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技巧04 解答题解法与技巧（练）-备战高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考）
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这是一份技巧04 解答题解法与技巧（练）-备战高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考），文件包含技巧04解答题解法与技巧练解析版docx、技巧04解答题解法与技巧练原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
1．（2023春·北京·高三北京二中校考开学考试）已知函数的一个零点为．
(1)求A的值和函数的最小正周期；
(2)当时，若恒成立，求的取值范围．
2．（2023·广东佛山·统考一模）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为在方向上的投影向量，且满足.
(1)求的值；
(2)若，，求的周长.
3．（2023·全国·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求A；
(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．
4．（2023·陕西西安·统考一模）已知等差数列的前n项和为，满足，_____________．
在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选_____________”）
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前n项和．
5．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求的取值范围．
6．（2023·全国·模拟预测）某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回答的是甲的概率为，若．
①求P2，P3；
②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．
7．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)令，数列的前n项和为，求证：．
8．（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）各项均不为0的数列满足：，且.
(1)求；
(2)已知，请证明：.
9．（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，分别是棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
(3)若，求点到平面的距离.
10．（2023·陕西西安·统考一模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，F在上，满足.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
11．（2023·全国·模拟预测）如图，已知直四棱柱的底面为平行四边形，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)若底面为边长为的正方形，且，为上的动点（包含端点），求当直线与平面所成角的正弦值最大时点的位置．
12．（2023·全国·模拟预测）如图1，在平面四边形ABCD中，，，于点E，于点F，且与AB交于点G，，将沿DG折起，使得平面平面BCDG，得到四棱锥，如图2，P，Q分别为CD，AF的中点．
(1)求证：平面ABP；
(2)若，求直线DQ与平面QBP所成角的正弦值．
13．（2023春·北京·高三北京二中校考开学考试）学校组织A，B，C，D，E五位同学参加某大学的测试活动，现有甲、乙两种不同的测试方案，每位同学随机选择其中的一种方案进行测试，选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每位同学测试的结果互不影响．
(1)若A，B，C三位同学选择甲方案，D，E两位同学选择乙方案，求5位同学全部测试合格的概率；
(2)若5位同学全选择甲方案，将测试合格的同学的人数记为X，求X的分布列及其均值；
(3)若测试合格的人数的均值不小于3，直接写出选择甲方案进行测试的同学的可能人数．
14．（2023春·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）某公司在2013~2022年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：
注：年返修率=年返修台数÷年生产台数..
(1)从2013~2021年中随机抽取两年，求这两年中至少有一年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；
(2)公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013~2021年中随机选出3年，记X表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数，求X的分布列和期望；
(3)记公司在2013~2017年，2018~2022年的年生产台数的方差分别为，.若，请写出a的值.（只需写出结论）
（注：，其中为数据的平均数）
15．（2023·陕西西安·统考一模）某学校组织知识竞答比赛，设计了两种答题方案：
方案一：先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题；
方案二：全部回答单选题.
其中每道单选题答对得2分，答错得0分；
多选题全部选对得3分，选对但不全得1分，有错误选项得0分.
每名参与竞答的同学至多答题3道.在答题过程中得到4分或4分以上立刻停止答题.统计参与竞答的500名同学，所得结果如下表所示：
(1)能否有的把握认为方案的选择与性别有关?
(2)小明回答每道单选题的正确率为0.8；多选题完全选对的概率为0.3，选对且不全的概率为0.3.
①若小明选择方案一，记小明的得分为X，求X的分布列及数学期望；
②如果你是小明，为了获取更好的得分你会选择哪个方案?请通过计算说明理由.
附：，.
16．（2022秋·广西玉林·高三校联考阶段练习）双曲线的离心率为，右焦点F到渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过直线上任意一点P作双曲线C的两条切线，交渐近线于A，B两点，证明：以AB为直径的圆恒过右焦点F．
17．（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，直线l：与C的两个交点和O，B构成一个面积为的菱形.
(1)求C的方程；
(2)圆E过O，B，交l于点M，N，直线AM，AN分别交C于另一点P，Q.
①求的值；
②证明：直线PQ过定点.
18．（2023·浙江·校联考模拟预测）设双曲线的右焦点为，F到其中一条渐近线的距离为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线于点M，
（i）求的值；
（ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明：.
19．（2023春·北京·高三北京二中校考开学考试）已知椭圆的短轴长为，直线与轴交于点，椭圆的右焦点为，，过点的直线与椭圆交于两点．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若原点在以为直径的圆上，求直线的方程；
(3)过点且垂直于轴的直线交椭圆于另一点，证明：三点共线，并直接写出面积的最大值．
20．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点F关于直线的对称点恰好在y轴上．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)直线与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，若，求的最大值．
21．（2023春·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间；
(3)若对任意，恒成立，求a的取值范围.
22．（2023·陕西西安·统考一模）已知函数，求证：
(1)存在唯一零点；
(2)不等式恒成立．
23．（2023·广西柳州·高三统考阶段练习）已知函数．
(1)当时，讨论函数零点的个数．
(2)若，且在区间上恒成立，求a的取值范围．
24．（2023·湖南·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：当时，；
(3)若，，求实数a的取值范围.
25．（2023·全国·模拟预测）2022年9月20日是第34个“全国爱牙日”，宣传主题是“口腔健康，全身健康”．要想口腔健康，良好的刷牙习惯不可少，牙刷的质量也是至关重要的，与手动牙刷相比较，电动牙刷的清洁力更高，刷牙效果更好．某医生计划购买某种品牌的电动牙刷，预计使用寿命为5年，该电动牙刷的刷头在使用过程中需要更换．若购买该品牌电动牙刷的同时购买刷头，则每个刷头20元；若单独购买刷头，则每个刷头30元．某经销商随机调查了使用该品牌电动牙刷的100名医生在5年使用期内更换刷头的个数，得到下表：
用（）表示1个该品牌电动牙刷在5年使用期内需更换刷头的个数，表示购买刷头的费用（单位：元）．
(1)求这100名医生在5年使用期内更换刷头的个数的中位数；
(2)若购买1个该品牌电动牙刷的同时购买了18个刷头，求关于的函数解析式；
(3)假设这100名医生购买1个该品牌电动牙刷的同时都购买了17个刷头或18个刷头，分别计算这100名医生购买刷头费用的平均数，以此作为决策依据，判断购买1个该品牌电动牙刷的同时应购买17个刷头还是18个刷头．
26．（2023·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，若，且对任意恒成立，求实数的取值范围.
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
年生产台数（单位：万台）
3
5
5
6
6
9
9
10
10
a
年返修台数（单位：台）
32
38
54
58
52
71
64
80
75
b
年利润（单位：百万元）
3.85
4.50
4.20
5.50
6.10
9.65
9.98
10.00
11.50
c
男生
女生
选择方案一
100
80
选择方案二
200
120
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
更换刷头的个数
14
15
16
17
18
19
20
频数
8
8
10
24
28
12
10
1．（2023春·北京·高三北京二中校考开学考试）已知函数的一个零点为．
(1)求A的值和函数的最小正周期；
(2)当时，若恒成立，求的取值范围．
2．（2023·广东佛山·统考一模）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为在方向上的投影向量，且满足.
(1)求的值；
(2)若，，求的周长.
3．（2023·全国·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求A；
(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．
4．（2023·陕西西安·统考一模）已知等差数列的前n项和为，满足，_____________．
在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选_____________”）
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前n项和．
5．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求的取值范围．
6．（2023·全国·模拟预测）某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回答的是甲的概率为，若．
①求P2，P3；
②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．
7．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)令，数列的前n项和为，求证：．
8．（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）各项均不为0的数列满足：，且.
(1)求；
(2)已知，请证明：.
9．（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，分别是棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
(3)若，求点到平面的距离.
10．（2023·陕西西安·统考一模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，F在上，满足.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
11．（2023·全国·模拟预测）如图，已知直四棱柱的底面为平行四边形，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)若底面为边长为的正方形，且，为上的动点（包含端点），求当直线与平面所成角的正弦值最大时点的位置．
12．（2023·全国·模拟预测）如图1，在平面四边形ABCD中，，，于点E，于点F，且与AB交于点G，，将沿DG折起，使得平面平面BCDG，得到四棱锥，如图2，P，Q分别为CD，AF的中点．
(1)求证：平面ABP；
(2)若，求直线DQ与平面QBP所成角的正弦值．
13．（2023春·北京·高三北京二中校考开学考试）学校组织A，B，C，D，E五位同学参加某大学的测试活动，现有甲、乙两种不同的测试方案，每位同学随机选择其中的一种方案进行测试，选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每位同学测试的结果互不影响．
(1)若A，B，C三位同学选择甲方案，D，E两位同学选择乙方案，求5位同学全部测试合格的概率；
(2)若5位同学全选择甲方案，将测试合格的同学的人数记为X，求X的分布列及其均值；
(3)若测试合格的人数的均值不小于3，直接写出选择甲方案进行测试的同学的可能人数．
14．（2023春·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）某公司在2013~2022年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：
注：年返修率=年返修台数÷年生产台数..
(1)从2013~2021年中随机抽取两年，求这两年中至少有一年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；
(2)公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013~2021年中随机选出3年，记X表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数，求X的分布列和期望；
(3)记公司在2013~2017年，2018~2022年的年生产台数的方差分别为，.若，请写出a的值.（只需写出结论）
（注：，其中为数据的平均数）
15．（2023·陕西西安·统考一模）某学校组织知识竞答比赛，设计了两种答题方案：
方案一：先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题；
方案二：全部回答单选题.
其中每道单选题答对得2分，答错得0分；
多选题全部选对得3分，选对但不全得1分，有错误选项得0分.
每名参与竞答的同学至多答题3道.在答题过程中得到4分或4分以上立刻停止答题.统计参与竞答的500名同学，所得结果如下表所示：
(1)能否有的把握认为方案的选择与性别有关?
(2)小明回答每道单选题的正确率为0.8；多选题完全选对的概率为0.3，选对且不全的概率为0.3.
①若小明选择方案一，记小明的得分为X，求X的分布列及数学期望；
②如果你是小明，为了获取更好的得分你会选择哪个方案?请通过计算说明理由.
附：，.
16．（2022秋·广西玉林·高三校联考阶段练习）双曲线的离心率为，右焦点F到渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过直线上任意一点P作双曲线C的两条切线，交渐近线于A，B两点，证明：以AB为直径的圆恒过右焦点F．
17．（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，直线l：与C的两个交点和O，B构成一个面积为的菱形.
(1)求C的方程；
(2)圆E过O，B，交l于点M，N，直线AM，AN分别交C于另一点P，Q.
①求的值；
②证明：直线PQ过定点.
18．（2023·浙江·校联考模拟预测）设双曲线的右焦点为，F到其中一条渐近线的距离为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线于点M，
（i）求的值；
（ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明：.
19．（2023春·北京·高三北京二中校考开学考试）已知椭圆的短轴长为，直线与轴交于点，椭圆的右焦点为，，过点的直线与椭圆交于两点．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若原点在以为直径的圆上，求直线的方程；
(3)过点且垂直于轴的直线交椭圆于另一点，证明：三点共线，并直接写出面积的最大值．
20．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点F关于直线的对称点恰好在y轴上．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)直线与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，若，求的最大值．
21．（2023春·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间；
(3)若对任意，恒成立，求a的取值范围.
22．（2023·陕西西安·统考一模）已知函数，求证：
(1)存在唯一零点；
(2)不等式恒成立．
23．（2023·广西柳州·高三统考阶段练习）已知函数．
(1)当时，讨论函数零点的个数．
(2)若，且在区间上恒成立，求a的取值范围．
24．（2023·湖南·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：当时，；
(3)若，，求实数a的取值范围.
25．（2023·全国·模拟预测）2022年9月20日是第34个“全国爱牙日”，宣传主题是“口腔健康，全身健康”．要想口腔健康，良好的刷牙习惯不可少，牙刷的质量也是至关重要的，与手动牙刷相比较，电动牙刷的清洁力更高，刷牙效果更好．某医生计划购买某种品牌的电动牙刷，预计使用寿命为5年，该电动牙刷的刷头在使用过程中需要更换．若购买该品牌电动牙刷的同时购买刷头，则每个刷头20元；若单独购买刷头，则每个刷头30元．某经销商随机调查了使用该品牌电动牙刷的100名医生在5年使用期内更换刷头的个数，得到下表：
用（）表示1个该品牌电动牙刷在5年使用期内需更换刷头的个数，表示购买刷头的费用（单位：元）．
(1)求这100名医生在5年使用期内更换刷头的个数的中位数；
(2)若购买1个该品牌电动牙刷的同时购买了18个刷头，求关于的函数解析式；
(3)假设这100名医生购买1个该品牌电动牙刷的同时都购买了17个刷头或18个刷头，分别计算这100名医生购买刷头费用的平均数，以此作为决策依据，判断购买1个该品牌电动牙刷的同时应购买17个刷头还是18个刷头．
26．（2023·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，若，且对任意恒成立，求实数的取值范围.
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
年生产台数（单位：万台）
3
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5
6
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9
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10
a
年返修台数（单位：台）
32
38
54
58
52
71
64
80
75
b
年利润（单位：百万元）
3.85
4.50
4.20
5.50
6.10
9.65
9.98
10.00
11.50
c
男生
女生
选择方案一
100
80
选择方案二
200
120
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
更换刷头的个数
14
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