第02讲 常用逻辑用语（原卷版+解析版）-2023年高考数学必考考点二轮复习讲义（新高考专用）

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1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
2．全称命题和特称命题(1)全称量词和存在量词
(2)全称命题和特称命题
【典型题型讲解】
考点一：充分条件与必要条件的判断
【典例例题】
例1．（2022·广东·金山中学高三期末）“”是“点在圆外”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】将化为标准方程，得
当点在圆外时，有，解得
∴“”是“点”在圆外”的必要不充分条件.
故选：B.
【方法技巧与总结】
1.要明确题中题意，找出条件和结论.
2.充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.
【变式训练】
1.已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
由线面垂直的性质知，若，，则成立，即充分性成立；
根据线面垂直的定义，必须垂直平面内的两条相交直线，才有，即必要性不成立.
故选：A.
2.已知且，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】
函数为增函数,则 ,此时,故函数在上单调递增;当在上单调递增时, ,,所以,故为增函数.
故选:C
3.在等比数列中，已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
∵公比，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴且，
∴且，
即“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
考点二：充分条件与必要条件的应用
【典例例题】
例1.“”是“在上恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
在上恒成立，
即在恒成立，
令，则在上恒成立，
故在上单调递增，
所以，
所以
因为，而，
所以“”是“在上恒成立”的充分不必要条件.
故选：A
【方法技巧与总结】
1.集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系.
2.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错.
【变式训练】
1.若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由题意可得 ，而
则 ，故，
故选：D
2.（多选）“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
由题意，关于的不等式对恒成立，
则，解得，
对于选项A中，“”是“关于的不等式对恒成立”的充要条件；
对于选项B 中，“”是“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件；
对于选项C中，“”是“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件；
对于选项D中，“”是“关于的不等式对恒成立”必要不充分条件.
故选：BD.
3.已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为________．
【答案】
【详解】
函数的对称轴为，开口向上，
所以函数在上递增，
当时，；当时，.
所以.
，
由于“”是“”的充分条件，
所以，，
解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：
考点三：全称量词命题与存在量词命题的真假
【典例例题】
例1.已知，下列四个命题：①，，②，，③，，④，．
其中是真命题的有（ ）
A．①③B．②④C．①②D．③④
【答案】C
【详解】
对于①，由得：，，，则，①正确；
对于②，，，即，则，②正确；
对于③，函数在上为减函数，而，则，即，，③错误；
对于④，当时，，，即，④错误，
所以所给命题中，真命题的是①②．
故选：C
【方法技巧与总结】
1.全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论.
2.全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可.
【变式训练】
1．已知命题：存在，使得，命题：对任意的，都有，命题：存在，使得，其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【详解】
当时，显然成立；当时，可知不成立；由辅助角得，所以所以的最大值为5，所以为假.
故选：B
2．已知函数和的定义域均为，记的最大值为，的最大值为，则使得“”成立的充要条件为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，
【答案】C
【详解】
解：A选项表述的是的最小值大于的最大值；
B选项表述的是的最小值大于的最小值；
C选项表述的是的最大值大于的最大值成立的充要条件；
D选项是成立的充分不必要条件．
故选：C
3．下列命题中，真命题为（ ）
A．存在，使得
B．直线，平面，平面，则平面
C．最小值为4
D．，是成立的充分不必要条件
【答案】D
【详解】
对于A中，由指数函数的性质，可得恒成立，
所以不存在，使得，所以A为假命题；
对于B中，如图所示，在正方体中，
设平面为平面，平面为平面，直线为直线，直线为直线，
此时满足，且平面，平面，但平面与平面不垂直，
所以C为假命题.
对于C中，由，
当且仅当时，即时，等号成立，
显然不成立，所以C为假命题
对于D中，由，可得，即充分性成立；
反之：例如：，此时满足，但不成立，即必要性不成立，
所以是的充分不必要条件，所以D为真命题.
故选：D
4.（多选题）下列命题中的真命题是（ ）
A．∀x∈R，2x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lgx<1D．∃x∈R，tanx＝2
【答案】ACD
【详解】
对选项A，令，，
因为，所以，故A正确；
对选项B，当时，，故B错误；
对选项C，当时，，故存在，，C正确；
对选项D，因为的值域为，所以存在，使得.
故选：ACD
考点四：全称量词命题与存在量词命题的否定
【典例例题】
例1．（2022·广东佛山·高三期末）设命题，则p的否定为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题的否定为.
故选：B.
【方法技巧与总结】
1.全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定.
2.全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否.
【变式训练】
1.已知命题p：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】
：，.
故选：D
2．已知命题：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】
命题：，的否定是：，．
故选：D．
3．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】
由存在量词命题的否定知原命题的否定为：，.
故选：C.
考点五：根据全称（特称）命题的真假求参数
【典例例题】
例1.若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
依题意命题“，”为真命题，
当时，成立，
当时，成立，
当时，函数开口向下，不恒成立.
综上所述，.
故选：B
例2.命题：，使得成立．若是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
命题：，使得成立．
因为是假命题，则命题的否定为：，使得成立，为真命题．
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：B．
【方法技巧与总结】
1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级即可.
2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.
【变式训练】
1.若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
依题意命题“，”为真命题，
当时，成立，
当时，成立，
当时，函数开口向下，不恒成立.
综上所述，.
故选：B
2．若命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【详解】
∵命题“存在，使” 是假命题，
则其否定“任意， ” 为真命题,
∴ ，
所以 .
故选： C.
3．若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C.
【详解】
解：命题“”为假命题，其否定为真命题，
即“”为真命题．
令，
则，即，
解得，所以实数x的取值范围为.
故选：C
4．若“，”是真命题，则实数的最大值为___________.
【答案】
【详解】
若“，”是真命题，
则实数小于等于函数在的最小值，
因为函数在上为增函数，
所以函数在上的最小值为，
所以，即实数的最大值为.
故答案为：
5．已知定义在上的函数满足且，其中的解集为A.函数，，若，使得，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【详解】
解：构造函数，
所以，
因为定义在上的函数满足，
所以，所以在上单调递增，且，
所以不等式可化为，即，
所以，
所以的解集，
函数，当且仅当，或时等号成立，在A上仅当时等号成立，
所以在A上的值域为，
为增函数，
所以在A上的值域为，
若，使得，
则，
所以，又因为
即实数a的取值范围是.
故答案为：.
6．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【详解】
由题意得“”为真命题，故，
故答案为：
7．若“，”为假命题，则实数的最小值为______．
【答案】3
【详解】
“，”的否定为“，都有”，
因为“，”为假命题，
所以“，都有”为真命题，
所以在上恒成立，
所以，
所以实数的最小值为3，
故答案为：3
【巩固练习】
一、单选题
1．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
因为存在量词命题的否定为全称量词命题，结合题意可得命题“，”的否定为，．
故选：B.
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
解：因为，所以或，
当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件；
当或时，不一定成立，所以“”是“”的非必要条件.
所以“”是“”的充分非必要条件.
故选：A
3．若命题“时，”是假命题，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
因为“，”是假命题，
则其否定“，”为真命题
则
而当时，取得最小值
所以
故选：B
4．“”是“使成立”为假命题的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
解：“使成立”为假命题，则“使成立”为真命题，当时成立，当，则，，∴，综合得，则“”是的充分不必要条件.
故选：B.
5．若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由不等式，可得，（不合题意）
要使得是的一个充分条件，
则满足，解得.
故选：D.
6．已知函数，则“函数的图象恒在轴的下方”是“”的（ ）
A．既不必要又不充分条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．充要条件
【答案】C
因为二次函数的开口方向向下，
所以有，则，
即，满足函数的图像在轴的下方.
又因为，
所以“函数的图像在轴的下方”是“0”的必要不充分条件.
故选：C
7．若，则“”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
因为，
对于A，当，取，明显可见，不成立，故必要性不成立，A错误；
对于B，当，，得，必要性成立；当，取，，明显可见，，则不成立，充分性不成立；则B正确
对于C，当，取，明显可见，，则不成立，故必要性不成立，则C错误；
对于D，当成立，则，明显可见，成立；当，两边平方，同样有，充分性也成立，D错误；
故选：B
8．若命题“，”是真命题，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
当时显然恒成立，
当时要使命题为真，则：
可得；而时不可能恒成立，
综上，k的取值范围是.
故选：B
二、填空题
9．已知命题“”为真命题，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
因为命题“”为真命题，
所以，即，
解得，
所以实数a的取值范围是，
故答案为：
10．已知p：，q：，，且p是q成立的必要非充分条件，则实数a的取值范围是________．
【答案】
因为p是q成立的必要非充分条件，所以，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
11．若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围为________.
【答案】
由题意可知，不等式有解，，即，
∴实数m的取值范围为，
故答案为：.
12．已知：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为__________．
【答案】
详解：求解绝对值不等式可得：，
求解二次不等式可得：,
若是的充分不必要条件,则：，
求解关于a的不等式组可得：，
结合可得实数的取值范围是（0，3].
若，则是的充分条件，是的必要条件
是的充分不必要条件
且
是的必要不充分条件
且
是的充要
条件
是的既不充分也不必要
条件
且
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词
存在一个、至少有一个、有些、某些等
名称
形式
全称命题
特称命题
结构
对中任意一个，
有成立
存在中的一个，
使成立
简记
否定