新高考数学一轮复习课件 第4章 §4.4　简单的三角恒等变换

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§4.4　简单的三角恒等变换
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin 2α＝ .(2)公式C2α：cs 2α＝ ＝ ＝ .(3)公式T2α：tan 2α＝ .2.常用的部分三角公式(1)1－cs α＝ ，1＋cs α＝ .(升幂公式)(2)1±sin α＝ .(升幂公式)(3)sin2α＝ ，cs2α＝ ，tan2α＝ .(降幂公式)
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.(　　)(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
又cs 2<0，所以可得选项D正确.
TANJIUHEXINTIXING
由3cs 2α－8cs α＝5，得3(2cs2α－1)－8cs α＝5，即3cs2α－4cs α－4＝0，
又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，
所以原式＝－cs θ.
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点.
∴sin 2＋cs 2>0，∴原式＝2(sin 2＋cs 2)－2cs 2＝2sin 2.
＝2|sin 2＋cs 2|＋2|cs 2|.
(2)cs 20°·cs 40°·cs 100°＝ .
cs 20°·cs 40°·cs 100°＝－cs 20°·cs 40°·cs 80°
因为α为锐角，所以0<2α<π.
所以cs(A＋B)＝cs Acs B－sin Asin B
所以A＋B∈(π，2π)，
根据同角三角函数基本关系式，
由两角差的正弦公式，可得
(1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.(2)给值(角)求值问题的一般步骤①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；③将已知条件代入所求式子，化简求值.
由2sin 2α＝cs 2α＋1，得4sin αcs α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcs α＝1－sin2α.
三角恒等变换的综合应用
cs 2θ＝cs2θ－sin2θ
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.(2)形如y＝asin x＋bcs x化为y＝ sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.
KESHIJINGLIAN
所以sin(30°－2α)＝cs(60°＋2α)
2sin 195°cs 195°＝2sin(180°＋15°)cs(180°＋15°)＝2sin 15°cs 15°＝sin 30°＝ ，故C正确；
设∠PAB＝α，连接PB.∵AB是圆的直径，∴∠APB＝90°.又AB＝1，∴PA＝cs α，PB＝sin α.∵PC是圆的切线，∴∠BPC＝α.又PC＝1，∴S四边形ABCP＝S△APB＋S△BPC
因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cs218°，
由任意角的三角函数的定义得，sin α＝b，cs α＝a.
∵tan α＝tan [(α－β)＋β]
因为f(x)＝2(1＋cs x)sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，x>－1，所以函数f(x)的零点个数为函数y＝sin 2x(x>－1)与y＝|ln(x＋1)|(x>－1)图象的交点的个数，作出两函数的图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点.
16.如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
如图，连接OB，设∠AOB＝θ，则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcs θ＝20cs θ，
因为A，D关于原点O对称，所以AD＝2OA＝40cs θ.设矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝40cs θ·20sin θ＝400sin 2θ.