四川省南充市2023届高考适应性考试(二诊)理科数学试题（原卷及解析版）

南充市高2023届高考适应性考试（二诊）

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1 复数满足：，则（    ）

A. 1+2i B. －1+2i C. 1－2i D. －1－2i

2. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 近年来国产品牌汽车发展迅速，特别是借助新能源汽车发展的东风，国产品牌汽车销量得到了较大的提升．如图是2021年1－7月和2022年1－7月我国汽车销量占比饼状图，已知2022年1－7月我国汽车总销量为1254万辆，比2021年增加了99万辆，则2022年1－7月我国汽车销量与2021年1－7月相比，下列说法正确的是（    ）

A 日系汽车销量占比变化最大 B. 国产汽车销量占比变大了

C. 德系汽车销量占比下降最大 D. 美系汽车销量变少了

4. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(0,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以yOz平面为投影面，则正视图可以为（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知入射光线斜率为，且和反射光线PE互相垂直（其中P为入射点），则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 已知数列的前n项和为，若，（），则等于（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 在二项式的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且△ABC的面积为，则△ABC周长的最小值为（    ）

A  B. 6 C.  D.

10. 如图，已知点P是圆上的一个动点，点Q是直线上的一个动点，为坐标原点，则向量在向量上的投影的最大值是（    ）

A.  B. 3 C.  D.

11. 已知函数有三个不同零点，且．则实数的值为（    ）

A.  B.  C. －1 D. 1

12. 设定义在R上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ）

A.  B.

C. ， D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 设随机变量X服从正态分布，若，则______．

14. 已知直线与曲线相切，则m的值为______．

15. 设是抛物线上的两个不同的点，O为坐标原点，若直线与的斜率之积为，则直线恒过定点，定点坐标为______．

16. 已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，，有以下结论：

①．当平面时，与所成夹角可能为；

②．当时，的最小值为；

③．当时，在正方体中经过点的截面面积的取值范围为；

④．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为．

则所有正确结论的序号是______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分

17. 已知数列前n项和为．从下面①②中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分．

①数列是等比数列，，且成等差数列；

②数列是递增的等比数列，，；

（1）求数列的通项公式；

（2）已知数列的前n项的和为，且．证明：．

18. 某甜品屋店庆当天为酬谢顾客，当天顾客每消费满一百元获得一次抽奖机会，奖品分别为价值5元，10元，15元的甜品一份，每次抽奖，抽到价值为5元，10元，15元的甜品的概率分别为，且每次抽奖的结果相互独立．

（1）若某人当天共获得两次抽奖机会，设这两次抽奖所获甜品价值之和为X元，求X的分布列与期望．

（2）某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的有50人．有列联表：

完成上面的列联表，根据独立性检验，能否有99.5%的把握认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关？

附：，．

19. 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，．

（1）证明：平面PAC；

（2），是否存在常数，满足，且直线AM与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．

20. 如图，已知分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆M上异于点的动点，若，且面积的最大值为2．

（1）求椭圆M的标准方程；

（2）已知直线与椭圆M相切于点，且与直线和分别相交于两点，记四边形的对角线相交于点N．问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．

21. 已知函数，其中e为自然对数的底数．

（1）若函数在有2个极值点，求m的取值范围；

（2）若函数在有零点，求证：．

（二）、在选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22. 数学中有许多美丽曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线，（）的形状如心形（如图），我们称这类曲线为笛卡尔心形曲线．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当时．

（1）求曲线E的极坐标方程；

（2）已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且，求的最大值．

23. 已知，，函数的最小值为3．

（1）求的值；

（2）求证：．