，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF；
当添加∠ABC＝∠DEF时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；
当添加AB＝DE时，即AE＝BD，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF．
故选：B．
3．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（ ）
A．24 B．22 C．20 D．18
【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解．
【解答】解：∵CG∥AB，
∴∠B＝∠MCG，
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，
，
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，
∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，
∴GH∥AC，
∴四边形ACGH为矩形，
∴GH＝8，
∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，
故选：B．
4．（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）
A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC
【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】解：A．利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
B．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
C．AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；
D．根据∠A，∠B，BC，三角形形状确定，故此选项不合题意；
故选：C．
5．（2022•淮安）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．求证：∠B＝∠E．
【分析】利用全等三角形的判定和性质定理解答即可．
【解答】证明：∵AD＝CF，
∴AD+CD＝CF+CD，
∴AC＝DF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠B＝∠E．
6．（2022•资阳）如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．
（1）求证：△ABC≌△ECD；
（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．
【分析】（1）由CD∥AB得∠ABC＝∠ECD，而CD＝CB，CE＝AB，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△ECD；
（2））由∠A＝90°，根据全等三角形的对应角相等证明∠BED＝∠CED＝∠A＝90°，设BE＝x，由BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，列方程（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，解方程求得符合题意的x的值为2，则BC＝5，再根据勾股定理求出DE的长，即可求出△BCD的面积．
【解答】（1）证明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，
∴∠ABC＝∠ECD，
在△ABC和△ECD中，
，
∴△ABC≌△ECD（SAS）．
（2）解：∵∠A＝90°，
∴∠CED＝∠A＝90°，
∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，
设BE＝x，
∵EC＝AB＝3，BD＝2，
∴CD＝BC＝3+x，
∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，
∴（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，
整理得x2+3x﹣10＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），
∴BE＝2，BC＝3+2＝5，
∴DE＝＝＝4，
∴S△BCD＝BC•DE＝×5×4＝10，
∴△BCD的面积为10．
7．（2022•牡丹江）如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如图①，易证：BC+BE＝BF．请解答下列问题：
（1）如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；
（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；
（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60°，S△ABC＝12，则BC＝ 8 ，BF＝ 14或18 ．
【分析】（1）根据图形分别得出答案；
（2）利用AAS证明△ABC≌△DFE，得BC＝EF，再根据图形可得结论；
（3）首先利用含30°角的直角三角形的性质求出BH和AH的长，从而得出BC，再对点E的位置进行分类即可．
【解答】解：（1）图②：BC+BE＝BF，
图③：BE﹣BC＝BF；
（2）图②：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，
∴△ABC≌△DFE（ASA），
∴BC＝EF，
∵BE＝BC+CE，
∴BC+BE＝EF+BC+CE＝BF；
图③：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，
∴△ABC≌△DFE（ASA），
∴BC＝EF，
∵BE＝BF+EF，
∴BE﹣BC＝BF+EF﹣BC＝BF+BC﹣BC＝BF；
（3）当点E在BC上时，如图，作AH⊥BC于H，
∵∠B＝∠F＝60°，
∴∠BAH＝30°，
∴BH＝3，
∴AH＝3，
∵S△ABC＝12，
∴＝12，
∴BC＝8，
∵CE＝2，
∴BF＝BE+EF＝8﹣2+8＝14；
同理，当点E在BC延长线上时，如图②，BF＝BC+BE＝8+10＝18，
故答案为：8，14或18．
04 等腰三角形
1.等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
2.等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
3.等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
4.等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
1．（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（ ）
A．23° B．25° C．27° D．30°
【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠E，再根据三角形外角性质计算∠E的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠BAE＝50°，
∵CF＝EF，
∴∠C＝∠E，
∵∠DFE＝∠C+∠E，
∴∠C＝∠DFE＝×50°＝25°，
故选：B．
2．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（ ）
A．39° B．40° C．49° D．51°
【分析】利用等边对等角求得∠B＝∠ACB＝78°，然后利用三角形外角的性质求得答案即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，
∴∠B＝∠ACB＝78°．
∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，
∴∠D＝∠CAD＝∠ACB＝39°．
故选：A．
3．（2021•辽宁）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（ ）
A．+1 B．+3 C．+1 D．4
【分析】由题意得BE是∠ABC的平分线，再由等腰三角形的性质得BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，由勾股定理得BC＝，然后由直角三角形斜边上的中线性质得EF＝BC＝BF＝CF，求解即可．
【解答】解：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，
∵AB＝BC，
∴BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，
∴∠BEC＝90°，
∴BC＝＝＝，
∵点F为BC的中点，
∴EF＝BC＝BF＝CF，
∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE＝+1，
故选：C．
4．（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为 ．
【分析】根据SAS证△ABD≌△BCE，得出∠APB＝120°，在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，证△APB∽△BFE，根据比例关系设BP＝x，则AP＝2x，作BH⊥AD延长线于H，利用勾股定理列方程求解即可得出BP和AP的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，
∴∠APB＝120°，
在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，
∴∠C＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠BFE＝120°，
即∠APB＝∠BFE，
∴△APB∽△BFE，
∴＝＝2，
设BP＝x，则AP＝2x，
作BH⊥AD延长线于H，
∵∠BPD＝∠APE＝60°，
∴∠PBH＝30°，
∴PH＝，BH＝，
∴AH＝AP+PH＝2x+＝x，
在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，
即（x）2+（x）2＝62，
解得x＝或﹣（舍去），
∴AP＝，BP＝，
∴△ABP的周长为AB+AP+BP＝6++＝6+＝，
故答案为：．
5．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 6 ．
【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．
【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，
∴AB＝2BC或BC＝2AB，
若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，
∴腰AB的长为6；
若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，
∵1.5+1.5＝3，
∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；
综上所述，腰AB的长是6，
故答案为：6．
6．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；
（2）利用平行线的性质可得∠ADE＝∠AED，则AD＝AE，从而有CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，可知BE＝DE，等量代换即可．
【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB．
（2）解：CD＝ED，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴CD＝BE，
由（1）得，∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴CD＝ED．
7．（2021•绍兴）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE．
（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；
（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣80°）＝50°，根据三角形的内角定理得到∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，推出△BCE是等边三角形，得到∠EBC＝60°，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠CBE＝∠BEC＝α，再根据△BDC的内角和等于180°，求得β，得出α+β的值，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝80°，BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣80°）＝50°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵CE＝BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝80°﹣60°＝20°；
（2）∠BEC与∠BDC之间的关系：∠BEC+∠BDC＝110°，
理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β，
在△ABE中，α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE，
∵CE＝BC，
∴∠CBE＝∠BEC＝α，
∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE，
在△BDC中，BD＝BC，
∴∠BDC+∠BCD+∠DBC＝2β+40°+2∠ABE＝180°，
∴β＝70°﹣∠ABE，
∴α+β＝40°+∠ABE+70°﹣∠ABE＝110°，
∴∠BEC+∠BDC＝110°．
8．（2022秋•德州期末）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？
【分析】（1）由平行线的性质得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可；
（2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，
∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，
又∠B＝60°，
∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP＝BQ，
由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，
∴9﹣t＝6，
解得：t＝3，
∴当t的值为3时，PQ∥AC；
（2）如图2，①当点Q在边BC上时，
此时△APQ不可能为等边三角形；
②当点Q在边AC上时，
若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，
由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，
∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，
即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，
∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．
05 角平分线与线段垂直平分线
1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角
2.线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
1．（2021•青海）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
【分析】过D点作DE⊥BC于E，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DA＝3，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA＝3，
∴△BCD的面积＝×5×3＝7.5．
故选：B．
2．（2022秋•新华区校级期末）如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周长为18，ID＝4，则△ABC的面积为（ ）
A．18 B．30 C．36 D．72
【分析】过I点作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，如图，利用角平分线的性质得到IE＝IF＝ID＝4，然后根据三角形面积公式得到S△ABC＝S△ABI+S△IBC+S△IAC＝2（AB+BC+AC）．
【解答】解：过I点作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，如图，
∵AI，BI，CI分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，
∴IE＝IF＝ID＝4，
∴S△ABC＝S△ABI+S△IBC+S△IAC
＝×AB×4+×BC×4+×AC×4
＝2（AB+BC+AC）
＝2×18
＝36．
故选：C．
3．（2022秋•扶沟县校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，BC＝3，连接AC，AC⊥CD，垂足为C，并且∠ACB＝∠D，点E是AD边上一动点，则CE的最小值是（ ）
A．1.5 B．3 C．3.5 D．4
【分析】由三角形的内角和定理和角的和差求出∠BAC＝∠DAC，角平分线的性质定理得BC＝CH，垂线段定义证明CH最短，求出CE长的最小值为3．
【解答】解：过点C作CH⊥AD交AD于点H，如图所示：
∵AC⊥DC，
∴∠ACD＝90°，
又∵∠D+∠ACD+∠CAD＝180°，∠ACB+∠B+∠BAC＝180°，
∠ACB＝∠D，∠ACD＝∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴AC是∠BAD的角平分线，
又∵BC⊥BA，CH⊥AD，
∴BC＝CH，
又∵BC＝3，
∴CH＝3，
又∴点C是直线AD外一点，
∴当点E在AD上运动时，点E运动到与点H重合时CE最短，其长度为CH长等于3，
即CE长的最小值为3．
故选：B．
4．（2022秋•东昌府区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过C点作CG⊥AB于点G，交AD于点E，过D点作DF⊥AB于点F．下列结论中正确的个数是（ ）
①∠CED＝∠CDE；②S△AEC：S△AEG＝AC：AG；③∠ADF＝2∠FDB；④CE＝DF．
A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④
【分析】根据直角三角形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，可证明∠CED＝∠CDE；根据角平分线的性质，过点E作EH⊥AC于H，可计算出，，并证明S△AEC：S△AEG＝AC：AG；根据题目给定的条件，无法证明∠ADF＝2∠FDB；根据结论①，角平分线的性质可证CE＝DF，由此即可求解．
【解答】解：结论①，
∵∠ACB＝90°，CG⊥AB，AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠DAG，∠CAD+∠CDA＝∠DAG+∠AEG＝90°，
∴∠AEG＝∠CDA，
∵∠AEG＝∠CED，
∴∠CED＝∠CDE，故结论①正确；
结论②，如图所示，过点E作EH⊥AC于H，
∵AD平方∠BAC，CG⊥AB，
∴EG＝EH，
∴，，
∴，故结论②正确；
结论③，
∵∠ACB＝90°，DF⊥AB，AD平方∠BAC，
∴∠DCA＝∠DFA＝90°，∠CAD＝∠DAF，DC＝DF，
∴△ACD≌△AFD（AAS），
∴∠CDA＝∠FDA，
∵CG⊥AB，DF⊥AB，
∴CG∥DF，
∴∠FDB＝∠GCD，且由结论①正确得，∠CED＝∠CDE＝∠ADF，
在△CDE中，∠ECD+2∠EDC＝180°，即∠FDB+2∠ADF＝180°，
∴∠FDB＝180°﹣2∠ADF，
∴条件不足，无法证明∠ADF＝2∠FDB，故结论③错误；
结论④，
由结论①正确得，∠CED＝∠CDE＝∠ADF，即CE＝CD，由角平分线的性质，∠BCA＝∠DFB＝90°，可证CD＝DF，
∴CE＝DF，故结论④正确．
综上所述，正确的有①②④．
故选：D．
5．（2022秋•拱墅区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＞∠B，CD是斜边上的高线，CE是△ABC的角平分线，FG是边AB的垂直平分线，FG分别交BC边，AB边于点F，点G．若∠DCE＝∠B，则为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】连接AF，如图，先证明∠ACD＝∠DCE＝∠B，再利用CE是△ABC的角平分线得到2∠B＝45°，接着根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FB，则∠CFA＝2∠B＝45°，于是可判断△CAF为等腰直角三角形，所以AF＝CF＝BF．
【解答】解：连接AF，如图，
∵∠ACB＝90°，CD是斜边上的高线，
∴∠CAB+∠B＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠DCE＝∠B，
∴∠ACD＝∠DCE＝∠B，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝45°，即2∠B＝45°，
∵FG是边AB的垂直平分线，
∴FA＝FB，
∴∠FAB＝∠B，
∴∠CFA＝∠FAB+∠B＝2∠B＝45°，
∴△CAF为等腰直角三角形，
∴AF＝CF，
∴BF＝CF，
即＝．
故选：C．
6．（2022秋•福州月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝55°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】求出∠C，∠AB′D，利用三角形的外角的性质求解即可．
【解答】解：∵∠B＝55°，∠ABC＝90°，
∴∠C＝90°﹣55°＝35°，
∵AD⊥BC，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，
∴∠AB′D＝∠B＝55°，
∵∠AB′D＝∠C+∠CAB′，
∴∠CAB′＝55°﹣35°＝20°，
故选：B．
7．（2021秋•东平县期末）如图，AB＝AC，点B关于AD的对称点E恰好落在CD上，∠BAC＝124°，AF为△ACE中CE边上的中线，则∠ADB的度数为（ ）
A．24° B．28° C．30° D．38°
【分析】证明AC＝AE，利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠AFD＝90°，求出∠DAF，即可解决问题．
【解答】解：如图，∵△AED与△ABD关于AD对称，
∴AB＝AE，∠ADB＝∠ADE，∠BAD＝∠DAE，
∵AC＝AB，
∴AC＝AE，
∵AF是△ACE的中线，
∴∠CAF＝∠EAF，AF⊥CE，
∴∠DAF＝∠BAC＝62°，
∵∠AFD＝90°，
∴∠ADF＝90°﹣62°＝28°，
∴∠ADB＝∠ADF＝28°，
故选：B．
8．（2022春•高州市期中）如图，从△ABC内一点O出发，把△ABC剪成三个三角形（如图1），边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上（如图2），直线MN∥AC，则点O是△ABC的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点
C．三条中线的交点 D．三边中垂线的交点
【分析】利用平行线间的距离处处相等，可知点O到BC、AC、AB的距离相等，然后可作出判断．
【解答】解：如图1，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F．
∵MN∥AB，
∴OD＝OE＝OF（夹在平行线间的距离处处相等）．
如图2：过点O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'．
由题意可知：OD＝OD'，OE＝OE'，OF＝OF'，
∴OD'＝OE'＝OF'，
∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点，
故选：A．
06 勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么
变式：
1）a²=c²- b²
2）b²=c²- a²
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
1．（2022秋•丰城市校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
【分析】由勾股定理得AB＝5，再由三角形面积公式得S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，即可得出结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，
∴CD＝＝＝2.4，
故选：A．
2．（2022秋•天山区校级期末）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若△ABC的周长为30，OM＝4．则△ABC的面积为（ ）
A．30 B．15 C．60 D．120
【分析】过点O，作OE⊥AB，OF⊥BC，垂足分别为点E、F，根据角平分线的性质得出OE＝OF＝OM＝4，然后根据S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC求值即可．
【解答】解：过点O，作OE⊥AB，OF⊥BC，垂足分别为点E、F，
∵AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，OM⊥AC，OM＝4，
∴OE＝OM＝4，OE＝OF，
∴OE＝OF＝OM＝4，
∵△ABC的周长为30，
∴AB+AC+BC＝30，
∴S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC
＝OE•AB+OM•AC+OF•BC
＝×4AB+×4AC+×4BC
＝2AB+2AC+2BC
＝2（AB+AC+BC）
＝2×30
＝60．
故选：C．
3．（2022秋•长安区校级期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（ ）
A．2m B．2.5m C．2.6m D．2.7m
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理计算出AB的长，再在Rt△A′BD中由勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝2.5（m），
∴A′B＝AB＝2.5米，
在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD＝＝＝2（m），
∴CD＝BC+BD＝2+0.7＝2.7（m），
即小巷的宽为2.7米，
故选：D．
4．（2022秋•平顶山期末）如图，Rt△ABO中，∠A＝90°，AO＝2，AB＝1．以BC＝1，OB为直角边，构造Rt△OBC；再以CD＝1，OC为直角边，构造Rt△OCD；…，按照这个规律，在Rt△OHI中，点H到OI的距离是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理得OB＝＝＝，OC＝＝＝，OD＝，按照这个规律，根据勾股定理得OI＝＝2，作HM⊥OI于点M，根据三角形的面积公式即可求出答案．
【解答】解：在Rt△ABO中，∠A＝90°，AO＝2，AB＝1，
根据勾股定理得OB＝＝＝，
在Rt△OBC，根据勾股定理得OC＝＝＝，
在Rt△OCD，根据勾股定理得OD＝，
按照这个规律，在Rt△OHI中，根据勾股定理得OI＝＝2，
如图，作HM⊥OI于点M，
∴OI•HM＝OH•HI，
∴×2×HM＝××1，
∴HM＝，
∴点H到OI的距离是．
故选：B．
5．（2022秋•辉县市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边向外做正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝4，S2＝7，则S△ACP：S△BCP等于（ ）
A．2： B．4：3 C．： D．7：4
【分析】过点P作PM⊥CB，交CB的延长线于点M，作PN⊥CA，交CA的延长线于点N．根据CP平分∠ACB，即可得出PM＝PN．再根据正方形ACDE和正方形BCFG的面积之比为4：3，即可得到AC：BC＝2：，进而利用三角形面积公式得到S△ACP：S△BCP的值．
【解答】解：如图所示，过点P作PM⊥CB，交CB的延长线于点M，作PN⊥CA，交CA的延长线于点N，
由题可得，∠BCG＝45°，CP⊥CG，
∴∠BCP＝45°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP＝45°，即CP平分∠ACB，
又∵PM⊥BC，PN⊥AC，
∴PM＝PN，
∵正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，且S1＝4，S2＝7，
∴正方形BCFG的面积＝7﹣4＝3，
∴正方形ACDE和正方形BCFG的面积之比为4：3，
∴AC：BC＝2：，
∴＝＝＝，
即S△ACP：S△BCP等于2：．
故选：A．
6．（2022秋•宁德期末）意大利著名画家达•芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是（ ）
A．S1＝a2+b2+2ab B．S1＝a2+b2+ab
C．S2＝c2 D．S2＝c2+ab
【分析】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题．
【解答】解：观察图象可知：S1＝S2＝a2+b2+ab＝c2+ab，
故选：B．
7．（2022春•舒城县校级月考）如图，小明有一个圆柱形饮水杯．底面半径是6cm，高是16cm，上底面贴着杯壁有一个小圆孔，则一条长24cm的直吸管露在杯外部分a的长度（杯壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．8≤a≤10 B．4≤a≤8 C．4≤a≤2 D．4≤a≤10
【分析】先画出图形，即△ABC，∠ABC＝90°，则AB＝2×6＝12cm，BC＝16cm，根据勾股定理求得AC＝20cm，当直吸管按AC位置放置时，露在杯外部分a最短，当直吸管按BC位置放置时，露在杯外部分a最长，于是有16≤24﹣a≤20，解不等式求出不等式的解集即可．
【解答】解：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝16cm，
∵圆柱形饮水杯的底面半径是6cm，
∴AB＝2×6＝12（cm），
∴AC＝＝＝20（cm），
∵16≤24﹣a≤20，
∴4≤a≤8，
∴直吸管露在杯外部分a的长度范围是4≤a≤8，
故选：B．
8．（2022秋•萧县期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21．大正方形的面积为13．则小正方形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5
【分析】观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，可以得出4个直角三角形的面积，进而求出答案．
【解答】解：如图所示：
∵（a+b）2＝21，
∴a2+2ab+b2＝21，
∵大正方形的面积为13，
∴a2+b2＝13，
∴2ab＝21﹣13＝8，
∴小正方形的面积为13﹣8＝5．
故选：C．
07 解直角三角形
1. 锐角三角函数
2. 特殊角的三角函数值
1．（2022秋•沈丘县期末）如图是简化后的冬奥会跳台滑雪的雪道示意图，AB段为助滑道，BC段为着陆坡，着陆坡的坡角为α，A点与B点的高度差为120米，A点与C点的高度差为h米，则着陆坡BC的长度为（ ）
A．（h﹣120）sinα米 B．（120﹣h） cosα米
C．米 D．米
【分析】过点A作AG⊥CD，交DC的延长线于点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，过点B作BF⊥AG，垂足为F，可得四边形BFGE矩形，从而得FG＝BE，然后在Rt△BEC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作AG⊥CD，交DC的延长线于点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，过点B作BF⊥AG，垂足为F，
则四边形BFGE矩形，
∴FG＝BE，
∵AG＝120米，AF＝h米，
∴FG＝BE＝（h﹣120）米，
在Rt△BEC中，BC＝＝米，
故选：D．
2．（2022秋•海淀区校级期末）已知在△ABC中，∠A＝60°，AB＝1+，AC＝2，则∠C＝（ ）
A．45° B．75° C．90° D．105°
【分析】过点C作CD⊥AB，先在Rt△ACD中求出∠ACD、CD、AD，再求出BD，最后在Rt△BCD中，利用等腰三角形的性质得结论．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
在Rt△ACD中，
∵∠A＝60°，
∴∠ACD＝30°．
∵sinA＝，cosA＝，
∴CD＝sin60°×2＝，
AD＝cos60°×2＝1．
∴BD＝AB﹣AD＝1+﹣1＝．
在Rt△BCD中，
∵CD＝BD，
∴∠BCD＝45°．
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝75°．
故选：B．
3．（2022秋•卧龙区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则BD的长为（ ）
A． B． C．3 D．
【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出AB＝5，过点D作DE⊥AB于点E，依据三角函数值可得，从而得，再由AE+BE＝5得AE＝2，DE＝1，由勾股定理得BD．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
过点D作DE⊥AB于点E，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵AE+BE＝5，
∴，
∴AE＝2，
∴DE＝1，BE＝3，
在Rt△BDE中，．
故选：B．
4．（2022秋•蒙城县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，延长AB到点D，使BD＝AB，连接CD．若，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】过点B作BE∥AC，交CD于E，就可以得出∠CBE＝90°，就有，得到BC＝3BE；由BE∥AC就可以得出△DBE∽△DAC就可以表示出AC，从而求出结论．
【解答】解：过点B作BE∥AC，交CD于E，如图所示，
∴∠ACB＝∠CBE＝90°，
∵，
∴Rt△BCE中，，
∴BC＝3BE．
∵BE∥AC，
∴△DBE∽△DAC，
∴，
∵BD＝AB，
∴，
∴AC＝2BE，
∴，
故选：A．
二．解答题（共4小题）
5．（2022秋•卧龙区校级期末）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1：3（点E、C、B在同一水平线上）．
（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．
【分析】（1）作DG⊥CE于G，解Rt△CDG，即可求出DG；
（2）过点D作DH⊥AB于点H，设AB＝xm米，用含x的代数式表示出AH、DH，根据列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）过点D作DG⊥BE于点G．
由题意知i＝1：3，
∴CG＝3DG．
又，，
即DG2+10DG2＝160，
∴DG＝4米．
答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为4米．
（2）过点D作DH⊥AB于点H，
∵DG＝4，CG＝3DG
∴CG＝3×4＝12（ m）．
设大树高为xm．
∵∠ACB＝45°，
∴CB＝AB＝xm，DH＝BG＝BC+CG＝（x+12）m，AH＝AB﹣DG＝（x﹣4）m．
又∠ADH＝30°，
∴，即，解得．
经检验，是原方程的根且符合题意．
答：大树AB的高度是．
6．（2022秋•徐汇区校级期末）某地一居民的窗户朝南．窗户的离地高度为0.8米，此地一年的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α，夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β．若你是一名设计师，请你为教学楼的窗户设计一个直角形遮阳蓬BCD，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．根据测量测得∠α＝30°，∠β＝60°，AB＝1.5米．若同时满足下面两个条件：
（1）当太阳光与地面的夹角是α时，太阳光刚好射入室内．
（2）当太阳光与地面的夹角是β时，太阳光刚好不射入室内．请你求出直角形遮阳蓬BCD中CD的长、CD离地面的高度．
【分析】在直角三角形△BCD和△ACD，利用相应的三角函数用BC分别表示出CD、AC长，而AC﹣BC＝AB，由此即可求得BC长，进而求得CD长．
【解答】解：设BC＝x米，
∵∠α＝30°，∠β＝60°，
∴∠CDB＝30°，∠CDA＝60°，
在Rt△BCD中，tan∠CDB＝＝tan30°＝＝，
∴CD＝x，
在Rt△ACD中，tan∠CDA＝tan60°＝＝＝，
∴CD＝，
∴＝x，
解得x＝，
∴CD＝（米），
CD离地面的高度0.8+1.5+＝3.05（米）．
答：直角形遮阳蓬BCD中CD的长为米，CD离地面的高度3.05米．
7．（2022秋•小店区校级期末）钢琴音色优美，刚柔并济，在人疲倦时听一些抒情的曲子能缓解疲劳、在人心情郁闷时听一些欢快的曲子可以调节自己的情绪，陶冶情操，修身养性．图1标识了某品牌三角钢琴的部分产品数据，图2为该钢琴正面简化示意图，已知钢琴大盖板AD闭合时与AB重合，此时大盖板为打开状态，支撑杆BC的长度为76cm，支撑杆与水平方向的夹角∠ABC＝60°，大盖板AD的长度为148cm，钢琴的高度为101cm．（参考数据：≈1.7，sin31°≈0.5，cos31°≈0.9，tan31°≈0.6）
（1）求∠BAC的度数．
（2）求此时大盖板上点D的高度（即点D到水平面EF的距离）．
【分析】（1）如图2中，过点C作CH⊥AB于点H．求出CH，AH，利用正切函数的定义求解即可；
（2）过点D作DT⊥AB于点T．解直角三角形求出DT，可得结论．
【解答】解：（1）如图2中，过点C作CH⊥AB于点H．
在Rt△BCH中，BC＝76cm，∠CBH＝60°，
∴BH＝BC•cos60°＝38cm，CH＝BH＝×38≈64.6（cm），
∵AD＝AB＝148cm，
∴AH＝AB﹣BH＝148﹣38＝110（cm），
∴tan∠BAC＝＝≈0.6，
∴∠BAC＝31°；
（2）过点D作DT⊥AB于点T．
∴DT＝AD•sin31°≈74（cm），
∵钢琴的高度为101cm，
∴此时大盖板上点D的高度175cm．
8．（2022秋•渝中区校级期末）如图，一艘渔船以每小时30海里的速度自东向西航行，在B处测得补给站C在北偏西30°方向，继续航行2小时后到达A处，测得补给站C在北偏东60°方向．
（1）求此时渔船与补给站C的距离；（结果保留根号）
（2）此时渔船发现在A点北偏西15°方向的D点处有大量鱼群，渔船联系了补给站，决定调整方向以原速前往作业，与此同时补给站C测得点D在北偏西75°方向，并立即派出补给船给渔船补给食物和淡水，若两船恰好在D处相遇，求补给船的速度．（精确到十分位，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）．
【分析】（1）根据题意可得：AB＝60海里，∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，从而利用三角形内角和定理可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，进行计算即可解答；
（2）过点A作AE⊥CD，垂足为E，根据垂直定义可得∠AEC＝∠AED＝90°，根据题意可得：∠DAC＝75°，FA∥CG，从而利用平行线的性质可得∠ACG＝∠FAC＝60°，进而可得∠ACD＝45°，然后再利用直角三角形的两个锐角互余求出∠EAC＝45°，从而求出∠DAE＝30°，再在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出AE，CE的长，最后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE，AD的长，从而求出CD的长，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
AB＝30×2＝60（海里），∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠CBA＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝90°，
在Rt△ACB中，AC＝AB•sinn60°＝60×＝30（海里），
∴此时渔船与补给站C的距离为30海里；
（2）如图：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
∴∠AEC＝∠AED＝90°，
由题意得：
∠DAC＝15°+60°＝75°，FA∥CG，
∴∠ACG＝∠FAC＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∴∠EAC＝90°﹣∠ACD＝45°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝30°，
在Rt△AEC中，AC＝30海里，
∴AE＝AC•sin45°＝30×＝15（海里），
CE＝AC•cos45°＝30×＝15（海里），
在Rt△ADE中，DE＝AE•tan30°＝15×＝15（海里），
∴AD＝2DE＝30（海里），
∴DC＝DE+CE＝（15+15）海里，
∴＝＝（小时），
∴补给船的速度＝＝＝15+15≈41.0（海里/时），
∴补给船的速度约为41.0海里/时．
08 相似三角形
1.相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
2.相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
1．（2022秋•桥西区校级期末）在如图所示的小正方形网格中，以点O为位似中心，△ABC的位似图形是（ ）
A．△MQH B．△MRH C．△MQP D．△MRP
【分析】根据位似三角形的定义作出图形即可得出答案．
【解答】解：
故选：C．
2．（2022秋•丛台区校级期末）如图，F是线段CD上除端点外的一点，将△ADF绕正方形ABCD的顶点A按顺时针方向旋转90°，得到△ABE，连接EF交AB于点H，则下列结论正确的是（ ）
A．∠EAF＝120° B．EB：AD＝EH：HF
C．AF2＝EH⋅EF D．
【分析】由已知可得△ABE≌△ADF，从而得到∠EAB＝∠DAF，AE＝AF；由∠EAF＝∠BAE+∠FAB＝90°＝∠DAF+∠FAB＝90°，可知A不正确；由∠EAF＝90°，AE＝AF，可知△AEF是等腰直角三角形，所以EF＝AE，则D不正确；若AF2＝EH•EF成立，可得EH＝EF，即H是EF的中点，而H不一定是EF的中点，故C不正确；由AB∥CD，由平行线分线段成比例可得EB：BC＝EH：HF，故B正确．
【解答】解：∵△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得到△ABE，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠EAB＝∠DAF，
∴∠EAF＝∠BAE+∠FAB＝90°＝∠DAF+∠FAB＝90°，
故A不正确；
∵∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF＝AE，
∴AE：EF＝1：，
故D不正确；
若AF2＝EH•EF成立，
∵AE：EF＝1：，
∴EH＝AF，
∴EH＝EF，
即H是EF的中点，H不一定是EF的中点，
故C不正确；
∵AB∥CD，
∴EB：BC＝EH：HF，
∵BC＝AD，
∴EB：AD＝EH：HF，
故B正确；
故选：B．
3．（2022秋•成华区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BDEF是平行四边形，．若△ADE的面积为1，则平行四边形BDEF的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用平行四边形的性质先说明△ADE∽△ABC、△CEF∽△CBA，再利用相似三角形的性质求出△ADE、△ABC、△CEF的面积，最后利用面积的和差关系得结论．
【解答】解：∵四边形BDEF是平行四边形，
∴DE∥BC，EF∥AB．
∴△ADE∽△ABC，△CEF∽△CBA．
∵，
∴＝．
∴＝．
∴＝（）2＝，＝（）2＝．
∵S△ADE＝1，
∴S△ABC＝9，S△CEF＝4．
∵S△ADE+S△CEF+S平行四边形BDEF＝S△ABC，
∴S平行四边形BDEF＝9﹣1﹣4＝4．
故选：B．
4．（2022秋•南宫市期末）有一块锐角三角形余料△ABC，边BC的长为20cm，BC边上的高为l6cm，现要把它分割成若干个邻边长分别为5cm和4cm的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小长方形的长为5cm的边在BC上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】设最上层的小长方形的一边与AB，AC交于点E，F，过点A作AD⊥BC 于点D，交EF于点G，利用相似三角形的判定与性质求得AG，则GD可求，利用GD的值可以判定最多能分多少层，再利用相似三角形的判定与性质求得每层的小长方形的数目，则结论可得．
【解答】解：设最上层的小长方形的一边与AB，AC交于点E，F，过点A作AD⊥BC 于点D，交EF于点G，如图，
则EF＝5cm，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴，
∴AG＝4cm．
∴GD＝AD﹣AG＝12cm，
∵分割成的小长方形邻边长分别为5cm和4cm，
∴最多能分3层，
由题意最上层能分割1个，
同理可得下一层能分割2个小长方形，最下面一层可分割3个小长方形，
∴分割成的小长方形零件最多有6个，
故选：B．
5．（2022秋•嘉定区校级期末）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且∠ANE＝∠DCE．
（1）如图，求证：AE是AM和AN的比例中项；
（2）当点N在线段AB的延长线上时，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长．
【分析】（1）利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用△EDC∽△CAD，得出比例式求得线段DE，AE，利用△AME∽△DEC求得线段AM，利用（1）的结论求得线段AN，则MN＝AN﹣AM．
【解答】（1）证明：∵EM⊥EC，
∴∠AEM+∠DEC＝90°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠DEC+∠ECD＝90°，
∴∠AEM＝∠DCE，
∵∠ANE＝∠DCE，
∴∠ANE＝∠AEM．
∵∠A＝∠A，
∴△ANE∽△AEM，
∴．
∴AE2＝AM•AN，
∴AE是AM和AN的比例中项；
（2）解：如图，
AC＝＝＝5．
∵AC与NE互相垂直，
∴∠AFE＝90°，
∴∠ANE+∠NAF＝90°．
∵∠NAF+∠CAD＝90°，
∴∠ANE＝∠DAC．
∵∠ANE＝∠DCE，
∴∠DAC＝∠DCE，
∵∠D＝∠D，
∴△EDC∽△CAD，
∴，
∴，
∴DE＝，
∴AE＝AD﹣DE＝．
∵EM⊥EC，
∴∠AEM+∠DEC＝90°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠MAE＝∠D＝90°，
∴∠DEC+∠ECD＝90°，
∴∠AEM＝∠DCE，
∴△AME∽△DEC，
∴，
∴，
∴AM＝．
由（1）知：AE2＝AM•AN，
∴AN＝，
∴MN＝AN﹣AM＝＝．
6．（2022秋•嘉定区校级期末）如图，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，∠BAC＝∠AED．
（1）求证：AB•AD＝BC•AE；
（2）在边AC取一点F，如果，，求证：∠AFE＝∠D．
【分析】（1）利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用（1）中的结论和已知条件得到，利用相似三角形的判定与性质得到∠AFE＝∠C，再利用（1）中的结论和相似三角形的性质解答即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠B．
∵∠BAC＝∠AED，
∴△ADE∽△BCA，
∴，
∴AB•AD＝BC•AE；
（2）∵，，
∴，
∵∠EAF＝∠BAC，
∴△AEF∽△ABC，
∴∠AFE＝∠C．
由（1）知：△ADE∽△BCA，
∴∠ADE＝∠C，
∴∠AFE＝∠D．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，动点M以1cm/s的速度从A点出发，沿AB向点B运动，同时动点N以2cm/s的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜3）．
（1）当t为何值时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在某一时刻t，使得以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据矩形的性质求出∠BAD＝90°，求出AM、AN，根据三角形的面积公式，利用S＝×18建立方程，解之即可；
（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6cm，∠BAD＝90°，
AM＝tcm，AN＝6﹣2t（cm），
∴S△AMN＝AN•AM＝×（6﹣2t）×t＝﹣（t﹣）2+（0≤t≤3），
依题意得：﹣（t﹣）2+＝×3×6，
t2﹣3t+2＝0，
t1＝2，t2＝1．
答：经过1秒或2秒时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的；
（2）设运动时间为t秒，
由题意得DN＝2t（cm），AN＝（6﹣2t）（cm），AM＝t（cm），
若△NMA∽△ACD，
则有AD：AN＝CD：AM，即6：（6﹣2t）＝3：t，
解得t＝1.5，
若△MNA∽△ACD
则有AD：AM＝CD：AN，即6：t＝3：（6﹣2t），
解得t＝2.4，
答：当运动时间为1.5秒或2.4秒时，以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似．
8．（2022秋•邹城市校级期末）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做“比例三角形”．
（1）如图1，在四边形ABCD中，AD＝AB，对角线DB平分∠ADC，∠DAC＝∠ABC．求证：△ACD是“比例三角形”；
（2）如图2，在（1）的条件下，当∠ABC＝90°时，求的值．
【分析】（1）先判断出∠ACB＝∠CAD，得出△ABC∽△DCA即可；由△ABC∽△DCA得出CA2＝BC•AD，再由∠ADB＝∠CBD＝∠ABD知AB＝AD，即可得出结论；
（2）过点A作AH⊥BD于点H，证△ADH∽△BDC，得AD•DC＝BH•DB，即AD•DC＝BD2，再由AD•DC＝AC2推出BD2＝AC2，据此可得答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵AB∥DC，
∴∠BAC＝∠ACD，
又∵∠ABC＝∠DAC，
∴△ABC∽△CAD，
∴＝，
∴即CA2＝AB⋅CD．
∵AB＝AD，
∴CA2＝AD⋅CD，
根据“比例三角形”的定义可知△AC是“比例三角形”．
（2）解：点A作AH⊥BD于点H，
由（1）得AB＝AD，
∴DH＝BD，
∵A∥DC，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DHA＝∠BCD．
又∵∠ADH＝∠BDC，
∴△ADH∽△BDC，
∴＝即AD⋅DC＝DH⋅DB，
∴AD•DC＝BD2，
又由（1）可知AD•DC＝AC2，
∴，BD2＝AC2，
∴＝．
9．（2022秋•源汇区校级期末）如图①，有一块三角形余料△ABC，它的边BC＝10，高AD＝6．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，AD交PN于点E，则加工成的正方形零件的边长为多少？
小颖解得此题的答案为，小颖善于反思，她又提出了如下的问题：
（1）如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形由两个并排放置的正方形组成．如图②，此时，这个矩形零件的相邻两边长又分别是多少？
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图③，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值以及这个矩形面积达到最大值时矩形零件的相邻两边长又分别是多少？
【分析】（1）设PN＝2y，则PQ＝y，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可；
（2）设PN＝xmm，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．
【解答】解：（1）设矩形的边长PN＝2y，则PQ＝y，由条件可得△APN∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得y＝，
∴PN＝×2＝，
答：这个矩形零件的两条边长分别为，；
（2）设PN＝x（mm），矩形PQMN的面积为S（mm2），
由条件可得△APN∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得PQ＝6﹣x．
∴S＝PN•PQ＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣5）2+15，
∴S的最大值为15，此时PN＝5，PQ＝6﹣×5＝3．
10．（2022秋•夏邑县期末）（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点G，求证：DG＝EG．
（2）如图2，在 （1）的条件下，连接CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求的值．
【分析】（1）证明△AGD∽△AFB，△AFC∽△AGE，根据相似三角形的性质得到＝，进而证明结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质求出CE，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴△AGD∽△AFB，△AFC∽△AGE，
∴＝，＝，
∴＝，
∵BF＝CF，
∴DG＝EG；
（2）解：∵DG＝EG，CG⊥DE，
∴CE＝CD＝6，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝．
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