专题8-1 外接球-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题8-1 外接球

综述：

一、解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：

（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；

（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；

（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

二、长方体补形法即将立体图形补成规则几何体，常见有以下几种：

(1).有三条棱两两垂直——长方体；

(2).有三条棱两两垂直且相等——正方体；

(3).各棱长均相等的四面体——正方体；

(4).有一侧棱垂直于底面的锥体——直棱柱；

(5).三组对棱对应相等的四面体——长方体

三、解决二面角型外接球，则可以参考外心垂线相交法

【题型一】长方体外接球：三线垂直型

【典例分析】

三棱锥中，，，互相垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球表面积是

A． B． C． D．

【变式演练】

1.如图，在三棱锥的平面展开图中，，，三点共线，，，三点共线，，，，的面积为，则三棱锥的外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．

2.已知矩形，，，为的中点，现分别沿将，翻折，使点重合，记为点，则几何体的外接球表面积为

A． B． C． D．

3.《九章算术》中记载，堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱，阳马是指底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图，在堑堵中，，=3，当阳马的体积为8时，堑堵的外接球表面积的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【题型二】长方体特殊性质：对棱相等型

【典例分析】

在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，，，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【变式演练】

1.如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ）  

A． B． C． D．

2.在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【题型三】线面垂直型（直棱柱型）

【典例分析】

若球О是直三棱柱的外接球，三棱柱的高和体积都是4，底面是直角三角形，则球О表面积的最小值是___________.

【变式演练】

1.在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球体积的最小值为

A． B． C． D．

2.直三棱柱外接球表面积为，，若，矩形外接圆的半径分别为，则的最大值为（   ）

A． B．3 C． D．

，

3.已知球是三棱锥的外接球，，，点是的中点，且，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【题型四】三棱锥型外接球

【典例分析】

在四面体中，三角形为等边三角形，边长为，，，，则四面体外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．

【变式演练】

1.已知正三棱锥的外接球的半径为，且满足则正三棱锥的体积为

A． B． C． D．

2.三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AC＝BC＝2，AB＝2，侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂直，则该三棱锥的外接球表面积为_____．

3.一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，，，，.现将两块三角板拼接在一起，使得二面角为直二面角，则三棱锥的外接球表面积为（       ）

A． B． C． D．

【题型五】四棱锥型外接球

【典例分析】

已知四棱锥的底面是矩形，其中，，面面，，且直线与所成角的余弦值为，则四棱锥的外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．

【变式演练】

1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为

A． B． C． D．

2.所有棱长均为 的正四棱锥外接球表面积为

A． B． C． D．

3.一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球表面积为，则该几何体的体积为

A． B． C． D．

【题型六】圆锥外接球

【典例分析】

圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它的外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为__________．

【变式演练】

1.已知一个圆锥的底面直径为，其母线与底面的夹角的余弦值为.圆锥内有一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为_________.

2..圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为

A． B． C． D．

3.设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为，则该圆锥的体积为

A． B． C． D．

【题型七】圆柱外接球

【典例分析】

已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，球的表面积为，则该圆柱的体积为（    ）

A． B． C． D．

【变式演练】

1.已知圆柱的侧面积为，其外接球的体积为V，则V的最小值为_____________．

2.．如图，棱长均相等的直三棱柱的上、下底面均内接于圆柱的上、下底面，则圆柱的侧面积与其外接球的表面积之比为______．

3.如图，圆柱的底面半径为，高为，记圆柱的表面积为，圆柱外接球的表面积为，若，则的值为（    ）

A． B． C．或1 D．或1

【题型八】圆台外接球

【典例分析】

圆台的上下底面半径和高的比为，母线长为，则圆台的外接球表面积为________．

【变式演练】

1.已知圆台上底半径为1，下底半径为3，高为2，则此圆台的外接球的表面积为______．

2.已知圆台上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为，圆台的外接球的球心为O，且球心在圆台的轴上，满足，则圆台的外接球的表面积为____________．

3.已知圆台的母线长为2，母线与轴的夹角为60°，且上、下底面的面积之比为1：4，则该圆台外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【题型九】棱台外接球

【典例分析】

我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童有外接球，且，点E到平面距离为4，则该刍童外接球的表面积为________．

【变式演练】

1.在正四棱台中，，则（    ）

A．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为

B．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为

C．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为

D．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为

2.在正四棱台中，，，则该棱台外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

3.如图，三棱台ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝4，AA1＝5，平面BCC1B1⊥平面ABC，则该三棱台外接球的体积为（ ）

A． B． C． D．

【题型十】面面垂直型

【典例分析】

.如图，在中，，，是的角平分线，沿将折起到的位置，使得平面平面.若，则三棱锥外接球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【变式演练】

1.在三棱锥中，，平面平面ABC，，，则三棱锥外接球的半径为（    ）

A．1 B． C．2 D．

2.在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

3..如图所示，在三棱锥A-BCD中，平面ACD⊥平面BCD，△ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A．40π B．20π C．32π D．80π

【题型十一】二面角型外接球

【典例分析】

在菱形中，，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，三棱锥的外接球球心为，的中点为，则

A．1 B．2 C． D．

【变式演练】

1.如图，在三棱锥中，，二面角的正弦值是，则三棱锥外接球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

2..已知菱形ABCD的边长为2，且，沿BD把折起，得到三棱锥，且二面角的平面角为60°，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）．

A． B． C． D．

3.已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小为，则四面体的外接球体积是（    ）

A． B． C． D．

【题型十三】外接球和内切球

【典例分析】

已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，内有一个体积为的球，若的最大值为，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______.

【变式演练】

1.在三棱锥中，，二面角、、的大小均为，设三棱锥的外接球球心为，直线交平面于点，则三棱锥的内切球半径为_______________，__________

2.一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是、、、，则该四面体的内切球与外接球体积之比为______

3.已知正方体的棱长为，球是正方体的内切球，是球的直径，点是正方体表面上的一个动点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

1．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ）

A． B． C． D．

3．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（    ）

A． B． C． D．

4．（2020·天津·高考真题）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

5．（2020·全国·高考真题（理））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

6．（2020·全国·高考真题（理））已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（    ）

A． B． C．1 D．

7．（2019·全国·高考真题（理））已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为

A． B． C． D．

8．（·湖南·高考真题（文））一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于

A．1 B．2 C．3 D．4

9．（全国·高考真题（文））正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）

A． B． C． D．

10．（福建·高考真题（理））顶点在同一球面上的正四棱柱中，，则两点间的球面距离为（    ）

A． B． C． D．

1.已知三棱锥，，、两两垂直，，，，则三棱锥的外接球表面积为

A． B． C． D．

2.已知在四面体中，，则四面体的外接球表面积为______.

3.三棱锥中，平面，，的面积为3，则三棱锥的外接球体积的最小值为（    ）

A． B． C． D．

4.边长为6的两个等边，所在的平面互相垂直，则四面体的外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．

5..在四棱锥中，若，四棱锥外接球表面积为__________.

6.设圆锥的顶点为，为圆锥底面圆的直径，点为圆上的一点（异于、），若，三棱锥的外接球表面积为，则圆锥的体积为___________.

7.已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，则圆柱的表面积与球的表面积之比为（    ）

A． B． C． D．不能确定

8.已知某圆台的母线长为2，母线与轴所在直线的夹角是，且上、下底面的面积之比为1∶4，则该圆台外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

9.已知四棱锥，底面为矩形，，平面平面，为正三角形.则四棱锥的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

10.如图所示，正四棱台的顶点都在表面积为的球面上，侧棱长为，且侧棱与底面所成角为，则其上、下底面积之比为（    ）

A． B． C． D．

11.如图，在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

12.已知直三棱柱的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（    ）

A．25：1 B．2：1 C．5：1 D．：1

13.已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱与底边夹角的余弦值为，则正四棱锥的外接球与内切球的半径之比为___________.