2022-2023学年黑龙江省佳木斯市同江市六校九年级（上）期末数学试卷(含解析）

2022-2023学年黑龙江省佳木斯市同江市六校九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列运算中，计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  抛物线的顶点坐标和开口方向分别是(    )

A. ，开口向上 B. ，开口向下
C. ，开口向上 D. ，开口向下

3.  如图，点，，在上，若，则的度数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

4.  反比例函数的图象，当时，随的值增大而增大，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图在中，半径垂直于弦，点在圆上且，则度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，已知与相交于、两点，则的的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D. 或 

8.  如图，现有一圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面接缝忽略不计，则该圆锥底面圆的半径为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客租住，某旅行团人准备同时租用这三种客房共间，如果每个房间都住满，租房方案有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

10.  如图所示，已知和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，则下列结论：，，，，其中正确结论的个数(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.  港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，全长约米，请把用科学记数法表示        ．

12.  函数中自变量的取值范围是______．

13.  如图，点在上，，要使≌，可补充的一个条件是：______答案不唯一，写一个即可

14.  一个布袋中放有红、绿两种颜色的球各两个，它们除颜色外，其他都一样小明从布袋中抽取一个球后放回摇匀，再摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是        ．

15.  一种产品年的产量是万件，计划年产量达到万件假设年到年这种产品产量的年增长率相同则年到年这种产品产量的年增长率为        ．

16.  若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为        ．

17.  如图，的直径垂直于弦，垂足为如果，，那么的长为______．

18.  如图，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为______．

19.  已知的半径为，，是的两条弦，，，，则弦和之间的距离是______．

20.  如图所示，在轴的正半轴上依次截取，过、、、、分别作轴的垂线与反比例函数的图象交于点、、、、，并设、、面积分别为、、，按此作法进行下去，则的值为______ 为正整数．

三、解答题（本大题共8小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
化简求值：，其中是方程的一个根．

22.  本小题分
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点坐标为．
画出与关于原点对称的，并写出点的坐标．
把绕原点逆时针旋转得到，画出，并写出点的坐标．
计算中点旋转到所走过的路径长．

23.  本小题分
如图，抛物线经过点，，与轴交于点．
求抛物线的解析式及顶点坐标；
抛物线在第二象限的图象上有一点，过作垂直于轴的直线交直线与，当最大时，求点的坐标．

24.  本小题分
“世界读书日”前夕，某校开展了“读书助我成长”的阅读活动为了了解该校学生在此次活动中课外阅读书籍的数量情况，随机抽取了部分学生进行调查，将收集到的数据进行整理，绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图信息解决下列问题：
求本次调查中共抽取的学生人数；
补全条形统计图；
若该校有名学生，估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于本的学生有多少人？

25.  本小题分
甲、乙两车从城出发前往城，在整个行程中，两车离开城的距离与的对应关系如图所示：
、两城之间距离是多少千米？
求乙车出发多长时间追上甲车？
直接写出甲车出发多长时间，两车相距千米．

26.  本小题分
在中，，，过点的直线与直线相交于点，以为边长作正方形，当直线旋转到图位置时，易证：；
当直线旋转到图位置时，其他条件不变，写出、、的关系，并给出证明；
当直线旋转到图位置时，其他条件不变，直接写出、、的数量关系．
 

27.  本小题分
百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出件，每件盈利元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件．
要想平均每天销售这种童装盈利元，那么每件童装应降价多少元？
每件童装降价多少元时，每天销售这种童装的利润最高？最高利润是多少？

28.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，、的长分别是一元二次方程的两个根．

求点的坐标．
求直线的解析式．
在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：与，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意；
故选：．
选项利用合并同类项法则判断得出答案；
选项利用积的乘方运算法则计算得出答案；
选项利用完全平方公式计算得出答案；
选项利用二次根式除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了合并同类项、积的乘方运算、完全平方公式、二次根式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的顶点式，二次函数的性质，根据，时图象开口向上，时图象开口向下，顶点坐标是进行作答即可．
【解答】
解：由，得
开口方向向上，
顶点坐标．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
首先圆上取一点，连接，，根据圆的内接四边形的性质，即可得，即可求得的度数，再根据圆周角定理，即可求得答案．
【解答】
解：如图，圆上取一点，连接，，

点、，，在上，，
，
，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：当时，随的增大而增大，
，
．
故选A．
根据反比例函数的性质得出，求出即可．
本题主要考查对解一元一次不等式，反比例函数的性质等知识点的理解和掌握，能根据反比例函数的性质得出是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，依题意得，
即，
解方程得，舍去，
故选：．
患流行性感冒的人传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，解方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流行性感冒的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．
 

6.【答案】 

【解析】解：，为的半径．
，
，
，
．
故选：．
利用圆周角与圆心角的关系即可求解．
此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的关系是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：观察图象可知：抛物线与直线的交点横坐标是，，
故当或时，．
故选：．
当时，即取二次函数图象在一次函数的图象上面对应的点．读图可知，的取值范围．
此题考查了二次函数与不等式，解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
 

8.【答案】 

【解析】解：弧长：，
圆锥底面圆的半径：．
故选：．
本题考查了圆锥的有关计算，圆锥的表面是由一个曲面和一个圆面围成的，圆锥的侧面展开在平面上，是一个扇形，计算圆锥侧面积时，通过求侧面展开图面积求得，侧面积公式是底面周长与母线乘积的一半，先求扇形的弧长，再求圆锥底面圆的半径，弧长：，圆锥底面圆的半径：．
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：
圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设租二人间间，租三人间间，则四人间客房．
依题意得：，
解得：．
，，，
，，；，，．
故有种租房方案．
故选：．
关键描述语：某旅行团人准备同时租用这三种客房共间，每个房间都住满，可先列出函数关系式，再根据已知条件确定所求未知量的范围，从而确定租房方案．
本题的关键是找出题中的隐藏条件，列出不等式进行求解．
 

10.【答案】 

【解析】解：和均是等边三角形，
，，，
，，
≌，
，故正确；
，
，，
≌，
，故正确；
同理：≌，
，
是等边三角形，
，
，故正确；
过作于，于，

≌，
，
，，
≌，
，
，，
≌
，故正确．
正确结论的个数是个．
故选：．
首先根据等边三角形的性质，得到，，，然后由判定≌，根据全等三角形的对应边相等即可证得正确；又由全等三角形的对应角相等，得到，根据，证得≌，即可得到正确；同理证得，得到是等边三角形，易得正确；过作于，于，想办法证明即可判断正确．
此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】且 

【解析】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据判定方法，可填；或；或；．
和已经满足一条边相等公共边和一对对应角相等，只要再添加一边或一角、即可得出结论．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、添加时注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

14.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有种，
两次都摸到红球的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】 

【解析】解：设年到年这种产品产量的年增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
年到年这种产品产量的年增长率为．
故答案为：．
设年到年这种产品产量的年增长率为，利用计划年的产量年的产量年到年这种产品产量的年增长率，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

16.【答案】且 

【解析】解：方程有两个不相等的实数根，
且，
解得，
即的取值范围为且．
故答案为：且．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，
的直径垂直于弦，垂足为，
，
，，
．
故答案为：．
由是的直径，根据由垂径定理得出，进而利用等边三角形的判定和性质求得答案．
此题考查了垂径定理以及等边三角形的性质．注意由垂径定理得出是关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：过作关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可知即为的最小值，
连接，，，
关于直线对称，
，
，
，，
，
过作于，
在中，，
，
即的最小值．
故答案为：．
过作关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可知即为的最小值，由对称的性质可知，再由圆周角定理可求出的度数，再由勾股定理即可求解．
本题考查的是轴对称最短路线问题，圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．
 

19.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．
分两种情况进行讨论：弦和在圆心同侧；弦和在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【解答】

解：当弦和在圆心同侧时，如图，

，，
，，
，
，，
；
当弦和在圆心异侧时，如图，

，，
，，
，
，，
．
与之间的距离为或．
故答案为或．
 

20.【答案】 

【解析】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，．
又因为
所以，，，，．
依此类推：的值为．
故答案是：．
根据反比例函数中的几何意义再结合图象即可解答．
主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即．
 

21.【答案】解：原式
，
，
，
或，
由分式有意义的条件可知：，故舍去，
当时，
原式． 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将的值求出，最后代入化简后的式子即可求出答案．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解一元二次方程的能力．
 

22.【答案】解：如图所示，；
如图所示．
，
点旋转到所走过的路径长 

【解析】根据网格结构找出点、、关于原点对称的点、、的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标；
根据网格结构找出点、、绕坐标原点逆时针旋转后得到对应点、、的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标；
利用弧长公式求解即可．
本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
 

23.【答案】解：抛物线经过点，，
把，代入抛物线解析式得：，
解得：，
则抛物线解析式为，顶点坐标为；
如图所示，设，
对于抛物线，令，得到，即，
设直线解析式为，
把与代入得：，
解得：，即直线解析式为，
，
，
，
当时，取得最大值，
则此时坐标为 

【解析】把与坐标代入抛物线解析式求出与的值，确定出解析式，进而求出顶点坐标即可；
根据题意画出图形，设出坐标，利用待定系数法求出直线解析式，表示出坐标，进而表示出，利用二次函数性质求出取得最大值时的值，即可确定出此时的坐标．
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数性质与最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
 

24.【答案】解：人，
即本次调查中共抽取的学生人数为；
阅读量为本的学生有：人，
阅读数量为本的学生有：人，
补全条形统计图如下：

人，
即估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于本的学生有人． 

【解析】由阅读量为本的人数及其所占百分比，可以计算出本次调查中共抽取的学生人数；
求出阅读量为本和本的人数，即可补全条形图；
根据条形统计图中的数据和题意，可以计算出该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于本的学生有多少人．
本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

25.【答案】解：由图象可知、两城之间距离是千米．
设乙车出发小时追上甲车．
由图象可知，甲的速度千米小时．
乙的速度千米小时．
由题意
解得小时．
设，则解得，
，
设，则，解得，
，
两车相距千米，
或或或，
即或或或
解得或或或，
，，，
甲车出发小时或小时或小时或小时，两车相距千米． 

【解析】根据图象即可得出结论．
先求出甲乙两人的速度，再列出方程即可解决问题．
根据或，列出方程即可解决．
本题考查一次函数的应用、行程问题等知识，解题的关键是学会利用函数解决实际问题，学会转化的思想，把问题转化为方程，属于中考常考题型．
 

26.【答案】解：关系：，
证明：四边形为正方形，
，，
，，
，即，
在和中，
，
≌，
，
是的一个外角，
，
，
，
；
、、满足的关系式为：，
证明：四边形为正方形，
，，
又，
，
，即，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
则． 

【解析】、、的关系为：，理由为：由四边形为正方形，得到，且为直角，得到，等式左右两边都加上得到，再由，，利用可得出三角形与三角形全等，根据全等三角形的对应角相等可得出，又为三角形的外角，利用外角的性质得到，变形后等量代换即可得证；
、、的关系式是，可以根据，等号两边都减去，可得出，再由，，利用证明三角形与三角形全等，由全等三角形的对应角相等可得出，根据三角形的内角和为，等量代换可得证．
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质，熟练掌握判定及性质是解本题的关键．
 

27.【答案】解：设要想平均每天销售这种童装盈利元，那么每件童装应降价元，
，
解得，，
当时，卖出的多，库存比时少，
要想平均每天销售这种童装盈利元，那么每件童装应降价元；
设每件童装降价元，利润为元，
，
当时，取得最大值，此时，
即每件童装降价元时，每天销售这种童装的利润最高，最高利润是元． 

【解析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，注意题目中要求扩大销售量，增加盈利，减少库存；
根据题意可以得到利润与所将价格的关系式，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

28.【答案】解：，
解得，，
，
，，
过作于点，
正方形，
，，

，
，
，
，
，
在和中，，
≌，
，，
，
；

过点作轴于点，

同上可证得≌，
，，
，
，
设直线的解析式为、为常数，
代入，得，，
解得，
；

存在，如图，

点与点重合时，，
点与点关于点对称时，． 

【解析】解一元二次方程求出、的长度，过点作于点，根据正方形的性质可得，，然后求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标即可；
过点作轴于点，同理求出点的坐标，设直线的解析式为、为常数，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
根据正方形的性质，点与点重合时，为等腰三角形；点为点关于点的对称点时，为等腰三角形，然后求解即可．
本题是一次函数综合题型，主要利用了解一元二次方程，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．