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新高考数学一轮复习课件 第6章 §6.1 数列的概念
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这是一份新高考数学一轮复习课件 第6章 §6.1 数列的概念，共60页。PPT课件主要包含了§61数列的概念，落实主干知识，探究核心题型，课时精练等内容，欢迎下载使用。
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.数列的定义按照 排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
3.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.4.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( )(2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列.( )(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( )
∴通过观察，我们可以得到如上的规律，
3.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则数列{an}的通项公式an＝________.
a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，因为a1也适合上式，所以an＝4n－5.
TANJIUHEXINTIXING
例1 (1)设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4等于A.27 B.81C.93 D.243
根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an，当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a4＝a1q3＝34＝81.
由an与Sn的关系求通项公式
(2)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝_______________.
当n＝1时，a1＝21＝2.∵a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①∴a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－1(n≥2)，②
1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________.
当n＝1时，a1＝S1＝3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.由于a1＝3适合上式，∴an＝2n＋1.
2.已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.
当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.当n≥2时，Sn＝2an＋1，①Sn－1＝2an－1＋1.②①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，∴{an}是首项为a1＝－1，公比为q＝2的等比数列.∴an＝a1·qn－1＝－2n－1.
(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝ 转化为关于an的关系式，再求通项公式.(2)Sn与an关系问题的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
跟踪训练1 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n＋1，n∈N*，则an＝_____________.
根据题意，可得Sn－1＝2(n－1)2＋(n－1)＋1.由通项公式与求和公式的关系，可得an＝Sn－Sn－1，代入化简得an＝2n2＋n＋1－2(n－1)2－(n－1)－1＝4n－1.经检验，当n＝1时，S1＝4，a1＝3，所以S1≠a1，
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则an＝________________.
由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，
命题点1 累加法例2 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ 则an等于A.2＋ln n B.2＋(n－1)ln nC.2＋nln n D.1＋n＋ln n
由数列的递推关系求通项公式
所以a2－a1＝ln 2－ln 1，a3－a2＝ln 3－ln 2，a4－a3＝ln 4－ln 3，……an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，把以上各式分别相加得an－a1＝ln n－ln 1，则an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也适合，因此an＝2＋ln n(n∈N*).
命题点2 累乘法例3 若数列{an}满足a1＝1，nan－1＝(n＋1)·an(n≥2)，则an＝______.
∴n(an＋an＋1)(2an－an＋1)＋2an(an＋an＋1)＝0，(an＋an＋1)[(2an－an＋1)·n＋2an]＝0，
又n＝1时，a1＝1适合上式，∴an＝n·2n－1.
(1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式.
跟踪训练2 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1，则an＝________.
∵an＋1＝an＋2n－1＋1，∴an＋1－an＝2n－1＋1，∴当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1
又∵a1＝2满足上式，∴an＝2n－1＋n.
(2)(2022·莆田模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为_____________.
由Sn＝n2an，可得当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2an－1，则an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，即(n2－1)an＝(n－1)2an－1，
命题点1 数列的单调性例4 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an>0，∴(n＋1)2－2λ(n＋1)－n2＋2λn＝2n＋1－2λ>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，
因此“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件.
命题点2 数列的周期性例5 (2022·广州四校联考)数列{an}满足a1＝2，an＋1＝ (n∈N*)，则a2 023等于A.－2 B.－1C.2 D.
可知此数列有周期性，周期T＝3，即an＋3＝an，则a2 023＝a1＝2.
命题点3 数列的最值例6 已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)· 则数列{an}的最大项为A.a8或a9 B.a9或a10C.a10或a11 D.a11或a12
解不等式组可得9≤n≤10.所以数列{an}的最大项为a9或a10.
1.已知数列{an}的通项公式为an＝ 若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为A.(3，＋∞) B.(2，＋∞)C.(1，＋∞) D.(0，＋∞)
由数列{an}为递减数列知，
所以k>3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞).
2.在数列{an}中，a1＝1，anan＋3＝1，则lg5a1＋lg5a2＋…＋lg5a2 023等于A.－1 B.0C.lg53 D.4
因为anan＋3＝1，所以an＋3an＋6＝1，所以an＋6＝an，所以{an}是周期为6的周期数列，所以lg5a1＋lg5a2＋…＋lg5a2 023＝lg5(a1a2…a2 023)＝lg5[(a1a2…a6)337·a1]，又因为a1a4＝a2a5＝a3a6＝1，所以a1a2…a6＝1，所以原式＝lg5(1337×1)＝lg51＝0.
(1)解决数列的单调性问题的方法用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列.(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.
(3)求数列的最大项与最小项的常用方法①函数法，利用函数的单调性求最值.
当n>5时，an>0，且单调递减；当n≤5时，an<0，且单调递减，∴当n＝5时，an最小.
KESHIJINGLIAN
所以数列{an}具有周期性，周期为4，因为T4＝a1·a2·a3·a4＝1,2 023＝4×505＋3，
4.若数列{an}的前n项和Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5等于A.8 B.16 C.32 D.64
数列{an}的前n项和Sn＝2an－1(n∈N*)，则Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，两式相减得an＝2an－1(n≥2)，由此可得，数列{an}是等比数列，又S1＝2a1－1＝a1，所以a1＝1，故数列{an}的通项公式为an＝2n－1，令n＝5，得a5＝16.
所以数列{an}是单调递增数列，
6.(多选)若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”.给出下列数列{an}(n∈N*)，其中是“差递减数列”的有
对于A，若an＝3n，则an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}不为递减数列，故A错误；对于B，若an＝n2＋1，则an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{an＋1－an}为递增数列，故B错误；
所以{an＋1－an}为递减数列，故C正确；
7.数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N*)，则an＝_____________.
∵an＋1＝3Sn(n∈N*)，∴当n＝1时，a2＝3；当n≥2时，an＝3Sn－1，∴an＋1－an＝3an，得an＋1＝4an，∴数列{an}从第二项起为等比数列，
8.(2022·临沂模拟)已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是____________.
因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1).(*)因为n∈N*，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.
(2)求{an}的通项公式.
由题设知当n＝1时，a1＝1.
10.求下列数列{an}的通项公式.(1)a1＝1，an＋1＝an＋3n；
由an＋1＝an＋3n得an＋1－an＝3n，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
(2)a1＝1，an＋1＝2nan.
当n＝1时，a1＝1满足上式，
解得2
若数列{an}是单增数列，
因此{bn}不一定是单增数列，A正确；
C正确，最小值为b1.
由题意知，a1·a2·…·ak是{an}的前n项乘积的最大值，所以k＝5.
15.(多选)若数列{an}满足a1＝1，a2＝3，anan－2＝an－1(n≥3)，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的有A.Tn无最大值 B.an有最大值C.T2 023＝1 D.a2 023＝1
因为a1＝1，a2＝3，anan－2＝an－1(n≥3)，
因此数列{an}为周期数列，an＋6＝an，an有最大值3，a2 023＝a1＝1，因为T1＝1，T2＝3，T3＝9，T4＝9，T5＝3，T6＝1，T7＝1，T8＝3，…，所以{Tn}为周期数列，Tn＋6＝Tn，Tn有最大值9，T2 023＝T1＝1.
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…＞an>1(n∈N*).∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围.
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.数列的定义按照 排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
3.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.4.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( )(2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列.( )(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( )
∴通过观察，我们可以得到如上的规律，
3.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则数列{an}的通项公式an＝________.
a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，因为a1也适合上式，所以an＝4n－5.
TANJIUHEXINTIXING
例1 (1)设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4等于A.27 B.81C.93 D.243
根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an，当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a4＝a1q3＝34＝81.
由an与Sn的关系求通项公式
(2)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝_______________.
当n＝1时，a1＝21＝2.∵a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①∴a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－1(n≥2)，②
1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________.
当n＝1时，a1＝S1＝3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.由于a1＝3适合上式，∴an＝2n＋1.
2.已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.
当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.当n≥2时，Sn＝2an＋1，①Sn－1＝2an－1＋1.②①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，∴{an}是首项为a1＝－1，公比为q＝2的等比数列.∴an＝a1·qn－1＝－2n－1.
(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝ 转化为关于an的关系式，再求通项公式.(2)Sn与an关系问题的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
跟踪训练1 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n＋1，n∈N*，则an＝_____________.
根据题意，可得Sn－1＝2(n－1)2＋(n－1)＋1.由通项公式与求和公式的关系，可得an＝Sn－Sn－1，代入化简得an＝2n2＋n＋1－2(n－1)2－(n－1)－1＝4n－1.经检验，当n＝1时，S1＝4，a1＝3，所以S1≠a1，
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则an＝________________.
由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，
命题点1 累加法例2 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ 则an等于A.2＋ln n B.2＋(n－1)ln nC.2＋nln n D.1＋n＋ln n
由数列的递推关系求通项公式
所以a2－a1＝ln 2－ln 1，a3－a2＝ln 3－ln 2，a4－a3＝ln 4－ln 3，……an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，把以上各式分别相加得an－a1＝ln n－ln 1，则an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也适合，因此an＝2＋ln n(n∈N*).
命题点2 累乘法例3 若数列{an}满足a1＝1，nan－1＝(n＋1)·an(n≥2)，则an＝______.
∴n(an＋an＋1)(2an－an＋1)＋2an(an＋an＋1)＝0，(an＋an＋1)[(2an－an＋1)·n＋2an]＝0，
又n＝1时，a1＝1适合上式，∴an＝n·2n－1.
(1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式.
跟踪训练2 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1，则an＝________.
∵an＋1＝an＋2n－1＋1，∴an＋1－an＝2n－1＋1，∴当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1
又∵a1＝2满足上式，∴an＝2n－1＋n.
(2)(2022·莆田模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为_____________.
由Sn＝n2an，可得当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2an－1，则an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，即(n2－1)an＝(n－1)2an－1，
命题点1 数列的单调性例4 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an>0，∴(n＋1)2－2λ(n＋1)－n2＋2λn＝2n＋1－2λ>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，
因此“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件.
命题点2 数列的周期性例5 (2022·广州四校联考)数列{an}满足a1＝2，an＋1＝ (n∈N*)，则a2 023等于A.－2 B.－1C.2 D.
可知此数列有周期性，周期T＝3，即an＋3＝an，则a2 023＝a1＝2.
命题点3 数列的最值例6 已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)· 则数列{an}的最大项为A.a8或a9 B.a9或a10C.a10或a11 D.a11或a12
解不等式组可得9≤n≤10.所以数列{an}的最大项为a9或a10.
1.已知数列{an}的通项公式为an＝ 若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为A.(3，＋∞) B.(2，＋∞)C.(1，＋∞) D.(0，＋∞)
由数列{an}为递减数列知，
所以k>3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞).
2.在数列{an}中，a1＝1，anan＋3＝1，则lg5a1＋lg5a2＋…＋lg5a2 023等于A.－1 B.0C.lg53 D.4
因为anan＋3＝1，所以an＋3an＋6＝1，所以an＋6＝an，所以{an}是周期为6的周期数列，所以lg5a1＋lg5a2＋…＋lg5a2 023＝lg5(a1a2…a2 023)＝lg5[(a1a2…a6)337·a1]，又因为a1a4＝a2a5＝a3a6＝1，所以a1a2…a6＝1，所以原式＝lg5(1337×1)＝lg51＝0.
(1)解决数列的单调性问题的方法用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列.(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.
(3)求数列的最大项与最小项的常用方法①函数法，利用函数的单调性求最值.
当n>5时，an>0，且单调递减；当n≤5时，an<0，且单调递减，∴当n＝5时，an最小.
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所以数列{an}具有周期性，周期为4，因为T4＝a1·a2·a3·a4＝1,2 023＝4×505＋3，
4.若数列{an}的前n项和Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5等于A.8 B.16 C.32 D.64
数列{an}的前n项和Sn＝2an－1(n∈N*)，则Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，两式相减得an＝2an－1(n≥2)，由此可得，数列{an}是等比数列，又S1＝2a1－1＝a1，所以a1＝1，故数列{an}的通项公式为an＝2n－1，令n＝5，得a5＝16.
所以数列{an}是单调递增数列，
6.(多选)若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”.给出下列数列{an}(n∈N*)，其中是“差递减数列”的有
对于A，若an＝3n，则an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}不为递减数列，故A错误；对于B，若an＝n2＋1，则an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{an＋1－an}为递增数列，故B错误；
所以{an＋1－an}为递减数列，故C正确；
7.数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N*)，则an＝_____________.
∵an＋1＝3Sn(n∈N*)，∴当n＝1时，a2＝3；当n≥2时，an＝3Sn－1，∴an＋1－an＝3an，得an＋1＝4an，∴数列{an}从第二项起为等比数列，
8.(2022·临沂模拟)已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是____________.
因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1).(*)因为n∈N*，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.
(2)求{an}的通项公式.
由题设知当n＝1时，a1＝1.
10.求下列数列{an}的通项公式.(1)a1＝1，an＋1＝an＋3n；
由an＋1＝an＋3n得an＋1－an＝3n，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
(2)a1＝1，an＋1＝2nan.
当n＝1时，a1＝1满足上式，
解得2
若数列{an}是单增数列，
因此{bn}不一定是单增数列，A正确；
C正确，最小值为b1.
由题意知，a1·a2·…·ak是{an}的前n项乘积的最大值，所以k＝5.
15.(多选)若数列{an}满足a1＝1，a2＝3，anan－2＝an－1(n≥3)，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的有A.Tn无最大值 B.an有最大值C.T2 023＝1 D.a2 023＝1
因为a1＝1，a2＝3，anan－2＝an－1(n≥3)，
因此数列{an}为周期数列，an＋6＝an，an有最大值3，a2 023＝a1＝1，因为T1＝1，T2＝3，T3＝9，T4＝9，T5＝3，T6＝1，T7＝1，T8＝3，…，所以{Tn}为周期数列，Tn＋6＝Tn，Tn有最大值9，T2 023＝T1＝1.
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…＞an>1(n∈N*).∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围.
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