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新高考数学一轮复习课件 第8章 §8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
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这是一份新高考数学一轮复习课件 第8章 §8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练等内容，欢迎下载使用。
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
|r1－r2|
1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
(2)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解).
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.( )(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线.( )(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切.( )(4)在圆中最长的弦是直径.( )
1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离
∵圆x2＋y2－6y＝0，即x2＋(y－3)2＝9，
3.若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝__________.
TANJIUHEXINTIXING
命题点1 位置关系的判断例1 直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为A.相交、相切或相离B.相交或相切C.相交D.相切
方法一 直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定点(1,2).因为12＋22－2×1－8<0，所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交.方法二 圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.
判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
命题点2 弦长问题例2 (1)(多选)直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB的长度可能为A.6 B.8 C.12 D.16
又当直线y＝kx－1过圆心时弦长AB取最大值，为直径12，
(2)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2 ，则直线l的方程为A.3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B.3x＋4y－12＝0或x＝0C.4x－3y＋9＝0或x＝0D.3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.
弦长的两种求法(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长.(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2 .
命题点3 切线问题例3 (2022·衡水模拟)已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于A.1 B.2 C.4 D.8
已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，圆心C(3,1)，半径r＝3，所以直线l过圆心C(3,1)，故3＋a－1＝0，故a＝－2，所以点A(－1，－2)，
当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.注意验证斜率不存在的情况.
命题点4 直线与圆位置关系中的最值(范围)问题例4 在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，点A是直线x－y＋2＝0上的一个动点，直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的长的取值范围为___________.
由圆的方程知，圆心C(2,0)，半径r＝2.连接AC，PC，QC(图略)，
∵AP，AQ为圆C的切线，∴CP⊥AP，CQ⊥AQ，
∵AC是PQ的垂直平分线，
1.(多选)(2022·深圳模拟)设直线l：y＝kx＋1(k∈R)与圆C：x2＋y2＝5，则下列结论正确的为A.l与C可能相离B.l不可能将C的周长平分C.当k＝1时，l被C截得的弦长为D.l被C截得的最短弦长为4
对于A选项，直线l过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C内，则直线l与圆C必相交，A选项错误；对于B选项，若直线l将圆C的周长平分，则直线l过原点，此时直线l的斜率不存在，B选项正确；
圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为C(1,0)，验证知点P在圆内，当∠ACB最小时，|AB|最短，即CP和AB垂直，
涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.
跟踪训练1 (1)(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，
(2)(2021·北京)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m等于
由题可得圆心为(0,0)，半径为2，
(3)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为______.
要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离.设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，
例5 (1)(2022·长沙模拟)若圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，则正实数a的取值范围为A.(3，＋∞) B.(2，＋∞)C. D.(3,4)
因为圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，
(2)圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为______________，公共弦长为________.
两式相减并化简，得x－2y＋4＝0，此即两圆公共弦所在直线的方程.由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，
已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值时两圆外切？
两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，
(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，求得公共弦的长为
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
跟踪训练2 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2 ，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
由题意知圆C1：x2＋y2＋4x－2y－4＝0，圆C2：x2＋y2＋3x－3y－1＝0，将两圆的方程相减，得x＋y－3＝0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为x＋y－3＝0.又因为圆C1的圆心为(－2,1)，半径r＝3，所以圆C1的圆心到直线x＋y－3＝0的距离
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|.则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apllnius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：
证明：设|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(－m，0)，B(m，0).
两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2).当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线；
例1 (1)已知平面直角坐标系中，A(－2,0)，B(2,0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹的圆心坐标为________.
设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，
设点M(x，y)，由|MB|＝λ|MA|，
由图可知，当|yM|＝1，即M的坐标为(0,1)或(0，－1)时，S△MAB取得最大值，
例2 如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
切线的斜率存在，设切线方程为y＝kx＋3.
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围.
设点M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，
化简得x2＋(y＋1)2＝4.即点M的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D.又因为点M也在圆C上，故圆C与圆D的关系为相交或相切.故1≤|CD|≤3，
KESHIJINGLIAN
1.圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切线的条数是A.1 B.2 C.3 D.4
圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为C1(－1,2)，半径为2，圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的圆心为C2(3,2)，半径为2，
即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两圆外切，故公切线的条数为3.
2.过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为A.3x＋4y－4＝0B.4x－3y＋4＝0C.x＝2或4x－3y＋4＝0D.y＝4或3x＋4y－4＝0
当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，
综上，得切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
3.(2022·沧州模拟)若圆C：x2＋16x＋y2＋m＝0被直线3x＋4y＋4＝0截得的弦长为6，则m等于A.26 B.31 C.39 D.43
将圆化为(x＋8)2＋y2＝64－m(m<64)，
该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形，所以42＋32＝64－m，解得m＝39.
4.(2022·广州模拟)若直线x＋ay－a－1＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝4交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧AB的长为
直线x＋ay－a－1＝0可化为(x－1)＋a(y－1)＝0，则当x－1＝0且y－1＝0，即x＝1且y＝1时，等式恒成立，所以直线恒过定点M(1,1)，设圆的圆心为C(2,0)，半径r＝2，当MC⊥AB时，|AB|取得最小值，
C.“m＝－3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件D.当m＝－2时，曲线C与圆x2＋y2＝1有两个公共点
5.(2022·青岛模拟)已知直线l：3x＋my＋3＝0，曲线C：x2＋y2＋4x＋2my＋5＝0，则下列说法正确的是A.“m>1”是曲线C表示圆的充要条件
对于A，曲线C：x2＋y2＋4x＋2my＋5＝0⇒(x＋2)2＋(y＋m)2＝m2－1，曲线C要表示圆，则m2－1>0⇒m<－1或m>1，所以“m>1”是曲线C表示圆的充分不必要条件，故A错误；
所以“m＝－3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件，C正确；
6.(多选)(2022·海口模拟)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则A.圆O1和圆O2有两条公切线B.直线AB的方程为x－y＋1＝0C.圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋
对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故A正确；对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确；对于C，直线AB经过圆O2的圆心(0,1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；
则点A(0，b)，由于直线AB与圆x2＋(y－1)2＝1相切，且圆心为C(0,1)，半径为1，
解得b＝－1或b＝3，所以|AC|＝2，
圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，所以|C1C2|＝5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，所以线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.
8.若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是____.
9.已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
根据题意，圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，则圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，其圆心为(0,4)，半径r＝2，
设圆心C到直线l的距离为d，
解得a＝－1或a＝－7，则直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.
10.已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；
圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.
故l的方程为x＋3y－8＝0.
又P在圆N上，从而ON⊥PM.
11.如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为 ，则实数a的取值范围是A.(－3，－1)∪(1,3) B.(－3,3)C.[－1,1] D.(－3，－1]∪[1,3)
转化为圆C1：x2＋y2＝2与圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8有两个交点，
∴r－r1<|C1C|
12.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9上存在四个点到直线l：x－y＋b＝0的距离等于2，则实数b的取值范围是
由C：(x－1)2＋(y－2)2＝9知圆心C(1,2)，半径为3，若圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9上存在四个点到直线l：x－y＋b＝0的距离等于2，则点C到直线l：x－y＋b＝0的距离d<1，
13.(2022·邯郸模拟)已知点P在直线x＋y＝4上，过点P作圆O：x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则点M(3,2)到直线AB距离的最大值为
设P(a，b)，则a＋b＝4，
与圆O的方程x2＋y2＝4相减，得直线AB的方程为ax＋by＝4，即ax＋by－4＝0，因为a＋b＝4，所以b＝4－a，
代入直线AB的方程，得ax＋(4－a)y－4＝0，即a(x－y)＋4y－4＝0，当x＝y且4y－4＝0，即x＝1，y＝1时该方程恒成立，所以直线AB过定点N(1,1)，
14.(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2
设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5)，
15.(多选)如图，A(2,0)，B(1,1)，C(－1,1)，D(－2,0)， 是以OD为直径的圆上一段圆弧， 是以BC为直径的圆上一段圆弧， 是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W，则下列说法正确的是
A.曲线W与x轴围成的面积等于2πB.曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)C. 所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1
曲线W上有(－2,0)，(－1,1)，(0,2)，(1,1)，(2,0)，共5个整点，故B正确； 所在的圆是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，其方程为x2＋(y－1)2＝1，故C正确；
设 与 的公切线方程为y＝kx＋t(k＜0，t＞0)，由直线和圆相切的条件可得
16.规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球A是指该球的球心点A.两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：
(1)如图1，设母球A的位置为(0,0)，目标球B的位置为(4,0)，要使目标球B向C(8，－4)处运动，求母球A的球心运动的直线方程；
点B(4,0)，C(8，－4)所在的直线方程为x＋y－4＝0，如图，可知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线x＋y－4＝0上，
(2)如图2，若母球A的位置为(0，－2)，目标球B的位置为(4,0)，让母球A击打目标球B后，能否使目标球B向C(8，－4)处运动？
假设能使目标球B向C(8，－4)处运动，
如图，设AA′与x轴的交点为D.因为A′B的斜率为－1，所以∠A′BD＝45°.
所以∠A′DB>45°.所以∠DA′B为锐角.
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
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1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
|r1－r2|
1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
(2)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解).
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.( )(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线.( )(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切.( )(4)在圆中最长的弦是直径.( )
1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离
∵圆x2＋y2－6y＝0，即x2＋(y－3)2＝9，
3.若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝__________.
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命题点1 位置关系的判断例1 直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为A.相交、相切或相离B.相交或相切C.相交D.相切
方法一 直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定点(1,2).因为12＋22－2×1－8<0，所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交.方法二 圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.
判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
命题点2 弦长问题例2 (1)(多选)直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB的长度可能为A.6 B.8 C.12 D.16
又当直线y＝kx－1过圆心时弦长AB取最大值，为直径12，
(2)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2 ，则直线l的方程为A.3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B.3x＋4y－12＝0或x＝0C.4x－3y＋9＝0或x＝0D.3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.
弦长的两种求法(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长.(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2 .
命题点3 切线问题例3 (2022·衡水模拟)已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于A.1 B.2 C.4 D.8
已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，圆心C(3,1)，半径r＝3，所以直线l过圆心C(3,1)，故3＋a－1＝0，故a＝－2，所以点A(－1，－2)，
当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.注意验证斜率不存在的情况.
命题点4 直线与圆位置关系中的最值(范围)问题例4 在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，点A是直线x－y＋2＝0上的一个动点，直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的长的取值范围为___________.
由圆的方程知，圆心C(2,0)，半径r＝2.连接AC，PC，QC(图略)，
∵AP，AQ为圆C的切线，∴CP⊥AP，CQ⊥AQ，
∵AC是PQ的垂直平分线，
1.(多选)(2022·深圳模拟)设直线l：y＝kx＋1(k∈R)与圆C：x2＋y2＝5，则下列结论正确的为A.l与C可能相离B.l不可能将C的周长平分C.当k＝1时，l被C截得的弦长为D.l被C截得的最短弦长为4
对于A选项，直线l过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C内，则直线l与圆C必相交，A选项错误；对于B选项，若直线l将圆C的周长平分，则直线l过原点，此时直线l的斜率不存在，B选项正确；
圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为C(1,0)，验证知点P在圆内，当∠ACB最小时，|AB|最短，即CP和AB垂直，
涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.
跟踪训练1 (1)(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，
(2)(2021·北京)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m等于
由题可得圆心为(0,0)，半径为2，
(3)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为______.
要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离.设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，
例5 (1)(2022·长沙模拟)若圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，则正实数a的取值范围为A.(3，＋∞) B.(2，＋∞)C. D.(3,4)
因为圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，
(2)圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为______________，公共弦长为________.
两式相减并化简，得x－2y＋4＝0，此即两圆公共弦所在直线的方程.由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，
已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值时两圆外切？
两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，
(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，求得公共弦的长为
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
跟踪训练2 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2 ，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
由题意知圆C1：x2＋y2＋4x－2y－4＝0，圆C2：x2＋y2＋3x－3y－1＝0，将两圆的方程相减，得x＋y－3＝0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为x＋y－3＝0.又因为圆C1的圆心为(－2,1)，半径r＝3，所以圆C1的圆心到直线x＋y－3＝0的距离
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|.则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apllnius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：
证明：设|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(－m，0)，B(m，0).
两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2).当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线；
例1 (1)已知平面直角坐标系中，A(－2,0)，B(2,0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹的圆心坐标为________.
设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，
设点M(x，y)，由|MB|＝λ|MA|，
由图可知，当|yM|＝1，即M的坐标为(0,1)或(0，－1)时，S△MAB取得最大值，
例2 如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
切线的斜率存在，设切线方程为y＝kx＋3.
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围.
设点M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，
化简得x2＋(y＋1)2＝4.即点M的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D.又因为点M也在圆C上，故圆C与圆D的关系为相交或相切.故1≤|CD|≤3，
KESHIJINGLIAN
1.圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切线的条数是A.1 B.2 C.3 D.4
圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为C1(－1,2)，半径为2，圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的圆心为C2(3,2)，半径为2，
即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两圆外切，故公切线的条数为3.
2.过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为A.3x＋4y－4＝0B.4x－3y＋4＝0C.x＝2或4x－3y＋4＝0D.y＝4或3x＋4y－4＝0
当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，
综上，得切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
3.(2022·沧州模拟)若圆C：x2＋16x＋y2＋m＝0被直线3x＋4y＋4＝0截得的弦长为6，则m等于A.26 B.31 C.39 D.43
将圆化为(x＋8)2＋y2＝64－m(m<64)，
该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形，所以42＋32＝64－m，解得m＝39.
4.(2022·广州模拟)若直线x＋ay－a－1＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝4交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧AB的长为
直线x＋ay－a－1＝0可化为(x－1)＋a(y－1)＝0，则当x－1＝0且y－1＝0，即x＝1且y＝1时，等式恒成立，所以直线恒过定点M(1,1)，设圆的圆心为C(2,0)，半径r＝2，当MC⊥AB时，|AB|取得最小值，
C.“m＝－3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件D.当m＝－2时，曲线C与圆x2＋y2＝1有两个公共点
5.(2022·青岛模拟)已知直线l：3x＋my＋3＝0，曲线C：x2＋y2＋4x＋2my＋5＝0，则下列说法正确的是A.“m>1”是曲线C表示圆的充要条件
对于A，曲线C：x2＋y2＋4x＋2my＋5＝0⇒(x＋2)2＋(y＋m)2＝m2－1，曲线C要表示圆，则m2－1>0⇒m<－1或m>1，所以“m>1”是曲线C表示圆的充分不必要条件，故A错误；
所以“m＝－3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件，C正确；
6.(多选)(2022·海口模拟)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则A.圆O1和圆O2有两条公切线B.直线AB的方程为x－y＋1＝0C.圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋
对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故A正确；对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确；对于C，直线AB经过圆O2的圆心(0,1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；
则点A(0，b)，由于直线AB与圆x2＋(y－1)2＝1相切，且圆心为C(0,1)，半径为1，
解得b＝－1或b＝3，所以|AC|＝2，
圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，所以|C1C2|＝5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，所以线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.
8.若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是____.
9.已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
根据题意，圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，则圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，其圆心为(0,4)，半径r＝2，
设圆心C到直线l的距离为d，
解得a＝－1或a＝－7，则直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.
10.已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；
圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.
故l的方程为x＋3y－8＝0.
又P在圆N上，从而ON⊥PM.
11.如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为 ，则实数a的取值范围是A.(－3，－1)∪(1,3) B.(－3,3)C.[－1,1] D.(－3，－1]∪[1,3)
转化为圆C1：x2＋y2＝2与圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8有两个交点，
∴r－r1<|C1C|
12.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9上存在四个点到直线l：x－y＋b＝0的距离等于2，则实数b的取值范围是
由C：(x－1)2＋(y－2)2＝9知圆心C(1,2)，半径为3，若圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9上存在四个点到直线l：x－y＋b＝0的距离等于2，则点C到直线l：x－y＋b＝0的距离d<1，
13.(2022·邯郸模拟)已知点P在直线x＋y＝4上，过点P作圆O：x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则点M(3,2)到直线AB距离的最大值为
设P(a，b)，则a＋b＝4，
与圆O的方程x2＋y2＝4相减，得直线AB的方程为ax＋by＝4，即ax＋by－4＝0，因为a＋b＝4，所以b＝4－a，
代入直线AB的方程，得ax＋(4－a)y－4＝0，即a(x－y)＋4y－4＝0，当x＝y且4y－4＝0，即x＝1，y＝1时该方程恒成立，所以直线AB过定点N(1,1)，
14.(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2
设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5)，
15.(多选)如图，A(2,0)，B(1,1)，C(－1,1)，D(－2,0)， 是以OD为直径的圆上一段圆弧， 是以BC为直径的圆上一段圆弧， 是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W，则下列说法正确的是
A.曲线W与x轴围成的面积等于2πB.曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)C. 所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1
曲线W上有(－2,0)，(－1,1)，(0,2)，(1,1)，(2,0)，共5个整点，故B正确； 所在的圆是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，其方程为x2＋(y－1)2＝1，故C正确；
设 与 的公切线方程为y＝kx＋t(k＜0，t＞0)，由直线和圆相切的条件可得
16.规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球A是指该球的球心点A.两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：
(1)如图1，设母球A的位置为(0,0)，目标球B的位置为(4,0)，要使目标球B向C(8，－4)处运动，求母球A的球心运动的直线方程；
点B(4,0)，C(8，－4)所在的直线方程为x＋y－4＝0，如图，可知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线x＋y－4＝0上，
(2)如图2，若母球A的位置为(0，－2)，目标球B的位置为(4,0)，让母球A击打目标球B后，能否使目标球B向C(8，－4)处运动？
假设能使目标球B向C(8，－4)处运动，
如图，设AA′与x轴的交点为D.因为A′B的斜率为－1，所以∠A′BD＝45°.
所以∠A′DB>45°.所以∠DA′B为锐角.
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