高中数学高考课后限时集训20 定积分与微积分基本定理 作业

　　　　　　　定积分与微积分基本定理

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一、选择题

1．已知t是常数，若(2x－2)dx＝8，则t＝(　　)

A．1　　　　 B．－2

C．－2或4   D．4

D　[由(2x－2)dx＝8得，(x2－2x)|＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)．]

2．设f(x)＝cos tdt，则f＝(　　)

A．1   B．sin

C．sin 2   D．2sin

D　[∵f(x)＝cos tdt＝sin t|＝2sin x，

∴f＝2sin ＝，∴f＝2sin .]

3．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　　)

A．2   B．4

C．2   D．4

D　[如图，y＝4x与y＝x3的交点A(2，8)，图中阴影部分即为所求图形面积．

S阴＝(4x－x3)dx

＝|

＝8－×24＝4，故选D.]

4.dx的值为(　　)

A.   B.

C．π   D．2π

A　[令y＝，则(x－1)2＋y2＝1，(y＞0)．

∴dx表示由曲线y＝，x＝0，x＝1及x轴围成的曲边图形的面积，即圆面积的，∴dx＝.]

5．若S1＝dx，S2＝(ln x＋1)dx，S3＝xdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)

A．S1＜S2＜S3   B．S2＜S1＜S3

C．S1＜S3＜S2   D．S3＜S1＜S2

A　[如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选A.]

6．如果1 N的力能拉长弹簧1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，所耗费的功为(　　)

A．0.18 J   B．0.26 J

C．0.12 J   D．0.28 J

A　[设F(x)＝kx，当x＝0.01 m时，F(x)＝1，可知k＝100.

∴所耗费的功W＝100xdx＝50x2|＝0.18 J．]

7．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝(　　)

A．－1   B．－

C.   D．1

B　[由题意知f(x)＝x2＋2f(x)dx，

设m＝f(x)dx，

∴f(x)＝x2＋2m，

f(x)dx＝(x2＋2m)dx＝|

＝＋2m＝m，∴m＝－.]

二、填空题

8.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围成的面积为________．

　[由题图可知f(x)＝－x2＋1.

∴它与x轴所围成的面积S＝(1－x2)dx＝|＝－＝＋＝.]

9．汽车以72 km/h的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以等减速度a＝4 m/s2刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为________m.

50　[先求从刹车到停车所用的时间，

当t＝0时，v0＝72 km/h＝20 m/s，

刹车后，汽车减速行驶，速度为v(t)＝v0－at＝20－4t.

令v(t)＝0，可得t＝5 s，

所以汽车从刹车到停车，所走过的路程为：

(20－4t)dt＝(20t－2t2)|＝50(m)．

即汽车从开始刹车到停止，共走了50 m．]

10．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)dx＝3f(x0)，x0＞0，则x0＝________．

　[依题意得f(x)dx＝(ax2＋b)dx＝x3＋bx|＝3(ax＋b)，即3ax＝9a(a≠0)，x＝3(x0＞0)，由此解得x0＝.]

1．已知f(x)＝，则f(x)dx＝(　　)

A．2＋π   B.

C．－2＋   D.－2

D　[f(x)dx＝sin xdx＋dx，

sin xdx＝－cos x|＝－2，

dx的几何意义是以原点为圆心，半径为1的圆的面积的，故dx＝，所以f(x)dx＝－2，故选D.]

2．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C的方程为x2－y＝0)的点的个数的估计值为(　　)

A．5 000　　　　　　 B．6 667

C．7 500   D．7 854

B　[题图中阴影部分的面积为

(1－x2)dx＝|＝，又正方形的面积为1，则10 000个点落入阴影部分个数估计为10 000×≈6 667，故选B.]

3．设a＞0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________．

　[封闭图形如图所示，

则dx＝x|＝a－0＝a2，解得a＝.]

4．在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝x与直线x＝1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥＝πx2dx＝x3|＝.据此类比：将曲线y＝2ln x与直线y＝1及x轴，y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V＝________．

π(e－1)　[类比已知结论，将曲线y＝2ln x与直线y＝1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为π(e)2＝πey，积分变量为y，积分区间为[0，1]，即V＝πeydy＝πey|＝π(e－1)．]

1.(＋ex－1)dx＝________．

＋e－－2　[(＋ex－1)dx

＝dx＋(ex－1)dx.

因为dx表示单位圆的上半部分的面积，

所以dx＝.

而(ex－1)dx＝(ex－x)|

＝(e1－1)－(e－1＋1)＝e－－2，

所以(＋ex－1)dx＝＋e－－2.]

2．若函数f(x)在R上可导，f(x)＝x3＋x2f′(1)，则f′(1)＝________，f(x)dx＝________．

－3　－4　[因为f(x)＝x3＋x2f′(1)，

所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)．

所以f′(1)＝3＋2f′(1)，解得f′(1)＝－3.

所以f(x)＝x3－3x2.

故f(x)dx＝(x3－3x2)dx＝(－x3)|＝－4.]