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概率统计与数列——【高考三轮冲刺】2023年高考数学概率专题模型通关训练（原卷版+解析版）
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这是一份概率统计与数列——【高考三轮冲刺】2023年高考数学概率专题模型通关训练（原卷版+解析版），文件包含概率统计与数列解析版docx、概率统计与数列原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
概率统计与数列的交汇涉及面广，内涵丰富，是近几年考试追逐的热点，处理这类问题要把握概率与统计的本质，巧妙利用数列的通项、性质、求和。
母题呈现
题型一：概率与数列的证明
【例1】为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两组白鼠对药效进行对比试验．对于两组白鼠，当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1) 求X的分布列．
(2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.
①求证：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；
②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
【思维引导】
【解答】(1) X的所有可能取值为－1,0,1.
P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)，
所以X的分布列如下表所示：
(2) ①由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1，因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，
故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．
又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列．
②由①可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝eq \f(48－1,3)p1.
由于p8＝1，故p1＝eq \f(3,48－1)，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝eq \f(44－1,3)p1＝eq \f(1,257).
p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝eq \f(1,257)≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
题型二：概率与数列通项
【例2】袋中共有8个乒乓球，其中有5个白球，3个红球，这些乒乓球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上述过程n次后，袋中红球的个数记为Xn.
(1) 求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)；
(2) 求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式．
【思维引导】
【解答】(1) 由题意可知X2＝3,4,5.
当X2＝3时，即两次摸球均摸到红球，其概率是P(X2＝3)＝eq \f(C\\al(1,3),C\\al(1,8))×eq \f(C\\al(1,3),C\\al(1,8))＝eq \f(9,64)，
当X2＝4时，即两次摸球恰好摸到一红球，一白球，其概率P(X2＝4)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,5),C\\al(1,8)C\\al(1,8))＋eq \f(C\\al(1,5)C\\al(1,4),C\\al(1,8)C\\al(1,8))＝eq \f(35,64)，
当X2＝5时，即两次摸球均摸到白球的概率是P(X2＝5)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(1,4),C\\al(1,8)C\\al(1,8))＝eq \f(5,16)，
所以随机变量X2的概率分布如下表所示：
故数学期望E(X2)＝3×eq \f(9,64)＋4×eq \f(35,64)＋5×eq \f(5,16)＝eq \f(267,64).
(2) 设P(Xn＝3＋k)＝pk，k＝0,1,2,3,4,5，则p0＋p1＋p2＋p3＋p4＋p5＝1，
E(Xn)＝3p0＋4p1＋5p2＋6p3＋7p4＋8p5.
P(Xn＋1＝3)＝eq \f(3,8)p0，P(Xn＋1＝4)＝eq \f(5,8)p0＋eq \f(4,8)p1，P(Xn＋1＝5)＝eq \f(4,8)p1＋eq \f(5,8)p2，
P(Xn＋1＝6)＝eq \f(3,8)p2＋eq \f(6,8)p3，P(Xn＋1＝7)＝eq \f(2,8)p3＋eq \f(7,8)p4，P(Xn＋1＝8)＝eq \f(1,8)p4＋eq \f(8,8)p5，
所以E(Xn＋1)＝3×eq \f(3,8)p0＋4×＋5×＋6×＋7×＋8×
＝eq \f(29,8)p0＋eq \f(36,8)p1＋eq \f(43,8)p2＋eq \f(50,8)p3＋eq \f(57,8)p4＋eq \f(64,8)p5＝eq \f(7,8)(3p0＋4p1＋5p2＋6p3＋7p4＋8p5)＋p0＋p1＋p2＋p3＋p4＋p5＝eq \f(7,8)E(Xn)＋1.
由此可知，E(Xn＋1)－8＝eq \f(7,8)[E(Xn)－8]．
又E(X1)－8＝－eq \f(35,8)，所以数列{E(Xn)－8}是以－eq \f(35,8)为首项，eq \f(7,8)为公比的等比数列，
所以E(Xn)－8＝－eq \f(35,8)n－1＝－5·n，即E(Xn)＝8－5·n.
题型三：概率与数列求和
【例3】(2022·河南模拟)湖南省会城市长沙又称星城，是楚文明和湖湘文化的发源地，是国家首批历史文化名城．城内既有岳麓山、橘子洲等人文景观，又有岳麓书院、马王堆汉墓等名胜古迹，每年都有大量游客来长沙参观旅游．为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来岳麓山景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中eq \f(1,3)的人计划只游览岳麓山，另外eq \f(2,3)的人计划既游览岳麓山又参观马王堆．每位游客若只游览岳麓山，则记1分；若既游览岳麓山又参观马王堆，则记2分．假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立，视频率为概率．(1) 从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2) 从游客中随机抽取n人(n∈N*)，记这n人的合计得分恰为n＋1分的概率为Pn，求P1＋P2＋…＋Pn；
(3) 从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为an，随着抽取人数的无限增加，an是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
【思维引导】
【解答】由题意知，每位游客计划不参观马王堆的概率为eq \f(1,3)，参观马王堆的概率为eq \f(2,3)，则X的可能取值为3,4,5,6，
P(X＝3)＝3＝eq \f(1,27)，P(X＝4)＝Ceq \\al(1,3)·eq \f(2,3)·2＝eq \f(2,9)，
P(X＝5)＝Ceq \\al(2,3)·2·eq \f(1,3)＝eq \f(4,9)，P(X＝6)＝3＝eq \f(8,27)，
所以X的分布列如下表所示：
所以E(X)＝3×eq \f(1,27)＋4×eq \f(2,9)＋5×eq \f(4,9)＋6×eq \f(8,27)＝5.
(2) 因为这n人的合计得分为n＋1分，则其中只有1人计划参观马王堆，所以Pn＝Ceq \\al(1,n)·eq \f(2,3)·n－1＝eq \f(2n,3n)，
设Sn＝P1＋P2＋…＋Pn＝eq \f(2,3)＋eq \f(4,32)＋eq \f(6,33)＋…＋eq \f(2n,3n)，
则eq \f(1,3)Sn＝eq \f(2,32)＋eq \f(4,33)＋eq \f(6,34)＋…＋eq \f(2n－1,3n)＋eq \f(2n,3n＋1)，
由两式相减得
eq \f(2,3)Sn＝eq \f(2,3)＋eq \f(2,32)＋eq \f(2,33)＋…＋eq \f(2,3n)－eq \f(2n,3n＋1)＝2×－eq \f(2n,3n＋1)＝1－eq \f(2n＋3,3n＋1)，所以P1＋P2＋…＋Pn＝Sn＝eq \f(3,2).
(3) 在随机抽取的若干人的合计得分为(n－1)分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为n分或(n＋1)分，记“合计得n分”为事件A，“合计得(n＋1)分”为事件B，A与B是对立事件．
因为P(A)＝an，P(B)＝eq \f(2,3)an－1，所以an＋eq \f(2,3)an－1＝1(n≥2)，
即an－eq \f(3,5)＝－eq \f(2,3)(n≥2)．
因为a1＝eq \f(1,3)，则数列是首项为－eq \f(4,15)，公比为－eq \f(2,3)的等比数列，所以an－eq \f(3,5)＝－eq \f(4,15)n－1，n≥1，
所以an＝eq \f(3,5)－eq \f(4,15)n－1＝eq \f(3,5)＋eq \f(2,5)·n.
因为0<<1，则当n→∞时，n→0，所以an→eq \f(3,5)，所以随着抽取人数的无限增加，an趋近于常数eq \f(3,5).
方法总结
概率问题与数列的交汇，综合性较强，主要有以下类型：
1.求通项公式：关键是找出概率Pn或数学期望E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出通项公式．
2.求和：主要是数列中的倒序求和、错位求和、裂项求和．
3.利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限．
模拟训练
1．【与频率分布直方图融合】（2022•宁德模拟）某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通（年卡）．为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2019年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出（单位：百元），并制成如图频率分布直方图：
由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布，，其中近似为样本平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）．
（1）若2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元；
（2）现依次抽取个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件表示“连续3人的旅游消费支出超出”．若表示的概率，，，为常数），且．
求，及，；
判断并证明数列从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义．（参考数据：，，
【分析】（1）由直方图可得，即可得到，结合已知的，可知旅游费用支出不低于1820元的概率为，求得概率后乘以500得答案．
（2）先由题意求得与的值，再列关于，的方程组求解，的值；
由，利用作差法可得从第三项起数列单调递减．其实际意义为随着抽查人数的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出”的可能性会越来越小．（即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出这一事件）．
【解答】解：（1）直方图可得，
，，元，
旅游费用支出不低于1820元的概率为，
，
估计2019年有11.4万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1820元．
（2），，
由，即，
解得；
数列从第三项起单调递减．
，
故
，
又，，
即从第三项起数列单调递减．
由此，可知随着抽查人数的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出”的可能性会越来越小．
（即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出这一事件）．
2.【与生活实践融合】（2022•湖南模拟）一个袋子中现有7个除颜色外完全相同的小球，其中白球4个，红球3个．规定取球规则：从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上这过程次后，记袋中红球的个数为．
（1）求随机变量的分布列以及数学期望；
（2）记随机变量的数学期望为，
①求证：数列为等比数列；
②求关于的表达式．
【分析】（1）由题意可知，4，5．利用相互独立、互斥事件的概率计算公式即可得出．
（2）①设，，1，2，3，4．可得，．利用概率与数学期望计算公式即可证明数列为等比数列；
②根据等比数列的通项公式即可求得关于的表达式
【解答】解：（1）随机变量的可能取值为，4，5
，
，
，
所以的概率分布列为
所以的数学期望．
（2）①设，，1，2，3，4．
则，
．
；
；
；
；
；
，
．
由此可知，，
又，
所以是以为首项，以为公比的等比数列；
②由①可知．
3．【与决策融合】（2023·全国·模拟预测）某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回答的是甲的概率为，若．
①求P2，P3；
②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．
【答案】(1)12；(2)①，；②证明过程见详解，第7次回答的是甲的可能性比第8次的大
【分析】（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为η，可得，再写出的所有可能取值，分别求出其对应的概率，进而得到的分布列，并求出的数学期望，从而可求得的数学期望；
（2）①直接根据题意可得第一次是甲回答，第二次甲不回答，所以第二次甲回答的概率为；
②先根据题意建立与的关系式，即可证明数列为等比数列，进而可得到的通项公式，从而可比较P7，P8．
【详解】（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，则，
易知的所有可能取值为0，1，2，
则，
，
，
故的分布列为
则，
所以．
（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，∴，则．
②由第n次回答的是甲的概率为，得当n≥2时，第次回答的是甲的概率为，
第次回答的不是甲的概率为，
则，
即，又，
∴是以为首项，为公比的等比数列，
则，
∴，
∴第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大．
4．【与生活实践融合】（2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模）近两年因为疫情的原因，线上教学越来越普遍了．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：
①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；
②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．
请回答如下两个问题：
(1)若一节课老师会进行3次专注度监测，那么某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？
(2)记某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为分的概率为（比如：表示累计得分为分的概率，表示累计得分为的概率），求：
①的通项公式；
②的通项公式．
【答案】(1)；(2)①；②.
【分析】（1）根据二项分布的期望求解，求得三次监测中完成签到次数的数学期望，再求结果即可；
（2）求得的递推关系，结合等比数列的通项公式，即可求得；再结合累加法，以及等比数列前项和公式，即可求得.
【详解】（1）设某班同学在3次专注度监测中完成签到的次数为，由题可知，，故，
设某班同学3次专注度监测的总得分为，根据题意，故.
故某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是.
（2）①由题可知，
根据题意，，故可得
故数列为首项，公比为的等比数列，
则.
②根据上式可得，
则，
故的通项公式.
5．【与生活实践融合】（2022·四川宜宾·统考模拟预测）现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．
(1)设乙接到球的次数为，通过三次传球，求的分布列与期望；
(2)设第次传球后，甲接到球的概率为，
（i）试证明数列为等比数列；
（ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．
【答案】(1)分布列见解析，；(2)（i）证明见解析；（ii）答案见解析.
【分析】(1) 由题意知的取值为，求出X的每个值对应的概率,即可求得分布列,根据期望公式求得期望;
（2）（i）求得，根据时，第次传给甲的事件是第次传球后，球不在甲手上并且第次必传给甲的事件，可得，由此变形得可证明结论；（ii）求出，当时，,即可解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．
【详解】（1）由题意知的取值为，
； ；
；
所以X的分布列为
所以；
（2）（i）由题意：第一次传球后，球落在乙或丙手中，则，
时，第次传给甲的事件是第次传球后，球不在甲手上并且第次必传给甲的事件，
于是有 ，即 ，
故数列是首项为，公比为的等比数列;
（ii） ，所以 ，
当时， ，所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数.
6．【与正态分布融合】（2022·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程的概率；
（参考数据：若随机变量，则，
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字0､1､2､3､……､20）移动，若遥控车最终停在“胜利大本营”（第19格），则可获得购车优惠券3万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”（第20格），则没有任何优优惠券.已知硬币出现正､反面的概率都是，遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到；若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束.设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全额的期望值（精确到万元）.
【答案】(1)；；(2)；(3)证明见解析，参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为万元.
【分析】（1）利用直方图求平均值的公式即得；
（2）利用正态分布的性质求解即可；
（3）由题可得，利用定义证明其为等比数列，结合累加法得出的表达式，由此得到，，设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，或0，分别求出或0的概率，然后求出期望即可.
【详解】（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为：
；
（2）∵，
∴.
（3）由题可知，
遥控车移到第格有两种可能：
①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为；
②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为，
∴，
∴时，，又∵，
∴当时，数列首项为，公比为的等比数列，
∴，
以上各式相加，得，
∴时，，
∴到达“胜利大本营”的概率，
∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，则或0，
∴的期望，
∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为万元
7．【与五育融合】（2022·江苏南京·南京市江宁高级中学校考模拟预测）2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知．
①试证明为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望； 满足.
【详解】（1）解析1：分布列与期望
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，
门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，
，，
，，X的分布列为：
期望．
（1）解析2：二项分布
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，易知，，．X的分布列为：
期望．
（2）解析：递推求解
①第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则，
从而，又，∴是以为首项．公比为的等比数列．
②由①可知，，，故．
8．【与五育融合】（2022·山西太原·统考二模）足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，其中守门员扑点球和传球是足球训练中的两个重要训练项目．
(1)假设发点球时，球员等可能地选择左、中、右三个方向射门，守门员等可能地选择左、中、右三个方向扑点球，且守门员方向判断正确时有的可能将球扑出球门外．在一次点球战中，求守门员在前三次点球中，把球扑出球门外的个数X的分布列和数学期望；
(2)某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁4名球员进行传接球训练，从甲开始传球，等可能地传给另外3人中的1人，接球者再等可能地传给另外3人中的1人，如此一直进行．假设每个球都能被接住，记第n次传球后球又回到甲脚下的概率为．求证：数列为等比数列，并求．
【答案】(1)分布列见解析；期望为；(2)证明见解析；
【分析】(1)根据二项分布可求解；
(2)根据题意有，再根据递推关系可求解.
【解析】（1）每个点球能被守门员扑出球门外的概率为，
由题知，
，，
，，
X的分布列为：
∴．
（2）由已知第次传球后球又回到甲脚下的概率为，
∴时，
∴，
∴是首项为，公比为的等比数列，
∴，
∴．
9．【与学习强国融合】（2022·全国·模拟预测）“学习强国APP”是“学习强国”学习平台精心打造的手机客户端，提供海量、免费的图文和视频学习资料，其中学习平台有一个名为“挑战答题”的项目深受市民喜欢，某市某部门为检验全体干部职工的学习成果，提升学习主动性，组织开展了“学习强国”挑战答题活动，“挑战答题”比赛规则如下：每人在答对的情况下可以持续答题，第一次答错时，有一次复活机会，复活后，可以继续答题，但是当第二次答错时，答题结束，完成5道题可以获得5个积分．
(1)假设李明每次答题答对的概率均为0.5，每次答题是否答对互不影响，求李明获得5个积分的概率；
(2)为了吸引更多职工参与答题，该部门设置了一个“得积分进1阶”活动，从1阶到阶，规定每轮答题获5个积分进2阶，没有获得积分进1阶，按照获得的阶级给予相应的奖品，记王敏每次获得5个积分的概率互不影响，均为，记王敏进到n阶的概率为，求．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据题设可将事件分类，分别求出每类中事件的概率，利用互斥事件加法公式计算即可求解；
（2）通过探究与，之间关系，建立数列的递推关系，并求得，利用累加法即可求解．
【解析】（1）此人获得5个积分，说明此人至少答对了5题，且错题数不超过1个，包括情况为
①连续答对5个题，概率为；
②至少答了6个题，前5题有一个题答错，其余5题答对，其概率为．
因为两种情况互斥，所以此人获得5个积分的概率为．
（2）依题意，，，
“进到阶”的情况包括：第一种情况是进到n阶后下一轮未获得5个积分，其概率为；
第二种情况是进到阶后下一轮获得5个积分，其概率为，两种情况互斥，
所以，
则，
所以.
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以
，
即.
X
－1
0
1
P
(1－α)β
αβ＋(1－α)(1－β)
α(1－β)
X2
3
4
5
P
eq \f(9,64)
eq \f(35,64)
eq \f(5,16)
X
3
4
5
6
P
eq \f(1,27)
eq \f(2,9)
eq \f(4,9)
eq \f(8,27)
3
4
5
，
0
1
2
P
0
1
2
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
概率统计与数列的交汇涉及面广，内涵丰富，是近几年考试追逐的热点，处理这类问题要把握概率与统计的本质，巧妙利用数列的通项、性质、求和。
母题呈现
题型一：概率与数列的证明
【例1】为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两组白鼠对药效进行对比试验．对于两组白鼠，当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1) 求X的分布列．
(2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.
①求证：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；
②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
【思维引导】
【解答】(1) X的所有可能取值为－1,0,1.
P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)，
所以X的分布列如下表所示：
(2) ①由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1，因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，
故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．
又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列．
②由①可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝eq \f(48－1,3)p1.
由于p8＝1，故p1＝eq \f(3,48－1)，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝eq \f(44－1,3)p1＝eq \f(1,257).
p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝eq \f(1,257)≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
题型二：概率与数列通项
【例2】袋中共有8个乒乓球，其中有5个白球，3个红球，这些乒乓球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上述过程n次后，袋中红球的个数记为Xn.
(1) 求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)；
(2) 求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式．
【思维引导】
【解答】(1) 由题意可知X2＝3,4,5.
当X2＝3时，即两次摸球均摸到红球，其概率是P(X2＝3)＝eq \f(C\\al(1,3),C\\al(1,8))×eq \f(C\\al(1,3),C\\al(1,8))＝eq \f(9,64)，
当X2＝4时，即两次摸球恰好摸到一红球，一白球，其概率P(X2＝4)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,5),C\\al(1,8)C\\al(1,8))＋eq \f(C\\al(1,5)C\\al(1,4),C\\al(1,8)C\\al(1,8))＝eq \f(35,64)，
当X2＝5时，即两次摸球均摸到白球的概率是P(X2＝5)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(1,4),C\\al(1,8)C\\al(1,8))＝eq \f(5,16)，
所以随机变量X2的概率分布如下表所示：
故数学期望E(X2)＝3×eq \f(9,64)＋4×eq \f(35,64)＋5×eq \f(5,16)＝eq \f(267,64).
(2) 设P(Xn＝3＋k)＝pk，k＝0,1,2,3,4,5，则p0＋p1＋p2＋p3＋p4＋p5＝1，
E(Xn)＝3p0＋4p1＋5p2＋6p3＋7p4＋8p5.
P(Xn＋1＝3)＝eq \f(3,8)p0，P(Xn＋1＝4)＝eq \f(5,8)p0＋eq \f(4,8)p1，P(Xn＋1＝5)＝eq \f(4,8)p1＋eq \f(5,8)p2，
P(Xn＋1＝6)＝eq \f(3,8)p2＋eq \f(6,8)p3，P(Xn＋1＝7)＝eq \f(2,8)p3＋eq \f(7,8)p4，P(Xn＋1＝8)＝eq \f(1,8)p4＋eq \f(8,8)p5，
所以E(Xn＋1)＝3×eq \f(3,8)p0＋4×＋5×＋6×＋7×＋8×
＝eq \f(29,8)p0＋eq \f(36,8)p1＋eq \f(43,8)p2＋eq \f(50,8)p3＋eq \f(57,8)p4＋eq \f(64,8)p5＝eq \f(7,8)(3p0＋4p1＋5p2＋6p3＋7p4＋8p5)＋p0＋p1＋p2＋p3＋p4＋p5＝eq \f(7,8)E(Xn)＋1.
由此可知，E(Xn＋1)－8＝eq \f(7,8)[E(Xn)－8]．
又E(X1)－8＝－eq \f(35,8)，所以数列{E(Xn)－8}是以－eq \f(35,8)为首项，eq \f(7,8)为公比的等比数列，
所以E(Xn)－8＝－eq \f(35,8)n－1＝－5·n，即E(Xn)＝8－5·n.
题型三：概率与数列求和
【例3】(2022·河南模拟)湖南省会城市长沙又称星城，是楚文明和湖湘文化的发源地，是国家首批历史文化名城．城内既有岳麓山、橘子洲等人文景观，又有岳麓书院、马王堆汉墓等名胜古迹，每年都有大量游客来长沙参观旅游．为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来岳麓山景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中eq \f(1,3)的人计划只游览岳麓山，另外eq \f(2,3)的人计划既游览岳麓山又参观马王堆．每位游客若只游览岳麓山，则记1分；若既游览岳麓山又参观马王堆，则记2分．假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立，视频率为概率．(1) 从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2) 从游客中随机抽取n人(n∈N*)，记这n人的合计得分恰为n＋1分的概率为Pn，求P1＋P2＋…＋Pn；
(3) 从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为an，随着抽取人数的无限增加，an是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
【思维引导】
【解答】由题意知，每位游客计划不参观马王堆的概率为eq \f(1,3)，参观马王堆的概率为eq \f(2,3)，则X的可能取值为3,4,5,6，
P(X＝3)＝3＝eq \f(1,27)，P(X＝4)＝Ceq \\al(1,3)·eq \f(2,3)·2＝eq \f(2,9)，
P(X＝5)＝Ceq \\al(2,3)·2·eq \f(1,3)＝eq \f(4,9)，P(X＝6)＝3＝eq \f(8,27)，
所以X的分布列如下表所示：
所以E(X)＝3×eq \f(1,27)＋4×eq \f(2,9)＋5×eq \f(4,9)＋6×eq \f(8,27)＝5.
(2) 因为这n人的合计得分为n＋1分，则其中只有1人计划参观马王堆，所以Pn＝Ceq \\al(1,n)·eq \f(2,3)·n－1＝eq \f(2n,3n)，
设Sn＝P1＋P2＋…＋Pn＝eq \f(2,3)＋eq \f(4,32)＋eq \f(6,33)＋…＋eq \f(2n,3n)，
则eq \f(1,3)Sn＝eq \f(2,32)＋eq \f(4,33)＋eq \f(6,34)＋…＋eq \f(2n－1,3n)＋eq \f(2n,3n＋1)，
由两式相减得
eq \f(2,3)Sn＝eq \f(2,3)＋eq \f(2,32)＋eq \f(2,33)＋…＋eq \f(2,3n)－eq \f(2n,3n＋1)＝2×－eq \f(2n,3n＋1)＝1－eq \f(2n＋3,3n＋1)，所以P1＋P2＋…＋Pn＝Sn＝eq \f(3,2).
(3) 在随机抽取的若干人的合计得分为(n－1)分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为n分或(n＋1)分，记“合计得n分”为事件A，“合计得(n＋1)分”为事件B，A与B是对立事件．
因为P(A)＝an，P(B)＝eq \f(2,3)an－1，所以an＋eq \f(2,3)an－1＝1(n≥2)，
即an－eq \f(3,5)＝－eq \f(2,3)(n≥2)．
因为a1＝eq \f(1,3)，则数列是首项为－eq \f(4,15)，公比为－eq \f(2,3)的等比数列，所以an－eq \f(3,5)＝－eq \f(4,15)n－1，n≥1，
所以an＝eq \f(3,5)－eq \f(4,15)n－1＝eq \f(3,5)＋eq \f(2,5)·n.
因为0<<1，则当n→∞时，n→0，所以an→eq \f(3,5)，所以随着抽取人数的无限增加，an趋近于常数eq \f(3,5).
方法总结
概率问题与数列的交汇，综合性较强，主要有以下类型：
1.求通项公式：关键是找出概率Pn或数学期望E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出通项公式．
2.求和：主要是数列中的倒序求和、错位求和、裂项求和．
3.利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限．
模拟训练
1．【与频率分布直方图融合】（2022•宁德模拟）某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通（年卡）．为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2019年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出（单位：百元），并制成如图频率分布直方图：
由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布，，其中近似为样本平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）．
（1）若2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元；
（2）现依次抽取个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件表示“连续3人的旅游消费支出超出”．若表示的概率，，，为常数），且．
求，及，；
判断并证明数列从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义．（参考数据：，，
【分析】（1）由直方图可得，即可得到，结合已知的，可知旅游费用支出不低于1820元的概率为，求得概率后乘以500得答案．
（2）先由题意求得与的值，再列关于，的方程组求解，的值；
由，利用作差法可得从第三项起数列单调递减．其实际意义为随着抽查人数的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出”的可能性会越来越小．（即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出这一事件）．
【解答】解：（1）直方图可得，
，，元，
旅游费用支出不低于1820元的概率为，
，
估计2019年有11.4万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1820元．
（2），，
由，即，
解得；
数列从第三项起单调递减．
，
故
，
又，，
即从第三项起数列单调递减．
由此，可知随着抽查人数的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出”的可能性会越来越小．
（即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出这一事件）．
2.【与生活实践融合】（2022•湖南模拟）一个袋子中现有7个除颜色外完全相同的小球，其中白球4个，红球3个．规定取球规则：从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上这过程次后，记袋中红球的个数为．
（1）求随机变量的分布列以及数学期望；
（2）记随机变量的数学期望为，
①求证：数列为等比数列；
②求关于的表达式．
【分析】（1）由题意可知，4，5．利用相互独立、互斥事件的概率计算公式即可得出．
（2）①设，，1，2，3，4．可得，．利用概率与数学期望计算公式即可证明数列为等比数列；
②根据等比数列的通项公式即可求得关于的表达式
【解答】解：（1）随机变量的可能取值为，4，5
，
，
，
所以的概率分布列为
所以的数学期望．
（2）①设，，1，2，3，4．
则，
．
；
；
；
；
；
，
．
由此可知，，
又，
所以是以为首项，以为公比的等比数列；
②由①可知．
3．【与决策融合】（2023·全国·模拟预测）某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回答的是甲的概率为，若．
①求P2，P3；
②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．
【答案】(1)12；(2)①，；②证明过程见详解，第7次回答的是甲的可能性比第8次的大
【分析】（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为η，可得，再写出的所有可能取值，分别求出其对应的概率，进而得到的分布列，并求出的数学期望，从而可求得的数学期望；
（2）①直接根据题意可得第一次是甲回答，第二次甲不回答，所以第二次甲回答的概率为；
②先根据题意建立与的关系式，即可证明数列为等比数列，进而可得到的通项公式，从而可比较P7，P8．
【详解】（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，则，
易知的所有可能取值为0，1，2，
则，
，
，
故的分布列为
则，
所以．
（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，∴，则．
②由第n次回答的是甲的概率为，得当n≥2时，第次回答的是甲的概率为，
第次回答的不是甲的概率为，
则，
即，又，
∴是以为首项，为公比的等比数列，
则，
∴，
∴第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大．
4．【与生活实践融合】（2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模）近两年因为疫情的原因，线上教学越来越普遍了．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：
①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；
②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．
请回答如下两个问题：
(1)若一节课老师会进行3次专注度监测，那么某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？
(2)记某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为分的概率为（比如：表示累计得分为分的概率，表示累计得分为的概率），求：
①的通项公式；
②的通项公式．
【答案】(1)；(2)①；②.
【分析】（1）根据二项分布的期望求解，求得三次监测中完成签到次数的数学期望，再求结果即可；
（2）求得的递推关系，结合等比数列的通项公式，即可求得；再结合累加法，以及等比数列前项和公式，即可求得.
【详解】（1）设某班同学在3次专注度监测中完成签到的次数为，由题可知，，故，
设某班同学3次专注度监测的总得分为，根据题意，故.
故某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是.
（2）①由题可知，
根据题意，，故可得
故数列为首项，公比为的等比数列，
则.
②根据上式可得，
则，
故的通项公式.
5．【与生活实践融合】（2022·四川宜宾·统考模拟预测）现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．
(1)设乙接到球的次数为，通过三次传球，求的分布列与期望；
(2)设第次传球后，甲接到球的概率为，
（i）试证明数列为等比数列；
（ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．
【答案】(1)分布列见解析，；(2)（i）证明见解析；（ii）答案见解析.
【分析】(1) 由题意知的取值为，求出X的每个值对应的概率,即可求得分布列,根据期望公式求得期望;
（2）（i）求得，根据时，第次传给甲的事件是第次传球后，球不在甲手上并且第次必传给甲的事件，可得，由此变形得可证明结论；（ii）求出，当时，,即可解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．
【详解】（1）由题意知的取值为，
； ；
；
所以X的分布列为
所以；
（2）（i）由题意：第一次传球后，球落在乙或丙手中，则，
时，第次传给甲的事件是第次传球后，球不在甲手上并且第次必传给甲的事件，
于是有 ，即 ，
故数列是首项为，公比为的等比数列;
（ii） ，所以 ，
当时， ，所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数.
6．【与正态分布融合】（2022·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程的概率；
（参考数据：若随机变量，则，
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字0､1､2､3､……､20）移动，若遥控车最终停在“胜利大本营”（第19格），则可获得购车优惠券3万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”（第20格），则没有任何优优惠券.已知硬币出现正､反面的概率都是，遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到；若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束.设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全额的期望值（精确到万元）.
【答案】(1)；；(2)；(3)证明见解析，参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为万元.
【分析】（1）利用直方图求平均值的公式即得；
（2）利用正态分布的性质求解即可；
（3）由题可得，利用定义证明其为等比数列，结合累加法得出的表达式，由此得到，，设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，或0，分别求出或0的概率，然后求出期望即可.
【详解】（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为：
；
（2）∵，
∴.
（3）由题可知，
遥控车移到第格有两种可能：
①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为；
②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为，
∴，
∴时，，又∵，
∴当时，数列首项为，公比为的等比数列，
∴，
以上各式相加，得，
∴时，，
∴到达“胜利大本营”的概率，
∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，则或0，
∴的期望，
∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为万元
7．【与五育融合】（2022·江苏南京·南京市江宁高级中学校考模拟预测）2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知．
①试证明为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望； 满足.
【详解】（1）解析1：分布列与期望
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，
门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，
，，
，，X的分布列为：
期望．
（1）解析2：二项分布
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，易知，，．X的分布列为：
期望．
（2）解析：递推求解
①第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则，
从而，又，∴是以为首项．公比为的等比数列．
②由①可知，，，故．
8．【与五育融合】（2022·山西太原·统考二模）足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，其中守门员扑点球和传球是足球训练中的两个重要训练项目．
(1)假设发点球时，球员等可能地选择左、中、右三个方向射门，守门员等可能地选择左、中、右三个方向扑点球，且守门员方向判断正确时有的可能将球扑出球门外．在一次点球战中，求守门员在前三次点球中，把球扑出球门外的个数X的分布列和数学期望；
(2)某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁4名球员进行传接球训练，从甲开始传球，等可能地传给另外3人中的1人，接球者再等可能地传给另外3人中的1人，如此一直进行．假设每个球都能被接住，记第n次传球后球又回到甲脚下的概率为．求证：数列为等比数列，并求．
【答案】(1)分布列见解析；期望为；(2)证明见解析；
【分析】(1)根据二项分布可求解；
(2)根据题意有，再根据递推关系可求解.
【解析】（1）每个点球能被守门员扑出球门外的概率为，
由题知，
，，
，，
X的分布列为：
∴．
（2）由已知第次传球后球又回到甲脚下的概率为，
∴时，
∴，
∴是首项为，公比为的等比数列，
∴，
∴．
9．【与学习强国融合】（2022·全国·模拟预测）“学习强国APP”是“学习强国”学习平台精心打造的手机客户端，提供海量、免费的图文和视频学习资料，其中学习平台有一个名为“挑战答题”的项目深受市民喜欢，某市某部门为检验全体干部职工的学习成果，提升学习主动性，组织开展了“学习强国”挑战答题活动，“挑战答题”比赛规则如下：每人在答对的情况下可以持续答题，第一次答错时，有一次复活机会，复活后，可以继续答题，但是当第二次答错时，答题结束，完成5道题可以获得5个积分．
(1)假设李明每次答题答对的概率均为0.5，每次答题是否答对互不影响，求李明获得5个积分的概率；
(2)为了吸引更多职工参与答题，该部门设置了一个“得积分进1阶”活动，从1阶到阶，规定每轮答题获5个积分进2阶，没有获得积分进1阶，按照获得的阶级给予相应的奖品，记王敏每次获得5个积分的概率互不影响，均为，记王敏进到n阶的概率为，求．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据题设可将事件分类，分别求出每类中事件的概率，利用互斥事件加法公式计算即可求解；
（2）通过探究与，之间关系，建立数列的递推关系，并求得，利用累加法即可求解．
【解析】（1）此人获得5个积分，说明此人至少答对了5题，且错题数不超过1个，包括情况为
①连续答对5个题，概率为；
②至少答了6个题，前5题有一个题答错，其余5题答对，其概率为．
因为两种情况互斥，所以此人获得5个积分的概率为．
（2）依题意，，，
“进到阶”的情况包括：第一种情况是进到n阶后下一轮未获得5个积分，其概率为；
第二种情况是进到阶后下一轮获得5个积分，其概率为，两种情况互斥，
所以，
则，
所以.
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以
，
即.
X
－1
0
1
P
(1－α)β
αβ＋(1－α)(1－β)
α(1－β)
X2
3
4
5
P
eq \f(9,64)
eq \f(35,64)
eq \f(5,16)
X
3
4
5
6
P
eq \f(1,27)
eq \f(2,9)
eq \f(4,9)
eq \f(8,27)
3
4
5
，
0
1
2
P
0
1
2
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
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