高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理导学案及答案

 二项式定理

一．二项式定理

(1)二项式定理：(a＋b)n＝                                       ；此式子共有     项。

(2)通项公式：               ，它表示第       项；

(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数                  

二.二项式系数的性质

(1)                         

(2)          

(3)二项式系数最大值：①当n为偶数时， 中间一项的二项式系数取得最大值为          ；

②当n为奇数时，中间两项的二项式系数取得最大值        与         。

(4)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝     .

(5)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋Cn＋C＋…＝       .

三.各项系数的性质

一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则

①(a＋bx)n展开式中各项的系数的和为       

②(a＋bx)n展开式中奇数项的系数和为                ，

③(a＋bx)n展开式中偶数项的系数和为                ．

四.常见题型汇总

题型一：利用通项求的系数

1．的展开式中，的系数是          ．各项系数之和为________．各二项式系数和________．

2．的展开式中项的系数是（    ）

（A）840     （B）－840    （C）210      （D）－210

3．在的展开式中，含的项的系数是（    ）

(A)          (B) 5          (C)          (D) 10

练习：在二项式的展开式倒数第三项的二项式系数为45，求含有的项的系数。

题型二：利用通项求展开式中的常数项、有理项

1.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是(　　)

A．－7    B．7    C．－28 D．28

练习：若二项式展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，展开式中有理项的系数之和。

题型三：求形如的展开式

1．展开式中的系数为 （   ）      （17年真题）

A.15                  B.20                C.30                D.35

2．展开式中，含项的系数是           ．（17-18汕头期末）

3．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（   ）（11年真题） （A）-40        （B）-20          （C）20          （D）40

4．的展开式中的系数为        .（14年真题）

5．求展开式中的系数

6．求展开式中的常数项

题型四、求形如的展开式

1．求展开式中的系数

2.在的展开式中，的系数为30，则实数的值为              ．

3．的展开式中，的系数为（   ）（15年真题）

（A）10        （B）20          （C）30       （D）60

题型五、二项式系数的和与各项的系数和问题，以及赋值法的应用

1.若的展开式中所有二项式系数和为64，则n＝________；所有项的系数之和为________．

2、已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)

A．212　    B．211　　　　C．210　　　　D．29

3、(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.

4、(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|等于(　　)

A．1 024   B．243     C．32          D．24

5.若的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是      ．

6、已知(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7的展开式中x4项的系数是－35，则a1＋a2＋…＋a7＝________.

7、，则的值为（   ）

(A) 1           (B) －1            (C) 0           (D) 2