中考数学专题复习 专题42 中考数学史类试题解法

中考数学总复习六大策略

1、学会运用函数与方程思想。

从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法

2、学会运用数形结合思想。

数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。

3、要学会抢得分点。

一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。

4、学会运用等价转换思想。

在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。

5、学会运用分类讨论的思想。

如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。

6、转化思想:

体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。

专题42 中考数学史类试题解法

初中阶段了解一些著名的中外数学家的事迹及其贡献，可以激发学生学习数学的积极性和主动性，通过学习数学家研究问题的思想，提升学生数学观念、科学思维、科学探究、科学态度等核心素养的是十分重要的举措。

1.秦九韶

秦九韶(1208年－1261年)南宋官员、数学家.著作《数书九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。他在1247年著成《数书九章》十八卷．全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。在世界数学史上占有崇高的地位。

2.杨辉

杨辉，字谦光，中国南宋(1127～1279)末年钱塘(今杭州市)人。其生卒年月及生平事迹均无从详考。据有关著述中的字句推测，杨辉大约于13世纪中叶至末叶生活在现今浙江杭州一带，曾当过地方官，到过苏州、台州等地。是当时有名的数学家和数学教育家，他每到一处都会有人慕名前来请教数学问题。

杨辉一生编写的数学书很多，被称为《杨辉算法》。杨辉继承中国古代数学传统，他广征博引数学典籍，引用了现已失传的宋代的许多算书，使我们才得知其部分内容。其中，刘益的“正负开方术”，贾宪的“增乘开方法”与“开方作法本源”图(即误传为“杨辉三角”)，就是极其宝贵的数学史料。

3.刘徽

   三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一。他是魏晋时代山东邹平人。终生未做官。他在世界数学史上，也 占 有 杰 出 的 地 位 他的 杰 作《 九 章 算 术 注 》和《 海 岛 算 经 》 ，是 我 国 最 宝 贵 的数学遗产。《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则改进了线性方程组的解法。在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14 的结果。

4.祖冲之

祖冲之(公元429-500年)是我国南北朝时期，河北省涞源县人．他从小就阅读了许多天文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于使他成为我国古代杰出的数学家、天文学家．祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算。祖冲之在前人成就的基础上，求出π在3.1415926与3.1415927之间．祖冲之还与他的儿子祖暅(也是我国著名的数学家)一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算．他们当时采用的一条原理是："幂势既同，则积不容异．"意即，位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等．这一原理，在西文被称为卡瓦列利原理， 但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的．为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为"祖暅原理"．

5.欧拉

欧拉( 公元1707-1783年)渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的！他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文。到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清。他对数学分析的贡献更独具匠心，《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为"分析学的化身"。对数论、代数、无穷级数、函数概念、初等函数、单复变函、微积分学、微分方程、变分法、几何学都有极高的研究成果。欧拉还创设了许多数学符号，例如π(1736年)，i(1777年)，e(1748年)，sin和cos(1748年)，tg(1753年)，△x(1755年)，Σ(1755年)，f(x)(1734年)等．

6.毕达哥拉斯

   在古希腊早期的数学家中，毕达哥拉斯(约公元前580-前500)的影响是最大的。毕达哥拉斯定理(即勾股定理)是毕达哥拉斯的一贡献，他的一个学生希帕索斯通过勾股定理发现了无理数，虽然这一发现打破了毕达哥拉斯宇宙万物皆为整数与整数之比的信条，并导致希帕索斯悲惨地死去，但该定理对数学的发展起到了巨大的促进作用。

7.埃拉托色尼(约公元前275—前194)

2000多年前，有人用简单的测量工具计算出地球的周长。这个人就是古希腊的埃拉托色尼(约公元前275—前194)。埃拉托色尼博学多才，他不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。

　　细心的埃拉托色尼发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的阳光可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角。按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角(360度)的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长(40076公里)相差无几。他还算出太阳与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近。这充分反映了埃拉托色尼的学说和智慧。

8.欧几里德

我们现在学习的几何学，是由古希腊数学家欧几里德(公无前330—前275)创立的。他在公元前300年编写的《几何原本》，2000多年来都被看作学习几何的标准课本，所以称欧几里德为几何之父。欧几里德说：“在几何学里，大家只能走一条路，没有专为国王铺设的大道。”这句话成为千古传诵的学习箴言。一次，他的一个学生问他，学会几何学有什么好处?他幽默地对仆人说：“给他三个钱币，因为他想从学习中获取实利。”

9.笛卡尔

　　法国数学家、物理学家、哲学家笛卡尔(1596—1650)，生前因怀疑教会信条受到迫害，长年在国外避难。他的著作生前或被禁止出版或被烧毁，他死后多年还被列入“禁书目录”。但在今天，法国首都巴黎安葬民族先贤的圣日耳曼圣心堂中，庄重的大理石墓碑上镌刻着“笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人”。

　　笛卡尔的著作，《几何学》是他公开发表的唯一数学著作，虽则只有117页，但它标志着代数与几何的第一次完美结合，使形形色色的代数方程表现为不同的几何图形，许多相当难解的几何题转化为代数题后能轻而易举地找到答案. 他的主要著作都是在荷兰完成的，其中1637年出版的《方法论》一书成为哲学经典。笛卡尔是解析几何的创始人。

10.牛顿

伊撒克·牛顿(1642~1727)于1642年12月25日出生在英国林肯郡沃尔斯索普村。

牛顿的《流数术》写于1671年。在这部影响深远的著作中，牛顿阐述了他的微积分的一些基本概念，还有对代数方程或超越方程都适用的实根近似值求法。这种方法后来被称为牛顿法。牛顿从1685年至1687年，完成了巨著《自然科学的数学原理》第1、2、3册，由哈雷出资发表。这部著作的诞生立刻对整个欧洲产生了巨大影响。这本书中，第一次有了地球和天体主要运动现象的完整的力学体系和完整的数学公式。

牛顿对自己的评价却十分谦虚：“我不知道世间把我看成什么样的人；但是对我来说，就像一个在海边玩耍的小孩，有时找到一块比较平滑的卵石或格外漂亮的贝壳，感到高兴，在我前面是完全没有被发现的真理的大海洋。”他很尊重前人的成果，他说如果他比别人看得远些，那只是由于站在巨人肩上的原故。

11.高斯　

十八、十九世纪之交，德国产生了一位伟大的数学家，他就是人称“数学王子”的高斯(1777～1855)。高斯在上小学的时候，有一次数学老师出了个题目，1+2+…+　100=？由于看出1+100=101，2+99=101，…，50+51=101共50个101，因而高斯立刻答出了5050的结果，此举令老师称赞不已。

　　对数学的痴迷，加上勤奋的学习，18岁时高斯发明了用圆规和直尺作正17边形的方法，从而解决了2000年来悬而未解的难题。他21岁大学毕业，22岁获博士学位。他在博士论文中证明了代数基本定理，即一元n次方程在复数范围内一定有根。在几何方面，高斯是非欧几何的发明人之一。高斯最重要的贡献还是在数论上，他的伟大著作《算术研究》标志着数论成为独立的数学分支学科的开始，而且这本书所讨论的内容成为直到20世纪数论研究的方向。高斯首先使用了同余记号，并系统而深入地阐述了同余式的理论；他证明了数论中的重要结果二次互反律等。高斯去世后，人们建立了以正17边形棱柱为基座的高斯像，以纪念这位伟大的数学家。

12.莱布尼茨

　德国有一位被世人誉为“万能大师”的通才，他就是莱布尼茨　(1646～1716)，他在数学

逻辑学、文学、史学和法学等方面都很有建树。在20岁时就写出了《论组合的技巧》的论文，创立了关于“普遍特征”的“通用代数”，即数理逻辑的新思想。

　　莱布尼茨还与英国数学家、大物理学家牛顿分别独立地创立了微积分学。今天的积分号∫(拉长的字母S)、微分号d都是莱布尼茨首先使用的。值得一提的是，他发明了能做乘法、除法的机械式计算机(十进制)，并首先系统研究了二进制记数方法，这对于现代计算机的发明至关重要。1716年11月14日，莱布尼茨卒于汉诺威。

13.费马

17世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难题，使得后来的数学家一筹莫展，这个人就是费马(1601—1665)。这道题是这样的：当n>2时，xn+yn=zn没有正整数解。在数学上这称为“费马大定理”。为了获得它的一个肯定的或者否定的证明，历史上几次悬赏征求答案，一代又一代最优秀的数学家都曾研究过，但是300多年过去了，至今既未获得最终证明，也未被推翻。即使用现代的电子计算机也只能证明：当n小于等于4100万时，费马大定理是正确的。由于当时费马声称他已解决了这个问题，但是他没有公布结果，于是留下数学难题中少有的千古之谜。费马对数学的贡献包括：与笛卡尔共同创立了解析几何；创造了作曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿奉为微积分的思想先驱；通过提出有价值的猜想，指明了关于整数的理论——数论的发展方向。他还研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为

古典概率论的奠基人之一。

【例题1】(2020•临沂)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为(　　)

A． B． 

C． D．

【对点练习】(2020•福建)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是(　　)

A．3(x﹣1) B．3 

C．3x﹣1 D．3

【例题2】(2020•枣庄)欧拉(Euler，1707年～1783年)为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V(Vertex)、棱数E(Edge)、面数F(Flatsurface)之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．

（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：

(2)分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：　   　．

【对点练习】(2019宁夏)你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+5x﹣14＝0即x(x+5)＝14为例加以说明．数学家赵爽(公元3～4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图(如下面左图)中大正方形的面积是(x+x+5)2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x＝2．那么在下面右边三个构图(矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上)中，能够说明方程x2﹣4x﹣12＝0的正确构图是　   　．(只填序号)

【例题3】(2020•泸州)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为(　　)

A．10﹣4 B．35 C． D．20﹣8

【对点练习】(2020•嘉兴)数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程　          ．

一、选择题

1．(2020•襄阳)我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是(　　)

A． B． 

C． D．

2．(2020•宁波)我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为(　　)

A． B． 

C． D．

3．(2020•绥化)“十•一”国庆期间，学校组织466名八年级学生参加社会实践活动，现己准备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满，设49座客车x辆，37座客车y辆．根据题意，得(　　)

A． B． 

C． D．

4．(2019湖北襄阳)《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是(　　)

A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C．＝ D．＝

5．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”

(a+b)0＝1

(a+b)1＝a+b

(a+b)2＝a2+2ab+b2

(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

(a+b)5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

…

则(a+b)9展开式中所有项的系数和是(　　)

A．128 B．256 C．512 D．1024

6．中国古代在利用“计里画方”(比例缩放和直角坐标网格体系)的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF．观测者的眼睛(图中用点C表示)与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是(　　)

A． B． C． D．

7.“算经十书”是指 汉唐一千多年间的 十 部著名数学著作，它 们曾经是隋唐时期 国 子监算学科 的 教 科 书 ， 这 些 流 传 下 来 的 古 算 书 中 凝 聚 着 历 代 数 学 家 的 劳 动 成 果 .下 列 四 部 著 作 中 ， 不 属 于 我 国古代数学著作的 是 (  )

A.《九章算术》 B. 《几何原本》 C. 《 海 岛 算 经 》 D. 《 周 髀 算 经 》

二、填空题

8．(2020•上海)《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为　  　米．

9．(2020•常州)数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是　      　．

10.“阿基米德在数学上也有着极为光辉灿烂的成就,特别是在几何学方面。阿基米德还利用割圆法求得_____的值介于3.14163和3.14286之间。

11．(2019湖北咸宁)《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为　　       ．

12.“阿基米德在_____上也有着极为光辉灿烂的成就, 比如：他算出球的表面积是其内接最大圆面积的四倍,又导出圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二,这个定理就刻在他的墓碑上。

13.在数学上，_____发明了微积分。他也证明了广义二项式定理，提出了"牛顿法"以趋近函数的零点，并为幂级数的研究做出了贡献。

14.对______的研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、、复变函数和等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、和磁学的研究。

15．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多　   　步．

16．(2019湖南邵阳)公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a=6，弦c=10，则小正方形ABCD的面积是____.

17．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为2：3．现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为　　．

18.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．

(以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)

请根据该图完成这个推论的证明过程．

证明：S矩形NFGD=S△ADC﹣(S△ANF+S△FGC)，S矩形EBMF=S△ABC﹣(　　+　　)．

易知，S△ADC=S△ABC，　　=　   　，　  　=　   　．

可得S矩形NFGD=S矩形EBMF．

9.比较大小(填，，或)

________

19．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400=　     　．

20．请看杨辉三角(1)，并观察下列等式(2)：

根据前面各式的规律，则(a+b)6=　                      　．

21.“皮克定理”是来计算原点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为，孔明只记得公式中的S表示多边形的面积，和中有一个表示多边形那边上(含原点)的整点个数，另一个表示多边形内部的整点的个数，但不记得究竟是还是表示多边形内部的整点的个数，请你选择一些特殊的多边形(如图1)进行验证，得到公式中表示多边形内部整点个数的字母是　　　；并运用这个公式求得如图2中多边形的面积是　　　　。

22.(2019•湖北孝感)刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S﹣S1＝　   　．

三、解答题

23.(2019安徽)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高点(C，O的连线垂直于AB)，求点C到弦AB所在直线的距离．

(参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88)