中考数学专项突破之函数的图象与性质 课件

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一次函数是初中函数内容的基础,其图象直观、形象地反映了自变量与函数的对应关系以及变化规律,不仅从形的角度刻画了一次函数的性质,同时也架起了联系一次函数与一元一次方程、二元一次方程、一元一次不等式的桥梁.利用一次函数的性质及变量的限制条件,可以解决某些实际生活中的选优问题.一次函数的图象与性质在中考中占有重要的地位,是中考热点之一.
解决函数图象与性质的问题,关键是由一次函数的解析式确定函数图象,由函数图象的位置判断解析式中k,b的符号,体现了数学中非常重要的数形结合思想.解决此类问题依照以下步骤:(1)利用等量关系写出所求的函数关系式;(2)根据题目中的不等关系,求出自变量x的取值范围,借助一次函数的性质分析问题.
小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发,沿同一条路相向而行.小玲开始跑步中途改为步行,到达图书馆恰好用30 min.小东骑自行车以300 m/min的速度直接回家.两人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示.(1)家与图书馆之间的路程为　　　　m,小玲步行的速度为　　　　m/min; (2)求小东离家的路程y关于x的函数解析式,并写出自变量的取值范围;(3)求两人相遇的时间.
【高分点拨】本题主要考查了从函数图象中获取信息、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次方程的关系,了解上述知识点是解决问题的关键.
(2)在小轿车司机驶过自然保护区入口时,大客车离景点入口还有多远?(3)小轿车司机到达自然保护区入口时发现本路段限速80 km/h,请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速?(4)若大客车一直以出发时的速度行驶,中途不再停车,那么小轿车折返后到达自然保护区入口,需等待　　　　分钟,大客车才能到达景点入口. 
纵观近几年的全国各地中考压轴题,考查反比例函数k的几何意义、与几何的综合、与相似的结合经常出现,一是考查反比例函数中的坐标乘积不变性和面积不变性,二是考查反比例函数与一次函数的联系,试题综合性强,不断推陈出新.
解答这类题时,常常要利用函数的基本性质及其意义.另外,一般用待定系数法求函数的解析式;在同一个坐标系中,利用函数的图象与性质比较一次函数与反比例函数的大小;利用函数与方程组及不等式的关系解决综合问题等.所以同学们要熟练掌握一次函数和反比例函数的性质并会运用其解决某些实际问题,领会函数解析式与函数图象之间的联系,体会数形结合及转化的思想方法.
解决此类问题一般从三个方向出发:(1)借助图象的增减性完成比较大小和取值范围类问题的求解.(2)借助“k”的意义解决面积类问题的求解.(3)借助图象的对称性和交点坐标,完成综合类的问题.
分析：利用A,B的坐标求出反比例函数解析式、△ABC的面积,即可得出关于n的方程,最后代入反比例函数和一次函数的解析式,即可求出答案;(2)由图可知,点B的横坐标到原点的取值范围及点A的横坐标向右的取值范围即为所求;(3)根据反函数的图象和性质,当点P在第一象限时,p>0;当点P在第三象限时,p≤-2.
【高分点拨】本题考查了一次函数的反比例函数的交点问题,用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式,一次函数和反比例函数的图象和性质,三角形的面积等知识点,主要考查学生运用性质进行计算的能力,题目比较好,有一定的难度,运用了数形结合的思想.
二次函数是一个重要的函数模型,重点考查分类讨论,数形结合,函数与方程,转化与化归等数学思想.每年中考必考,难度适中,主要考查二次函数的图象与性质,以及二次函数与一次函数的关系及应用.二次函数性质和图象特征的应用的三个着手点:对称性、等面积、取值范围,有利于数学教师的课堂教学有针对性地开展.解答此类问题需要掌握二次函数的概念、图象和性质,画出草图观察分析,将函数的平移、最值、增减性等贯穿在草图中,此类问题就会迎刃而解.
解决这类问题一般遵循这样的方法:(1)求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需将二次函数转化为一元二次方程;(2)求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;(3)根据图象的位置判断二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置,要数形结合;　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(4)二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和图象上的已知点关于对称轴对称的点的坐标,或已知函数图象与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标;(5)与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax2+bx+c﹙a≠0﹚本身就是含有字母x的二次函数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
分析：(1)根据二次函数顶点式可以知道M(b,4b+1),即x=b,y=4b+1,消去b,得y=4x+1;(2)由题意知B(0,5),二次函数过点B,代入解析式可求得b的值,求得点A的坐标,再利用函数图象比较大小;(3)先通过点M在△AOB内得到b的取值范围,也就是抛物线的对称轴,再根据抛物线的对称性和增减性确定y1,y2大小关系.解析：(1)∵点M的坐标是(b,4b+1),∴把x=b代入y=4x+1,得y=4b+1,∴点M在直线y=4x+1上.
(2)如图3,∵直线y=mx+5与y轴交于点B,∴点B的坐标为(0,5).又∵B(0,5)在抛物线上,∴5=-(0-b)2+4b+1,解得b=2,∴二次函数的表达式为y=-(x-2)2+9,∴当y=0时,得x1=5,x2=-1.∴A(5,0),观察图象可得,当mx+5>-(x-b)2+4b+1时,x的取值范围为x<0或x>5.
已知二次函数y=ax2-2x+3经过点A(-3,0).(1)求该函数的解析式;(2)如图,点P是抛物线上在第二象限内的一个动点,且点P的横坐标为t,连接AC,PA,PC.①求△ACP的面积S关于t的函数关系式;②求△ACP的面积的最大值,并求出此时点P的坐标. 
2.如图,正方形ABCD的边长为2 cm,E,F,G,H分别从A,B,C,D向B,C,D,A同时以0.5 cm/s的速度移动,设运动时间为t(s).(1)求证:△HAE≌△EBF;(2)设四边形EFGH的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;(3)画出(2)的图象,利用图象回答t为何值时,S最小,是多少?
4. 如图,某反比例函数图象的一支经过点A(2,3)和点B(点B在点A的右侧),作BC⊥y轴,垂足为点C,连接AB,AC.(1)求该反比例函数的解析式;(2)若△ABC的面积为6,求直线AB的表达式.
5.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C(0,-3).(1)求这个二次函数的表达式;(2)若P是第四象限内这个二次函数图象上任意一点,PH⊥x轴于点H,与BC交于点M,连接PC.①求线段PM的最大值;②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时,求点P的坐标.