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新高考数学一轮复习课件 第5章 §5.1 平面向量的概念及线性运算
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这是一份新高考数学一轮复习课件 第5章 §5.1 平面向量的概念及线性运算，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练等内容，欢迎下载使用。
§5.1 平面向量的概念及线性运算
1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的__________.(2)零向量：长度为 的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于 长度的向量.(4)平行向量：方向相同或 的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向 的向量.(6)相反向量：长度相等且方向 的向量.
3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得________.
5.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( )(2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( )(3)若向量 是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.( )(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.( )
1.(多选)下列命题中，正确的是A.若a与b都是单位向量，则a＝bB.直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量C.若用有向线段表示的向量 不相等，则点M与N不重合D.海拔、温度、角度都不是向量
A错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B错误，由于只有方向，没有大小，故x轴、y轴不是向量；C正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量.
2.下列各式化简结果正确的是
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝______.
由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
TANJIUHEXINTIXING
例1 (1)(多选)给出下列命题，不正确的有A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B.若A，B，C，D是不共线的四点，且 ，则四边形ABCD为平行 四边形C.a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥bD.已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线.
(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是
(多选)下列命题为真命题的是A.若a与b为非零向量，且a∥b，则a＋b必与a或b平行B.若e为单位向量，且a∥e，则a＝|a|eC.两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且反向D.“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件
平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.
跟踪训练1 (1)(多选)下列命题正确的是A.零向量是唯一没有方向的向量B.零向量的长度等于0C.若a，b都为非零向量，则使 ＝0成立的条件是a与b反向共线D.若a＝b，b＝c，则a＝c
A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
即a与b是反向共线时才成立，故C正确；D项，由向量相等的定义知D正确.
(2)对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
若a＋b＝0，则a＝－b，则a∥b，即充分性成立；若a∥b，则a＝－b不一定成立，即必要性不成立，即“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件.
例2 (2022·济南模拟)已知单位向量e1，e2，…，e2 023，则|e1＋e2＋…＋e2 023|的最大值是________，最小值是________.
命题点1 向量加、减法的几何意义
2 023 0
当单位向量e1，e2，…，e2 023方向相同时，|e1＋e2＋…＋e2 023|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2 023|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2 023|＝2 023；当单位向量e1，e2，…，e2 023首尾相连时，e1＋e2＋…＋e2 023＝0，所以|e1＋e2＋…＋e2 023|的最小值为0.
例3 (多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E是BC边上一点，且 ，F是AE的中点，则下列关系式正确的是
命题点2 向量的线性运算
例4 (2022·青岛模拟)已知平面四边形ABCD满足
命题点3 根据向量线性运算求参数
如图所示，易知BC＝4AD，CE＝2AD，
如图所示，∵D为BC的中点，
平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.
跟踪训练2 (1)点G为△ABC的重心，设
例5 设两向量a与b不共线.
又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线.
∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.
1.已知P是△ABC所在平面内一点，且满足 若S△ABC＝6，则△PAB的面积为A.2 B.3C.4 D.8
2.设两个非零向量a与b不共线，若a与b的起点相同，且a，tb， (a＋b)的终点在同一条直线上，则实数t的值为________.
又a，b为两个不共线的非零向量，
利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(3) (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
跟踪训练3 (1)若a，b是两个不共线的向量，已知 ＝a－2b， ＝2a＋kb， ＝3a－b，若M，N，Q三点共线，则k等于
因为M，N，Q三点共线，故存在实数λ，
即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，解得λ＝1，k＝1.
因为线段CO与线段AB交于点D，所以O，C，D三点共线，
因为A，B，D三点共线，
所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞).
KESHIJINGLIAN
利用向量运算，易知A，D中的式子结果为零向量.
1.(多选)下列选项中的式子，结果为零向量的是
2.若a，b为非零向量，则“ ”是“a，b共线”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
由a＋b＝b，所以B不正确，C正确；由|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，所以|a＋b|＝|a|＋|b|，所以D正确.
3.设a＝ ，b是一个非零向量，则下列结论不正确的是A.a∥b B.a＋b＝aC.a＋b＝b D.|a＋b|＝|a|＋|b|
4.(2022·汕头模拟)下列命题中正确的是A.若a∥b，则存在唯一的实数λ使得a＝λbB.若a∥b，b∥c，则a∥cC.若a·b＝0，则a＝0或b＝0D.|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|
若a∥b，且b＝0，则可有无数个实数λ使得a＝λb，故A错误；若a∥b，b∥c(b≠0)，则a∥c，若b＝0，则a，c不一定平行，故B错误；若a·b＝0，也可以为a⊥b，故C错误；根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知，|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|成立，故D正确.
6.下列说法正确的是B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反D.向量的模是一个正实数
B项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；C项，向量a与b平行时，若a或b为零向量，不满足条件，故错误；D项，向量的模是一个非负实数，故错误.
连接AE(图略)，因为F为DE的中点，
所以B，D正确，A错误；
9.(2022·太原模拟)已知不共线向量a，b， ＝2a＋3b，若A，B，C三点共线，则实数t＝__________.
所以ta－b＝k(2a＋3b)＝2ka＋3kb，即(t－2k)a＝(3k＋1)b.
如图，设F为BC的中点，
又G，D，E三点共线，
在△AEF中，∠AFE＝120°，AF＝EF＝2，
12.在平行四边形ABCD中，点M为BC边的中点， 则λ＋μ＝________.
13.(多选)点P是△ABC所在平面内一点，且满足＝0，则△ABC不可能是A.钝角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形
则△ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形.
14.在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且 (λ∈R)，则λ＝________，AD的长为________.
如图，过D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，
∵B，D，C三点共线，
∵在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，∴四边形AMDN是菱形，∵AB＝4，∴AN＝AM＝3，
又D为BC的中点，M为AC的中点，
则P，D，M三点共线且D为PM的中点，又D为BC的中点，所以四边形CPBM为平行四边形.
设BC的中点为D，AC的中点为M，连接PD，MD，BM，如图所示，
所以△AMB为等边三角形，∠BAC＝60°，
16.若 ＝0，S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，则S△AOC∶S△ABC＝________.
§5.1 平面向量的概念及线性运算
1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的__________.(2)零向量：长度为 的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于 长度的向量.(4)平行向量：方向相同或 的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向 的向量.(6)相反向量：长度相等且方向 的向量.
3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得________.
5.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( )(2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( )(3)若向量 是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.( )(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.( )
1.(多选)下列命题中，正确的是A.若a与b都是单位向量，则a＝bB.直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量C.若用有向线段表示的向量 不相等，则点M与N不重合D.海拔、温度、角度都不是向量
A错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B错误，由于只有方向，没有大小，故x轴、y轴不是向量；C正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量.
2.下列各式化简结果正确的是
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝______.
由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
TANJIUHEXINTIXING
例1 (1)(多选)给出下列命题，不正确的有A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B.若A，B，C，D是不共线的四点，且 ，则四边形ABCD为平行 四边形C.a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥bD.已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线.
(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是
(多选)下列命题为真命题的是A.若a与b为非零向量，且a∥b，则a＋b必与a或b平行B.若e为单位向量，且a∥e，则a＝|a|eC.两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且反向D.“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件
平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.
跟踪训练1 (1)(多选)下列命题正确的是A.零向量是唯一没有方向的向量B.零向量的长度等于0C.若a，b都为非零向量，则使 ＝0成立的条件是a与b反向共线D.若a＝b，b＝c，则a＝c
A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
即a与b是反向共线时才成立，故C正确；D项，由向量相等的定义知D正确.
(2)对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
若a＋b＝0，则a＝－b，则a∥b，即充分性成立；若a∥b，则a＝－b不一定成立，即必要性不成立，即“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件.
例2 (2022·济南模拟)已知单位向量e1，e2，…，e2 023，则|e1＋e2＋…＋e2 023|的最大值是________，最小值是________.
命题点1 向量加、减法的几何意义
2 023 0
当单位向量e1，e2，…，e2 023方向相同时，|e1＋e2＋…＋e2 023|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2 023|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2 023|＝2 023；当单位向量e1，e2，…，e2 023首尾相连时，e1＋e2＋…＋e2 023＝0，所以|e1＋e2＋…＋e2 023|的最小值为0.
例3 (多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E是BC边上一点，且 ，F是AE的中点，则下列关系式正确的是
命题点2 向量的线性运算
例4 (2022·青岛模拟)已知平面四边形ABCD满足
命题点3 根据向量线性运算求参数
如图所示，易知BC＝4AD，CE＝2AD，
如图所示，∵D为BC的中点，
平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.
跟踪训练2 (1)点G为△ABC的重心，设
例5 设两向量a与b不共线.
又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线.
∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.
1.已知P是△ABC所在平面内一点，且满足 若S△ABC＝6，则△PAB的面积为A.2 B.3C.4 D.8
2.设两个非零向量a与b不共线，若a与b的起点相同，且a，tb， (a＋b)的终点在同一条直线上，则实数t的值为________.
又a，b为两个不共线的非零向量，
利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(3) (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
跟踪训练3 (1)若a，b是两个不共线的向量，已知 ＝a－2b， ＝2a＋kb， ＝3a－b，若M，N，Q三点共线，则k等于
因为M，N，Q三点共线，故存在实数λ，
即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，解得λ＝1，k＝1.
因为线段CO与线段AB交于点D，所以O，C，D三点共线，
因为A，B，D三点共线，
所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞).
KESHIJINGLIAN
利用向量运算，易知A，D中的式子结果为零向量.
1.(多选)下列选项中的式子，结果为零向量的是
2.若a，b为非零向量，则“ ”是“a，b共线”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
由a＋b＝b，所以B不正确，C正确；由|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，所以|a＋b|＝|a|＋|b|，所以D正确.
3.设a＝ ，b是一个非零向量，则下列结论不正确的是A.a∥b B.a＋b＝aC.a＋b＝b D.|a＋b|＝|a|＋|b|
4.(2022·汕头模拟)下列命题中正确的是A.若a∥b，则存在唯一的实数λ使得a＝λbB.若a∥b，b∥c，则a∥cC.若a·b＝0，则a＝0或b＝0D.|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|
若a∥b，且b＝0，则可有无数个实数λ使得a＝λb，故A错误；若a∥b，b∥c(b≠0)，则a∥c，若b＝0，则a，c不一定平行，故B错误；若a·b＝0，也可以为a⊥b，故C错误；根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知，|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|成立，故D正确.
6.下列说法正确的是B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反D.向量的模是一个正实数
B项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；C项，向量a与b平行时，若a或b为零向量，不满足条件，故错误；D项，向量的模是一个非负实数，故错误.
连接AE(图略)，因为F为DE的中点，
所以B，D正确，A错误；
9.(2022·太原模拟)已知不共线向量a，b， ＝2a＋3b，若A，B，C三点共线，则实数t＝__________.
所以ta－b＝k(2a＋3b)＝2ka＋3kb，即(t－2k)a＝(3k＋1)b.
如图，设F为BC的中点，
又G，D，E三点共线，
在△AEF中，∠AFE＝120°，AF＝EF＝2，
12.在平行四边形ABCD中，点M为BC边的中点， 则λ＋μ＝________.
13.(多选)点P是△ABC所在平面内一点，且满足＝0，则△ABC不可能是A.钝角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形
则△ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形.
14.在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且 (λ∈R)，则λ＝________，AD的长为________.
如图，过D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，
∵B，D，C三点共线，
∵在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，∴四边形AMDN是菱形，∵AB＝4，∴AN＝AM＝3，
又D为BC的中点，M为AC的中点，
则P，D，M三点共线且D为PM的中点，又D为BC的中点，所以四边形CPBM为平行四边形.
设BC的中点为D，AC的中点为M，连接PD，MD，BM，如图所示，
所以△AMB为等边三角形，∠BAC＝60°，
16.若 ＝0，S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，则S△AOC∶S△ABC＝________.
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