2023年北京市东城高三一模数学试题及答案解析

这是一份2023年北京市东城高三一模数学试题及答案解析，共10页。试卷主要包含了001），可得 N 的值为，041，5 分等内容，欢迎下载使用。

本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
已知集合 A  {x | x2  2  0}，且 a  A ，则 a 可以为
（A） 2
3
（C）
2
（2z
（B） 1
2
（D）
(3, 1) ，则 z 
）在复平面内，复数
i
1 3i
（C） 3 i
对应的点的坐标是
（B） 3  i
（D） 13i
抛物线 x2  4 y 的准线方程为
（A） x 1
（C） y  1
4
x  1
（D） y  1
已知 x  0 ，则 x  4 的最小值为
x
（A） 2
0
2
1（D） 2
在△ ABC 中， a  2 6 ， b  2c ， cs A  1 ，则 S
（A） 3 15
2
15

​
4
15
2
△ABC
4
设 m, n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，且m   ， “ n   ”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
，则“ m  n ”是
充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
过坐标原点作曲线 y  ex2 1 的切线，则切线方程为
y  x（B） y  2x
y  1 x
e2
y  ex
CP  DP
已知正方形 ABCD 的边长为 2， P 为正方形 ABCD 内部（不含边界）的动点，且满足 PA  PB  0 ，则
的取值范围是
（A） (0,8]（B）[0,8)
（C） (0, 4]（D）[0, 4)
已知 a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a5 成等比数列，且 1 和 4 为其中的两项，则 a5 的最小值为
（A） 64
1
（C）
64
1
​
8
8
恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就．其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数 N 的70 次方是一个83 位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到 0.001），可得 N 的值为
（A）13（B）14
（C）15（D）16
第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题 共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
函数 f (x)  1 x ln x 的定义域是．
在(x  a )6 的展开式中， x2 的系数为60 ，则实数a =．
x
M
2
3
7
11
13
lg M
0.301
0.477
0.845
1.041
1.114
2
已知双曲线 x
a2
2
y
 1(a  0,b  0) 的一个焦点为( 5, 0) ，且与直线 y  2x 没有公共点，则双曲线
b2
的方程可以为．
Sn
已知数列{a } 各项均为正数， a  3a ， S 为其前 n 项和.若{} 是公差为 1 的等差数列，则
n21
a1  ， an  .
n2
已知函数 f (x)  
sin( 
2
x   ) (  0, 0    ) 的部分图象如图 1 所示， A, B 分别为图象的最高
10
点和最低点，过 A 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 A,点C 为该部分图象与 x 轴的交点.将绘有该图象的纸片沿 x 轴折成直二面角，如图 2 所示，此时 AB ，则  .

给出下列四个结论：
①  ；
3
②图 2 中， AB  AC  5 ；
③图 2 中，过线段 AB 的中点且与 AB 垂直的平面与 x 轴交于点C ；
④图 2 中， S 是△ ABC 及其内部的点构成的集合.设集合T {Q  S AQ  2} ，则T 表示的区域

的面积大于 .
4
其中所有正确结论的序号是.
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
已知函数 f (x)  sin x  sin(x 
求 f (x) 的最小正周期;
) . 3
若 x   是函数 y  f (x)  f (x  ) (  0) 的一个零点，求 的最小值.
6
（17）（本小题 13 分）
甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了 6 次测试，乙进行了
7 次测试．每次测试满分均为 100 分，达到 85 分及以上为优秀，两位同学的测试成绩如下表：
从甲、乙两名同学共进行的 13 次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过 90 分的概率；
从甲同学进行的 6 次测试中随机选取 4 次，设 X 表示这 4 次测试成绩达到优秀的次数，求 X 的分布列及数学期望 EX ；
从乙同学进行的 7 次测试中随机选取 3 次，设Y 表示这 3 次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望 EY 与（Ⅱ）中 EX 的大小．（结论不要求证明）
（18）（本小题 15 分）
如图，在长方体 ABCD  A1B1C1D1 中， AA1  AD  2 ， BD1 和 B1D 交于点 E ， F 为 AB 的中点.
求证： EF 平面 ADD1 A1 ；
再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求
平面CEF 与平面 BCE 的夹角的余弦值；
点 A 到平面CEF 的距离.条件①： CE  B1D ；
条件②： B D 与平面 BCC B 所成角为  .
11 14
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
次数
学生
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
甲
80
78
82
86
95
93

乙
76
81
80
85
89
96
94
（19）（本小题 15 分）
已知函数 f (x)  ax2  x ln x .
当 a  0 时，求 f (x) 的单调递增区间；
设直线l 为曲线 y  f (x) 的切线，当 a  e 时，记直线l 的斜率的最小值为 g(a) ，求 g(a) 的
2
最小值；
当 a  0 时，设 M {y y  f (x), x ( 1 , 3 )}， N {y y  f (x), x ( 1 , 1 )}，求证： M ⫋ N .
2a 4a4a 2a
（20）（本小题 14 分）
6
x2y2e 
已知椭圆 E :
 1 (a  b  0) 的一个顶点为 A(0,1) ，离心率．
a2b23
求椭圆 E 的方程；
过点 P(
M , N ．
3,1) 作斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B, C ，直线 AB, AC 分别与 x 轴交于点
MD
MN
设椭圆的左顶点为 D ，求
的值.
, n)
（21）（本小题 15 分）
已知数表 A
  a11
a12
a1n  中的项 a
(i  1 , 2 ;
j  1, 2,
互不相同，且满足下列条件：
2n aaa ij
 21222n 
① aij 1，2， ，2n ；
1m
② (1)m1(a
 a2m
)  0(m  1，2 ， ，n) .
则称这样的数表 A2n 具有性质 P .
若数表 A22 具有性质P ，且 a12  4 ，写出所有满足条件的数表 A22 ，并求出 a11  a12 的值；
对于具有性质 P 的数表 A2n ，当 a11  a12  a1n 取最大值时，求证：存在正整数 k (1  k  n) ，使得
a1k  2n ；
（Ⅲ）对于具有性质 P 的数表 A2n ，当 n 为偶数时，求 a11  a12  a1n 的最大值.
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11） (0,1]（12） 2
参考答案及评分标准
2023.3
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）B（2）A（3）D
（4）B
（5）C
（6）B（7）A（8）D
（9）B
（10）C
2y2
111
（13） x  1 4
(答案不唯一)（14）
n 
424
3
（15）② ③
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
3
（16）（共 13 分）
解 ：（ Ⅰ ） 因 为
f (x)  sin x  sin(x  ) = sin x  1 sin x 3 cs x =sin x 3 cs x =
3 sin（x  ）
6
32222
所以 f (x) 的最小正周期为26 分
（Ⅱ）由题设， y  f (x)  f (x  ) 
3 sin(x  )  3 sin(x    ) ，由 x   是该函数零
点可知，
666
3 sin(   )  3 sin(    +)  0 ，即sin(   ) 3 .
666632
故 + =  +2k, k  Z 或 + =  +2k, k  Z ，
3333
解得  2k, k  Z 或    2k k  Z .
3
因为  0 ，所以 的最小值为 .………13 分
3
（17）（共 13 分）
解：（Ⅰ）从甲、乙两名同学共进行的 13 次测试中随机选取一次，有 13 种等可能的情形，其中有 4 次成
绩超过 90 分．则从甲、乙两名同学共进行的 13 次测试中随机选取一次，该次成绩超过 90 分的概率为
4
． …3 分
13
随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3.
C1C31
P( X  1)  3 3 ；
C
5
4
6
C2C23
P( X  2)  3 3 ；
C
5
4
6
C3C11
C
4
P( X  3)  3 3  .
65
则随机变量 X 的分布列为：
1
2
3
X
131
P555
故随机变量 X 的数学期望 EX  1 1  2  3  3 1  2 ．………11 分
555
EX  EY ．………13 分
（18）（共 15 分）
解：（Ⅰ）连接 AD1 ， B1D1 ， BD .
因为长方体 ABCD  A1B1C1D1 中, BB1 ∥ DD1 且 BB1  DD1 ，所以四边形 BB1D1D 为平行四边形.
所以 E 为 BD1 的中点，
在△ ABD1 中，因为 E ， F 分别为 BD1 和 AB 的中点，所以 EFAD1 .
因为 EF 平面 ADD1 A1 ， AD1  平面 ADD1 A1 ，
所以 EF 平面 ADD1 A1 .6 分
选条件①： CE  B1D .
连接 B1C .
2
因为长方体中 AA1  AD  2 ，所以 B1C  2.
在△ CBD1 中,因为 E 为 B1D 的中点， CE  B1D ，
2
所以CD  B1C  2.
2
如图建立空间直角坐标系 D  xyz ，因为长方体中 A1A  AD  2 , CD  2，
则 D(0,0,0) ，
E(1, 2,1) .
A(2, 0, 0) ， C(0,2 2,0) ， B(2,2 2,0) ， F(2, 2,0) ， B1(2, 2 2, 2) ，
所以CE  (1, 
2,1) ， CF  (2, 
2,0) ， CB  (2,0,0) .
设平面CEF 的法向量为m  (x1, y1, z1) ，
z
m CE  0,
则
x1 
即
2y1  z1  0,
m CF  0,
 2x1 
2 y1  0.
令 x1  1 ，则 y1 2 ， z1  1 ，可得 m  (1, 2,1) .
设平面 BCE 的法向量为 n  (x2 , y2 , z2 ) ，
y
n  CE  0,
x2 
2 y2  z2  0,

则即
n  CB  0,
2x2
 0.x
2
令 y2  1 ，则 x2  0 ， z2 ，所以 n  (0,1, 2) .
设平面CEF 与平面 BCE 的夹角为 ，
6
| m  n |
则cs | cs  m, n |.
| m || n |3
所以平面CEF 与平面 BCE 的夹角的余弦值为 6 .
3
因为 AF  (0, 2,0)，
AF  m |
|
所以点 A 到平面CEF 的距离为 d  1.15 分
| m |
选条件②： B D 与平面 BCC B 所成角为  .
11 14
连接 B1C .
因为长方体 ABCD  A1B1C1D1 中， CD 平面 BCC1B1 ， B1C  平面 BCC1B1 ，所以CD  B1C .
所以DB C 为直线 B D 与平面 BCC B 所成角，即DB C   .
111 114
所以△ DB1C 为等腰直角三角形.
2
因为长方体中 AA1  AD  2 ，所以 B1C  2.
2
所以CD  B1C  2.
以下同选条件① .
（19）（共 15 分）
解：（Ⅰ）当 a  0 时， f (x)  x ln x ，定义域为(0, ) .
f (x)  ln x 1 ，
令 f (x)  0 ，得 x  1 ，
e
当 x 
1
(0, )
e
时， f (x)  0 ，
当 x 
1
( , +
e
) 时， f (x)  0 ，
1
所以 f (x) 的单调递增区间为(0, ) .5 分
e
（Ⅱ）令 h(x)  f (x)  2ax  ln x 1 ，
则 h(x)  2a  1  2ax 1 .
xx
当 a  e 时，令 h(x)  0 ，得 x  1 .
22a
当 x (0, 1 ) 时， h(x)  0 ， h(x) 单调递减；
2a
当 x ( 1 , ) 时， h(x)  0 ， h(x) 单调递增；
2a
所以当 x  1
2a
时， h(x) 最小值为 g(a)  h( 1 )  ln(2a) .
2a
当 a  e 时， ln(2a) 的最小值为 1，
2
所以 g(a) 的最小值为1.11 分
由（Ⅱ）知 f (x) 在[ 1 , 1 ] 上单调递减，在[ 1 , 3 ] 上单调递增,
4a 2a2a 4a
又 f ( 3 )  1  ln 3 ， f ( 1 )   1  ln 1 ，
4a24a4a24a
所以 M  (ln(2a), 1  ln 3 ) ， N  (ln(2a),  1  ln 1 ) ，
24a24a
( 1  ln 1 )  (1  ln
3 )  ln
3  ln 1
1  ln 3 1  0 ，
24a
24a
4a4a
所以 M ⫋ N .15 分
（20）（共 14 分）
b  1,
6
 c
 a
解：（Ⅰ）由题设，得 ,
3
解得 a  3 .
a2  b2  c2.
x22
所以椭圆 E 的方程为 y
3
 1．5 分
（Ⅱ）直线 BC 的方程为 y  1  k (x 
3) ．
由 y 1  k(x  3),
得(3k 2  1)x2  (6 3k 2  6k)x  9k 2  6 3k  0 ．

x2  3y2  3
由   (6 3k 2  6k)2  4  (3k 2  1)  (9k 2  6 3k)  0 ，得k  0 ．
设 B(x1, y1 ), C(x2 , y2 ) ，则 x1  x2  
直线 AB 的方程为 y  y1 1 x 1 ．
x1
6 3k 2  6k
3k 2  1
， x1 x2 
9k 2  6 3k
．
3k 2  1
令 y  0 ，得点 M 的横坐标为 xM
  x1 x1．
k (x1  3)
y 1
1
k (x2  3)
同理可得点 N 的横坐标为 x   x2 x2．
y
2
N1
x1  3
x2  3
x  x   1 (x1x2)
MNk
2x1x2  3(x1  x2 )
x1x2  3(x1  x2 )  3
  1 
k
  1  2(
9k 2  6 3k
3k 2  1 ) 
3(
6 3k 2  6k
3k 2  1 )
k 9k 2  6 3k 
3k 2  1
3(
6 3k 2  6k
3k 2  1
)  3
3
  1  6 3k  2．
k3
因为点 D 坐标为(
MD
MN
1
3, 0) ，则点 D 为线段 MN 的中点，
所以
．14 分
2
（21）（共 15 分）
 14   1 4   2 4 
  
解：（Ⅰ）满足条件的数表 A22 为 2 3 ， 3 2 ， 3 1  ，所以 a11  a12 的值分别为 5，5，6.5 分
若当 a11  a12  a1n 取最大值时，存在1  j  n ，使得 a2 j  2n .
由数表 A2n 具有性质P 可得 j 为奇数，
不妨设此时数表为 A
  a11
a12
a1n  .
2n 2naa 
222n 
①若存在 a1k (k为偶数，1  k  n) ，使得 a1k  a11 ，交换 a1k 和 2n 的位置，所得到的新数表也具有性质 P ，
调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在1  i  n ，使得 a1i  2n .
②若对任意的 a1k (k为偶数，1  k  n) ，都有 a1k  a11 ，交换 a12 和 a11 的位置，所得到的新数表也具有性质 P ，此时转化为①的情况.
综上可知，存在正整数 k(1  k  n)，使得 a1k  2n .10 分
当 n 为偶数时，令 n  2k ，对任意具有性质P 数表 A
  a11
a12
a1n  ，
2n aaa 
 21222n 
一方面， (a12  a22 )  (a14  a24 )  (a1,2k  a2,2k ) ≤(4k 1)  (4k  3)  (2k 1) ，
因此(a  a  a) ≤ (a  a  a
)  3k 2 ．①
12141,2k22242,2k
另一方面， a2i  a1i ≥1(i  1，3，5， ，n 1) ，
因此(a11  a13  a1,2k1) ≤(a21  a23  a2,2k1)  k .②记 S1  a11  a12  a1,2n , S2  a21  a22  a2,2n ．
由①+②得 S1 ≤ S2
2
 3k 2  k .
11k 2  k
又 S1  S2  8k
 2k ，可得 S1 ≤2.
构造数表
A   k  1 4kk  3 4k 1
k  5 4k  2
k  7 4k  33k  2 3k 1 3k  1
2n k  21
k  42
k  63
k  84
k 13kk

可知数表 A2n 具有性质 P ，且 S1 
11k 2  k
2
11n2  2n

.
8
11n2  2n
综上可知，当 n 为偶数时， a11  a12  a1n 的最大值为8
.15 分