2023版考前三个月冲刺专题练　第29练　证明、探究性问题【无答案版】

第29练　证明、探究性问题

[考情分析]　解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，证明问题和探究性问题是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较大，多次以压轴题出现．

一、证明问题

例1　(2022·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±x.

(1)求C的方程；

(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

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规律方法　圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系．

跟踪训练1　(2022·湖南师大附中模拟)已知F为抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，直线l：y＝2x＋1与C交于A，B两点．且|AF|＋|BF|＝20.

(1)求C的方程；

(2)设动直线m平行于直线l，且与C交于M，N两点，直线AM与BN相交于点T，证明：点T在一条定直线上．

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二、探究性问题

例2　(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2,0)，且⊙M与l相切．

(1)求C，⊙M的方程；

(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．

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规律方法　存在性问题的求解策略

解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．

(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．

(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．

(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．

跟踪训练2　(2022·上饶模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点(2，a)到准线的距离为a.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设P(0，－2)，O为坐标原点，过点T(0,2)的直线l与抛物线C交于不同的A，B两点，问：是否存在直线l，使得·＝·，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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