2023年山西省晋中市太谷区中考一模数学试题（含答案）

2023年度初中学业水平考试模拟摸底卷

数学

注意事项：

1．本试卷共8页，满分120分，考试时间为120分钟．

2．本试卷采用网阅形式阅卷，请将答题信息与答题过程在配套的答题卡上完成。试卷上答题无效．

3．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等相关信息填写在本试卷配套答题卡的相应的位置里．

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1．-1010的倒数是（    ）

A．1010 B． C． D．-1010

2．下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．如图，AB为的直径， cm，C、D为上两点，若，则BD的长为（    ）

A．5 cm B． cm C． cm D． cm

4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5、受本土疫情波及全国多数省份，线下餐饮、购物、出行等消费需求减少等影响，2022年，消费市场持续承压，但必需类商品及汽车销售情况依旧良好。前11个月，社会消费品零售总额399190亿元，同比下降0.1%。数据399190亿用科学计数法表示为（    ）

A．元 B．元 C．元 D．元

6．不等式组的解集是（    ）

A． B． C． D．

7．寒假期间王华坚持每天在家做跳绳训练，他记录了最近一周的成绩（个/分）：157、159、160、162、160、163、164，该组数据的中位数和众数分别为（    ）

A．162、160 B．160、162 C．160、160 D．159、160

8．在三边都不相等的的边AB上有一点D，过点D画一条直线，与三角形的另一边相交所截得的三角形与相似，这样的直线最多可以画（    ）

A．5条 B．4条 C．3条 D．2条

9．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（k是常数，且）与反比例函数的图象交于，两点，则不等式的解集是（    ）

A．  B．或

C．或 D．

10．如图，在边长为4的正六边形ABCDE中，先以点B为圆心，AB的长为半径作，再以点A为圆心，AB的长为半径作交于点P，则图中阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．）

11．______．

12．将抛物线化成顶点式为______．

13．一个不透明的袋子里装有2个白球，2个彩球，这些球除颜色外完全相同，小欢从袋子里随机一次摸出2个球，摸到两个都是彩球的概率是______．

14．某公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中步道上总共使用84个三角形地砖，那么连续排列的正方形地砖总共有______个．

15．如图，点P是双曲线上的一点，过点P作y轴的平行线交直线AB：于点Q，连结OP、OQ．当点P在曲线上运动，且点P在Q的上方时，则四边形OAQP面积的最大值是______．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．）

16．（本题共2个小题，共10分，第1小题4分，第2小题6分）

（1）计算：．

（2）先化简：，然后选择一个适当的、你喜欢的数代入求值．

17．（本题7分）2023年元旦期间，面对新型肺炎疫情的侵袭，全国上下众志成城，我们坚信在党中央的统一领导下必定打赢这场没有硝烟的战争．1月3日，为了增强学生对此次疫情的了解与防控，某学校在本校网站上开展了相关知识的宣传教育活动．1月13日为了解这次宣传活动的效果，学校在校网站上从全校1500名学生中随机抽取若干名在线学生进行知识测试（测试满分100分，得分均为整数），并根据这若干人的测试成绩，制作了如下不完整的统计图表。

学生知识测试成绩的频数表

由图表及统计图中给出的信息，回答下列问题：

（1）本次抽取的样本容量是______；扇形E的圆心角______°，并补全频数直方图；

（2）如果80分以上（包括80分）为优秀，请估计全校1500名学生中成绩优秀的人数．

（3）针对这次活动谈谈你的想法．

18．（本题8分）乡村振兴战略总方针中提出，生态宜居是提高乡村发展质量的保证。生态宜居其内容涵盖村容整洁，村内水、电、路等基础设施完善，以保护自然、顺应自然、敬畏自然的生态文明理念．“村村通”公路政策是国家构建和谐社会、支持新农村建设，实现生态宜居的一项重大公共决策，是一项民心工程。某工程队承接了60万平方米的乡村筑路工程，由于情况有变，……设原计划每天筑路的面积为x万平方米，列方程为：，

（1）根据方程在下列四个选项中选择省略的部分是（    ）

A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务

B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果推迟30天完成了这一任务

C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果推迟30天完成了这一任务

D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务

（2）在（1）的条件下，在下列两个选项中任选一项作为问题，写出完整的解题过程。

E．求：实际每天筑路的面积是多少万平方米？

F．求：原计划完成这项筑路工程需要多少天？

我选的问题是：________________

解：设

19．（本题8分）如图，在中，，，以AB为直径作⊙O分别交BC、AC于点D、E，连接AD，过点D作的切线交AC于点F。

（1）试猜想BD、DE的数量关系，并说明理由。

（2）若，，求AF的长。

20．通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记。请仔细阅读下列材料并完成相应的任务。

理解应用：如图，甲船以海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B处，且乙船从B处沿北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的C处，此时两船相距海里．

（1）求：的面积。

（2）求：乙船航行的速度（结果保留根号）．

21．（本题8分）光明中学校园有一升旗台，旗杆的高度引起了爱思考的同学们的极大兴趣。数学活动小组的同学对旗杆的高度进行了测量．测量方法如下：如图，从旗杆底部分别向东、西走到达点A、C处，在A，C两处分别放置学生制作的高为1.2m的测倾仪，在A处测得旗杆顶端Q的仰角是60°，在C处测得旗杆顶端Q仰角为50°，点A，C及旗杆PQ在同一平面内，旗杆底部P与点A，C在同一条直线上，m，，根据测量小组提供的数据，求该旗杆的高度。

（结果精确到0.1m，参考数据：，，，）

22．（本题13分）综合与探究

问题情境：

数学活动课上，老师给出如下基础模型：如图①，已知，，过点C任作一条直线l（不与CA、CB重合），过点A作于点D，过点B作于点E，当点A、B在直线l同侧时，易证（下列解题可直接用此结论）．

（1）如图②，当点A、B在直线l异侧时，求证：．

模型应用：

在平面直角坐标系中，已知直线l：（k为常数，）与x轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，以AB为边、B为直角顶点作直角三角形ABC且．

（2）若直线l经过点，当点C在第三象限时，点C的坐标为______．

（3）若点D是函数图象上的点，且轴，当点C在第四象限时，连接CD交y轴于点E，求点C、D的坐标（用含k的式子表示）及BE的长．

23．（本题13分）综合与探究

如图，抛物线经过点，两点，与y轴交于点C，且，点D是抛物线上第一象限内的一个动点，设点D的横坐标为m．连接AC、BC、DB、DC．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）过点D作与y轴的平行线的直线l，与BC交于点E，当是以DE为底边的等腰三角形时，求点D的坐标。

（3）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2023年度初中学业水平考试模拟摸底卷

数学参考答案及评分标准

一、选择题（在每小题的四个选项中，只有一项符合题意，请将其字母标号填入下表相应题号的空格内，每小题3分，共30分）

二、填空题。（本大题共5个小题，每小题3分，共15分。）

11．17 12． 13． 14．40 15．3

三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（本题共2个小题，共10分，（1）小题4分，（2）小题6分）

（1）解：原式…………………………2分

．…………………………………3分

…………………………………4分

解：原式．………………………………1分

…………………………………2分

…………………………………………………3分

．…………………………………………………………4分

…………………………………………………………………5分

∵，，∴当时，原式…………………………………6分

（答案不唯一，但取值要注意，，过程分可酌情给分）

17．（本题7分）

解：（1）本次抽取的样本容量是100；扇形E的圆心角，……………………………2分（各1分）

补全图形如下：

…………………………3分

（2）估计全校1500名学生中成绩优秀的人数为（人）．

…………………………………………………………………5分

（3）我认为还得加强宣传力度，让大家能充分认识疫情，从而提高防范意识；或者在今后的生活中养成更好的生活卫生习惯；或者大力宣传，我们每个人都应该敬畏大自然保护大自然．-----答案只要合理就得分．…………………………7分

18．（本题8分）

省略的部分是（C）……………………………………2分

我选的问题是（E）

解：设原计划每天筑路的面积为x万平方米，……………………3分

根据题意，列方程为，

解方程得，……………………………………5分

经检验：是原方程的解。……………………………6分

……………………7分

答：实际每天筑路的面积是0.4万平方米……………………………8分

我选的问题是（F）

（天）

答：原计划完成这项筑路工程需要120天

（可以设与原题中不同未知数，列不同的方程，只要正确即可）

19、（本题8分）

解：（1）………………………1分

理由如下：∵AB是的直径，

∴，即．………………………………………………………2分

∵．∴，即

∴……………………………………………………3分

（2）如图，连接OD．

∵DF与相切于点D，

∴．∴．∴……………………………4分

∵，∴，∴．………………………………… 5分

∵，∴．∴．……………………………………… 6分

∵，∴．………………………………………… 7分

∴即，解得．…………………………………………8分

20．（本题8分）解：（1）由题意知：，

，，1分

由结论①知，

．3分

（2）由（1）知，

∴是等边三角形，

∴，，4分

又

∴，5分

由题意知，，

∴，6分

在中，由材料中结论②得

∴，7分

∴乙船航行的速度为：（海里/小时）．8分

21．（本题8分）

解：如图，连接BD交PQ于点F，1分

由题意，得，m．

，，m，2分

设：，则，

在中，，

∴，4分

在中，，，

∴，6分

解得（m）．

∴．7分

∴（m）．

答：旗杆高8.3米。8分

22．（本题13分）综合与探究

（1）证明：∵，∴．

∵，，∴．

∴．∴．2分

∴．3分

（2）解：点C的坐标为，5分

提示：作轴，如图1

利用，即可得。

（3）如图2，过点C作轴于点F．

对于直线1：，

令，则．∴．∴．6分

令，则．∴．∴．∴．7分

同基础模型得．∴，

∵，∴，8分

∴，∴，，∴．9分

∵点C在第四象限，∴．10分

∵，轴，∴点D的纵坐标是，

又点D在上，把代入，得，，∴．11分

过点C作轴于点F，∵轴，∴，

∴，∴，

∴，12分

∵，∴．13分

23．（本题13分）综合与探究

解：∵经过点，两点，，则

，2分

解得，，，

∴．…………………………………3分

（2）设直线BC解析式为，将点、的坐标代入，

并解得：，

直线BC的表达式为：，4分

设直线l与x轴交于点M．

设点，则点，

过点C作，垂足为H，则四边形OMHC是矩形。

∴，，∴，5分

∵，，

∴，6分

∴，

解得：（舍去），……………………………7分

故，∴，8分

∴点D的坐标为…………………………………………………9分

（方法不唯一，正确即可给分）

（3）点N坐标为，，，．………………13分（写对一个给1分）