湖南省多校2022-2023学年高二下学期3月联考数学试题

2023年3月高二月考测试卷

数学

班级：__________姓名：__________准考证号：__________

（本试卷共4页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

4．考试结束后，只交答题卡．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

2．已知向量，满足：，且，则向量与向量的夹角为（    ）．

A．0 B． C． D．

3．的展开式中的系数为（    ）．

A．32 B．12 C． D．

4．曲线在处的切线的斜率为（    ）．

A．4 B．3 C．2 D．1

5．某学校开学报到，高二某班上有四名学生分别前往学校A、B、C三个校门做志愿者，若每个校门至少安排一名学生，则志愿者甲安排到A校门的概率（    ）．

A． B． C． D．

6．如图，圆柱的上、下底面圆心分别为，O，底面圆直径，圆柱高为，C是下底面圆周上一动点，连接，过作圆柱的截面，当截面与圆柱的下底面所成的角最小时，点O到截面的距离为（    ）．

A． B． C．1 D．与动点C的位置有关

7．已知函数，则方程的解的个数为（    ）．

A．2 B．3 C．4 D．5

8．已知抛物线，焦点为F，点P是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为Q，则的最小值为（    ）．

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知圆，则下列说法正确的是（    ）．

A．圆C的圆心为 B．点在圆C外

C．圆C关于直线对称 D．直线截圆C所得的弦长为2

10．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早500年左右．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（    ）．

A．在“杨辉三角”第6行中，从左到右第6个数是15

B．由“第n行所有数之和为”猜想：

C．在“杨辉三角”中，从第1行起，前10行每一行的第2个数之和为66

D．存在，使得为等差数列

11．已知函数，则下列命题中正确的是（    ）．

A．函数的定义域为

B．

C．

D．若有两个不相等的实根，，则

12．在直三棱柱中，，，M是的中点，N是的中点，点P在线段上，点Q是线段上靠近M的三等分点，R是线段的中点，若面，则（    ）．

A．    B．P为的中点

C．三棱锥的体积为   D．三棱锥的外接球表面积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．体育课上四名男生和两名女生排成一排，要求两位女生相邻，则不同排法的种数是：__________．（用数字作答）

14．已知等差数列的前n项和为，且满足：，则__________．

15．已知离心率为2的双曲线的左、右焦点分别为、，过点作直线与双曲线交于第一象限内的点P，若的内切圆半径为b，则直线的倾斜角为__________．

16．若对任意，总有不等式成立，则实数a的最大值是__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京人民大会堂召开．为深入学习贯彻党的二十大精神，充分认识到党的二十大的重要意义，长沙市某单位组织全体员工开展“自主学习党的二十大会议精神”的主题活动．现从中随机抽取了100名学员的学习时长组成样本，并按员工学习时间（单位：小时）的长短分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示：

（1）试估计这100名员工学习时间的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表，结果保留两位小数）；

（2）现采用简单随机抽样的方法在学习时长位于上的员工中抽取3人参加学习心得交流会，求恰有1人学习时长在上的概率．

18．（12分）已知函数．

（1）求函数在上的值域；

（2）在中，角A满足：，且，求的面积．

19．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，点E为棱的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

20．（12分）已知数列满足，，令．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）数列满足，求数列的前项的和．

21．（12分）已知函数．

（1）若函数在处有极值，求函数的解析式；

（2）若时，恒成立，求实数m的取值范围．

22．（12分）已知曲线，当变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“椭圆群”．

（1）求“2-1椭圆群”中椭圆的离心率；

（2）若“椭圆群”中的两个椭圆、对应的t分别为、，且，则称、为“和谐椭圆对”．已知、为“和谐椭圆对”，P是上的任意一点，过点P作的切线交于A、B两点，Q为上异于A、B的任意一点，且满足，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；否则，说明理由．

2023年3月高二月考测试卷

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．A

【解析】∵，

又，∴，

∴，故选A．

2．D

【解析】∵，∴，∴，

即，∴，

∴，故选D．

3．C

【解析】∵，要得到项，

则，．故选C．

4．D

【解析】∵，

∴曲线在处的切线的斜率为，故选D．

5．B

【解析】∵四名学生分别前往学校A、B、C三个校门做志愿者，若每个校门至少安排一名学生，共有种安排方法，其中：志愿者甲安排到A校门，共有种安排方法，

∴志愿者甲安排到A校门的概率为．故选B．

6．A

【解析】∵截面过，∴截面与圆柱的下底面的交线过C点，

设交线为l，连接，过点O向l引垂线，垂足点为D，连接，

则为截面与圆柱的下底面所成的角，且，

∴要使最小，则最大，而，

此时D点与C点重合，平面，从而截面垂直于平面，

∴点O到截面的距离为点O到直线的距离．故选A．

7．B

【解析】当时，，解得：；

当时，易证，所以，

由，则有，

∵时，，，

令，则，

∴，在单调递减，

∴，∴，在单调递减，作出函数的图象，

由图可知：有三个根．故选B．

8．C

【解析】∵抛物线C的方程为，

∴，抛物线C的准线方程为，

∵方程可化为，

∴过定点．

设，设F，B的中点为A，则，

因为，Q为垂足，∴，

所以，即点Q的轨迹为以A为圆心，半径为的圆，

过点P作准线的垂线，垂足为，

则，∴，

当且仅当A，P，三点共线且P在A，之间时等号成立，

过点A作准线的垂线，垂足为，

则，当且仅当，P，A三点共线时等号成立，

∴，当且仅当，P，Q，A四点共线且Q在P，A之间时等号成立，

所以的最小值为．故选C．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．AC

【解析】圆，圆心：，半径：，所以A正确；

对于B，∵，∴点在圆C上，B错误；

对于C，∵，∴直线过圆心，∴圆C关于直线对称，C正确；

对于D，圆心到直线的距离为，

∴直线截圆C所得的弦长为：，D错误．故选：AC．

10．BD

【解析】在“杨辉三角”第6行中，从左到右第6个数是，A错误；

由二项式系数的性质知：，B正确；

在“杨辉三角”中，当时，从第1行起，每一行的第2个数之和为，故C错误；

对于D选项：取，则，

所以数列为公差为1的等差数列，D正确．故选：BD．

11．ABC

【解析】A正确；

，当时，，为增函数；

当时，，为减函数．

，，B正确；

又，，，即，C正确；

对于D，若有两个不相等的正实根，，不妨取，显然，

此时不满足，D不正确．故选：ABC．

12．ACD

【解析】连接并延长交于S，连接，

由平面几何知识可得：S是的中点，且N，R，S三点共线．

由面可得：，且P为上靠近N的三等分点，所以A正确，B错误；

对于C，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，

而，所以C正确；

对于D，∵的外心是S，平面，

∴三棱锥的外接球球心一定在直线上，

设三棱锥的外接球球心为O，半径为R，，

则，

，

∴，解得：，，

，所以D正确．故选：ACD．

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．240   【解析】两女生看成一个元素，．

14．39

【解析】∵，

∴，∴．

15．

【解析】∵双曲线的离心率为2，∴，，

设的内切圆圆心为I，双曲线的右顶点为A，易知：轴，

设直线的倾斜角为，则，∴．

16．e

【解析】因为，所以可化为，

构造，则，

令，得；令，得，

故在上单调递减，在上单调递增，

则，

令，则，

故可化为对恒成立，即，

构造，则，

所以在上单调递增，故，即，

所以a的最大值是e．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）【答案】见解析．

【解析】学习时间位于上的学员数为：；

同理可得学习时间位于，，，，上的学员数分别为：15，20，30，15，10，（3分）（对两个给1分）

（1）∵，，

∴100名员工学习时间的中位数为．（5分）

平均数，（7分）

∴这100名员工学习时间的中位数与平均数分别为：25.83，25.25．

（2） ．（10分）（其它解法对照给分）

18．（12分）【答案】见解析．

【解析】，（2分）

（1），且，

所以，从而，（4分）

所以的值域为．（6分）

（2）∵，∴，∴，（8分）

由得可得：，（10分）

∴的面积．（12分）

19．（12分）【答案】见解析．

【解析】以为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

，．（2分）

（1）证明：设平面的法向量为，平面的法向量为，

则可得：，取，可得：，，

∴，同理可得：，（6分）（法向量对一个给2分）

由得：平面平面．（8分）

（2）解：由（1）知：，，

设直线与平面所成角为，（10分）

则．（12分）（其它解法对照给分）

20．（12分）【答案】见解析．

【解析】（1）由可得：，即，（2分）

又，（3分）

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．（4分）

（2）n为偶数时，；n为奇数时，，（6分）

（8分）

（10分）

．（12分）

21．（12分）【答案】见解析．

【解析】（1），，∴．（2分）

当时，时，；时，，

∴函数在处取得极小值，∴，（3分）

∴函数的解析式为：．（4分）

（2）令，则，，

令则，在R上是增函数，（6分）

当时，，，即，

∴在上是增函数，，恒成立．（8分）

当时，，，

∴存在，（9分）

使得，且时，，即，

∴在单调递减，且，即，不符合题意．（11分）

综上知：m的取值范围是：．（12分）

22．（12分）【答案】见解析．

【解析】（1）由题意可知：“椭圆群”的方程为：，

∴，∴．（2分）

（2）由题意得，；，

①当直线斜率不存在时，直线，

若，则，

又，所以，

代入中，得，即；

若，同理可得．（4分）

②当直线斜率存在时，设直线，，，

由，得，

由可得：，

即：．

∴，

化简得：，（6分）

由可得：，

即：，

∴，，（8分）

，

∴

，（10分）

因为点Q在椭圆上，所以，，

整理，得，

又∵，在上，∴，

∴而：，（11分）

所以，即．

综上所述，为定值，且．（12分）