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第四讲 一元一次方程与二元一次方程（组）及其应用-备战中考数学第一轮专题复习真题分点透练（全国通用）
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【命题点 一元一次及其解法的应用】
1．（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ）
A．若＝，则a＝bB．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝bD．若﹣x＝6，则x＝﹣2
【答案】A
【解答】解：A、若＝，则a＝b，故A符合题意；
B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B不符合题意；
C、若a2＝b2，则a＝±b，故C不符合题意；
D、﹣x＝6，则x＝﹣18，故D不符合题意；
故选：A．
2．（2022•百色）方程3x＝2x+7的解是（ ）
A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝7D．x＝﹣7
【答案】C
【解答】解：移项得：3x﹣2x＝7，
合并同类项得：x＝7．
故选：C．
3．（2022•海南）若代数式x+1的值为6，则x等于（ ）
A．5B．﹣5C．7D．﹣7
【答案】A
【解答】解：根据题意可得，
x+1＝6，
解得：x＝5．
故选：A．
4．（2022•黔西南州）小明解方程﹣1＝的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括号，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移项，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
合并同类项，得x＝﹣4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【解答】解：方程两边同乘6应为：3（x+1）﹣6＝2（x﹣2），
∴出错的步骤为：①，
故选：A．
5．（2022•六盘水）我国“DF﹣41型”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫（1马赫＝340米/秒），则“DF﹣41型”导弹飞行多少分钟能打击到12000公里处的目标？设飞行x分钟能打击到目标，可以得到方程（ ）
A．26×340×60x＝12000B．26×340x＝12000
C．＝12000D．＝12000
【答案】D
【解答】解：根据题意得：＝12000，
故选：D．
6．（2022•西宁）在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个钩码质量是50g．若OA＝20cm，OB＝40cm，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为xg，根据题意列方程得（ ）
A．20x＝40×50×3B．40x＝20×50×3
C．3×20x＝40×50D．3×40x＝20×50
【答案】A
【解答】解：依题意得：20x＝40×50×3．
故选：A．
7．（2022•营口）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）
A．240x+150x＝150×12B．240x﹣150x＝240×12
C．240x+150x＝240×12D．240x﹣150x＝150×12
【答案】D
【解答】解：依题意得：240x﹣150x＝150×12．
故选：D．
8．（2022•十堰）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（ ）
A．10x+3（5﹣x）＝30B．3x+10（5﹣x）＝30
C．+＝5D．+＝5
【答案】A
【解答】解：设清酒x斗，则醑酒（5﹣x）斗，
由题意可得：10x+3（5﹣x）＝30，
故选：A．
9．（2022•苏州）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（ ）
A．x＝100﹣xB．x＝100+x
C．x＝100+xD．x＝100﹣x
【答案】B
【解答】解：设走路快的人要走x步才能追上，则走路慢的人走×60，
依题意，得：×60+100＝x．
故选：B．
10．（2022•铜仁市）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（ ）
A．14B．15C．16D．17
【答案】B
【解答】解：设小红答对的个数为x个，
由题意得5x﹣（20﹣x）＝70，
解得x＝15，
故选：B．
11．（2022•岳阳）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（ ）
A．25B．75C．81D．90
【答案】B
【解答】解：设城中有x户人家，
依题意得：x+x＝100，
解得：x＝75，
∴城中有75户人家．
故选：B．
12．（2022•牡丹江）某商品的进价为每件10元，若按标价打八折售出后，每件可获利2元，则该商品的标价为每件 元．
【答案】15
【解答】解：设该商品的标价为每件x元，
由题意得：80%x﹣10＝2，
解得：x＝15．
答：该商品的标价为每件15元．
故答案为：15．
13．（2022•百色）小韦同学周末的红色之旅，坐爸爸的车去百色起义纪念馆，从家里行驶7千米后，进入高速公路，在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间（t）和路程（s）数据如表，按照这个速度行驶了2小时进入高速路出口匝道，再行驶5千米到达纪念馆，则小韦家到纪念馆的路程是 千米．
【答案】212
【解答】解：设小韦家到纪念馆的路程是x千米，依题意有：
＝2，
解得x＝212．
故小韦家到纪念馆的路程是212千米．
故答案为：212．
14．（2022•乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”．如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为 ．
【答案】5
【解答】解：设正方形b的边长为x，则正方形a的边长为2x，正方形c的边长为3x，正方形d的边长为5x，
依题意得：（3x+5x+5x）×2＝26，
解得：x＝1，
∴5x＝5×1＝5，
即正方形d的边长为5．
故答案为：5．
15．（2022•威海）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 ．
【答案】1
【解答】解：当x＞0时，+1＝2，
解并检验得x＝1．
当x≤0时，2x﹣1＝2，
解得x＝1.5，
∵1.5＞0，舍去．
所以x＝1．
故答案为：x＝1．
16．（2022•贵阳）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y＝23，则表示的方程是 ．
【答案】x+2y＝32
【解答】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，
一个竖线表示一个，一条横线表示一十，
所以该图表示的方程是：x+2y＝32．
【命题点二 二元一次方程组的解法及其解的应用】
考向1 二元一次方组的解法
17．（2022•株洲）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得到（ ）
A．x+2x﹣1＝7B．x+2x﹣2＝7C．x+x﹣1＝7D．x+2x+2＝7
【答案】B
【解答】解：，将①式代入②式，
得x+2（x﹣1）＝7，
∴x+2x﹣2＝7，
故选：B．
18．（2022•沈阳）二元一次方程组的解是 ．
【答案】
【解答】解：，
将②代入①，得x+4x＝5，
解得x＝1，
将x＝1代入②，得y＝2，
∴方程组的解为，
故答案为：．
19．（2022•潍坊）方程组的解为 ．
【答案】
【解答】解：，
由①×2得4x+6y＝26③，
由②×3得9x﹣6y＝0④，
由③+④得13x＝26，
解得x＝2，
将x＝2代入②得3×2﹣2y＝0，
解得y＝3，
所以原方程组的解为．
故答案为：．
20．（2022•随州）已知二元一次方程组，则x﹣y的值为 ．
【答案】1
【解答】解：解法一：由x+2y＝4可得：
x＝4﹣2y，
代入第二个方程中，可得：
2（4﹣2y）+y＝5，
解得：y＝1，
将y＝1代入第一个方程中，可得
x+2×1＝4，
解得：x＝2，
∴x﹣y＝2﹣1＝1，
故答案为：1；
解法二：∵，
由②﹣①可得：
x﹣y＝1，
故答案为：1．
21．（2022•安顺）若a+2b＝8，3a+4b＝18，则a+b的值为 ．
【答案】5
【解答】解：方法一、∵a+2b＝8，3a+4b＝18，
则a＝8﹣2b，
代入3a+4b＝18，
解得：b＝3，
则a＝2，
故a+b＝5．
方法二、∵a+2b＝8，3a+4b＝18，
∴2a+2b＝10，
∴a+b＝5，
故答案为：5．
22．（2022•淄博）解方程组：．
【解答】解：整理方程组得，
①×2﹣②得﹣7y＝﹣7，
y＝1，
把y＝1代入①得x﹣2＝3，
解得x＝5，
∴方程组的解为．
23．（2022•呼和浩特）解方程组：．
【解答】解：方程组整理得，
②﹣①×2得：﹣5x＝5，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①得：﹣4+y＝5，
解得：y＝9，
则方程组的解为．
考向2 二元一次方程组解的应用
24．（2022•雅安）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 ．
【答案】1
【解答】解：把代入ax+by＝3得：a+2b＝3，
则原式＝2（a+2b）﹣5
＝2×3﹣5
＝6﹣5
＝1．
故答案为：1．
25．（2022•荆州）已知方程组的解满足2kx﹣3y＜5，求k的取值范围．
【解答】解：①+②得：2x＝4，
∴x＝2，
①﹣②得：2y＝2，
∴y＝1，
代入2kx﹣3y＜5得：4k﹣3＜5，
∴k＜2．
答：k的取值范围为：k＜2．
【命题3 二元一次方程组的实际应用】
类型一 购买、销售问题
26．（2022•大连）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？
【解答】解：设冰墩墩毛绒玩具的单价为x元，雪容融毛绒玩具的单价为y元，
依题意得：，
解得：，
答：冰墩墩毛绒玩具的单价为200元，雪容融毛绒玩具的单价为100元．
27．（2022•海南）我省某村委会根据“十四五”规划的要求，打造乡村品牌，推销有机黑胡椒和有机白胡椒．已知每千克有机黑胡椒比每千克有机白胡椒的售价便宜10元，购买2千克有机黑胡椒和3千克有机白胡椒需付280元，求每千克有机黑胡椒和每千克有机白胡椒的售价．
【解答】解：设每千克有机黑胡椒的售价为x元，每千克有机白胡椒的售价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：每千克有机黑胡椒的售价为50元，每千克有机白胡椒的售价为60元．
类型二 分配问题
28．（2022•宜昌）五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（ ）
A．30B．26C．24D．22
【答案】B
【解答】解：设1艘大船可载x人，1艘小船可载y人，
依题意得：，
①+②得：3x+3y＝78，
∴x+y＝26，
即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26，
故选：B．
29．（2022•湖北）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 吨．
【答案】23.5
【解答】解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，
根据题意得：，
得：4x+3y＝23.5；
故答案为：23.5．
30．（2022•广东）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
【解答】解：设学生有x人，该书单价y元，
根据题意得：，
解得：．
答：学生有7人，该书单价53元．
31．（2022•连云港）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格．
【解答】解：设有x个人，物品的价格为y钱，
由题意得：，
解得：，
答：有7个人，物品的价格为53钱．
32．（2020•百色）某玩具生产厂家A车间原来有30名工人，B车间原来有20名工人，现将新增25名工人分配到两车间，使A车间工人总数是B车间工人总数的2倍．
（1）新分配到A、B车间各是多少人？
（2）A车间有生产效率相同的若干条生产线，每条生产线配置5名工人，现要制作一批玩具，若A车间用一条生产线单独完成任务需要30天，问A车间新增工人和生产线后比原来提前几天完成任务？
【解答】解：（1）设新分配到A车间x人，分配到B车间y人．
由题意可得，，解得，
∴新分配到A车间20人，分配到B车间5人．
（2）由（1）可得，分配后，A车间共有50人，
∵每条生产线配置5名工人，
∴分配工人前共有6条生产线，分配工人后共有10条生产线；
分配前，共需要的天数为30÷6＝5（天），
分配后，共需要的天数为30÷10＝3（天），
∴5﹣3＝2（天），
∴A车间新增工人和生产线后比原来提前2天完成任务．
类型三 工程问题
33．（2021•泰州）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？
【解答】解：设甲工程队原计划平均每月修建xkm，乙工程队原计划平均每月修建ykm，
根据题意得，，
解得，
答：甲工程队原计划平均每月修建2 km，乙工程队原计划平均每月修建3 km．
34．（2021•吉林）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km．其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4km．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
【解答】解：设港珠澳大桥隧道长度为xkm，桥梁长度为ykm．
由题意列方程组得：．
解得：
答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1km和5.9km．
类型四 行程问题
35．（2021春•伊通）小明和小丽两相距8千米，小明骑自行车，小丽步行．两人同时出发相向而行，0.8小时相遇；若两人同时出发同向而行，小明2小时可以追上小丽，求小明、小丽每小时各前行多少千米？
【解答】解：设小明每小时骑行x千米，小丽每小时走y千米，
根据题意得：，
解得：，
答：小明每小时骑行7千米，小丽每小时走3千米．
36．（2021春•黄埔）小明从甲地步行到乙地要走一段上坡路与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地步行到乙地需54min，从乙地步行到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少km？
【解答】解：设坡路长xkm；平路长ykm，
由题意得：，
解得：，
则x+y＝3.1，
答：甲地到乙地全程是3.1km．
类型五 阶梯费用问题
37．（2021•贺州）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过12m3时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过12m3时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为10m3，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为14m3，缴纳水费51.4元．
（1）问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
【解答】解：（1）设该市一级水费的单价为x元，二级水费的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：该市一级水费的单价为3.2元，二级水费的单价为6.5元．
（2）∵3.2×12＝38.4（元），38.4＜64.4，
∴用水量超过12m3．
设用水量为am3，
依题意得：38.4+6.5（a﹣12）＝64.4，
解得：a＝16．
答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为16m3．
类型六 比赛积分问题
38．（2021•鄂尔多斯）某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规定及奖励方案如下表：
当比赛进行到第11轮结束（每队均须比赛11场）时，A队共积17分，每赛一场，每名参赛队员均得出场费300元．设A队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为w（元）．
（1）试说明w是否能等于11400元．
（2）通过计算，判断A队胜、平、负各几场，并说明w可能的最大值．
【解答】解：设A队胜x场，平y场
（1）由题意得：，
解得：．
因为x+y＝2+11＝13，即胜2场，平11场与总共比赛11场不符，故w不能等于11400元．
（2）由3x+y＝17，得y＝17﹣3x
所以只能有下三种情况：
①当x＝3时，y＝8，即胜3场，平8场，负0场；
②当x＝4时，y＝5，即胜4场，平5场，负2场；
③当x＝5时，y＝2，即胜5场，平2场，负4场．
又w＝1300x+500y+3300
将y＝17﹣3x代入得：w＝﹣200x+11800
易知：当x＝3时，w最大＝﹣200×3+11800＝11200（元）．
t（小时）
0.2
0.6
0.8
s（千米）
20
60
80
胜一场
平一场
负一场
积分
3
1
0
奖金（元/人）
1300
500
0
【命题点 一元一次及其解法的应用】
1．（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ）
A．若＝，则a＝bB．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝bD．若﹣x＝6，则x＝﹣2
【答案】A
【解答】解：A、若＝，则a＝b，故A符合题意；
B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B不符合题意；
C、若a2＝b2，则a＝±b，故C不符合题意；
D、﹣x＝6，则x＝﹣18，故D不符合题意；
故选：A．
2．（2022•百色）方程3x＝2x+7的解是（ ）
A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝7D．x＝﹣7
【答案】C
【解答】解：移项得：3x﹣2x＝7，
合并同类项得：x＝7．
故选：C．
3．（2022•海南）若代数式x+1的值为6，则x等于（ ）
A．5B．﹣5C．7D．﹣7
【答案】A
【解答】解：根据题意可得，
x+1＝6，
解得：x＝5．
故选：A．
4．（2022•黔西南州）小明解方程﹣1＝的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括号，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移项，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
合并同类项，得x＝﹣4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【解答】解：方程两边同乘6应为：3（x+1）﹣6＝2（x﹣2），
∴出错的步骤为：①，
故选：A．
5．（2022•六盘水）我国“DF﹣41型”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫（1马赫＝340米/秒），则“DF﹣41型”导弹飞行多少分钟能打击到12000公里处的目标？设飞行x分钟能打击到目标，可以得到方程（ ）
A．26×340×60x＝12000B．26×340x＝12000
C．＝12000D．＝12000
【答案】D
【解答】解：根据题意得：＝12000，
故选：D．
6．（2022•西宁）在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个钩码质量是50g．若OA＝20cm，OB＝40cm，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为xg，根据题意列方程得（ ）
A．20x＝40×50×3B．40x＝20×50×3
C．3×20x＝40×50D．3×40x＝20×50
【答案】A
【解答】解：依题意得：20x＝40×50×3．
故选：A．
7．（2022•营口）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）
A．240x+150x＝150×12B．240x﹣150x＝240×12
C．240x+150x＝240×12D．240x﹣150x＝150×12
【答案】D
【解答】解：依题意得：240x﹣150x＝150×12．
故选：D．
8．（2022•十堰）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（ ）
A．10x+3（5﹣x）＝30B．3x+10（5﹣x）＝30
C．+＝5D．+＝5
【答案】A
【解答】解：设清酒x斗，则醑酒（5﹣x）斗，
由题意可得：10x+3（5﹣x）＝30，
故选：A．
9．（2022•苏州）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（ ）
A．x＝100﹣xB．x＝100+x
C．x＝100+xD．x＝100﹣x
【答案】B
【解答】解：设走路快的人要走x步才能追上，则走路慢的人走×60，
依题意，得：×60+100＝x．
故选：B．
10．（2022•铜仁市）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（ ）
A．14B．15C．16D．17
【答案】B
【解答】解：设小红答对的个数为x个，
由题意得5x﹣（20﹣x）＝70，
解得x＝15，
故选：B．
11．（2022•岳阳）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（ ）
A．25B．75C．81D．90
【答案】B
【解答】解：设城中有x户人家，
依题意得：x+x＝100，
解得：x＝75，
∴城中有75户人家．
故选：B．
12．（2022•牡丹江）某商品的进价为每件10元，若按标价打八折售出后，每件可获利2元，则该商品的标价为每件 元．
【答案】15
【解答】解：设该商品的标价为每件x元，
由题意得：80%x﹣10＝2，
解得：x＝15．
答：该商品的标价为每件15元．
故答案为：15．
13．（2022•百色）小韦同学周末的红色之旅，坐爸爸的车去百色起义纪念馆，从家里行驶7千米后，进入高速公路，在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间（t）和路程（s）数据如表，按照这个速度行驶了2小时进入高速路出口匝道，再行驶5千米到达纪念馆，则小韦家到纪念馆的路程是 千米．
【答案】212
【解答】解：设小韦家到纪念馆的路程是x千米，依题意有：
＝2，
解得x＝212．
故小韦家到纪念馆的路程是212千米．
故答案为：212．
14．（2022•乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”．如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为 ．
【答案】5
【解答】解：设正方形b的边长为x，则正方形a的边长为2x，正方形c的边长为3x，正方形d的边长为5x，
依题意得：（3x+5x+5x）×2＝26，
解得：x＝1，
∴5x＝5×1＝5，
即正方形d的边长为5．
故答案为：5．
15．（2022•威海）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 ．
【答案】1
【解答】解：当x＞0时，+1＝2，
解并检验得x＝1．
当x≤0时，2x﹣1＝2，
解得x＝1.5，
∵1.5＞0，舍去．
所以x＝1．
故答案为：x＝1．
16．（2022•贵阳）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y＝23，则表示的方程是 ．
【答案】x+2y＝32
【解答】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，
一个竖线表示一个，一条横线表示一十，
所以该图表示的方程是：x+2y＝32．
【命题点二 二元一次方程组的解法及其解的应用】
考向1 二元一次方组的解法
17．（2022•株洲）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得到（ ）
A．x+2x﹣1＝7B．x+2x﹣2＝7C．x+x﹣1＝7D．x+2x+2＝7
【答案】B
【解答】解：，将①式代入②式，
得x+2（x﹣1）＝7，
∴x+2x﹣2＝7，
故选：B．
18．（2022•沈阳）二元一次方程组的解是 ．
【答案】
【解答】解：，
将②代入①，得x+4x＝5，
解得x＝1，
将x＝1代入②，得y＝2，
∴方程组的解为，
故答案为：．
19．（2022•潍坊）方程组的解为 ．
【答案】
【解答】解：，
由①×2得4x+6y＝26③，
由②×3得9x﹣6y＝0④，
由③+④得13x＝26，
解得x＝2，
将x＝2代入②得3×2﹣2y＝0，
解得y＝3，
所以原方程组的解为．
故答案为：．
20．（2022•随州）已知二元一次方程组，则x﹣y的值为 ．
【答案】1
【解答】解：解法一：由x+2y＝4可得：
x＝4﹣2y，
代入第二个方程中，可得：
2（4﹣2y）+y＝5，
解得：y＝1，
将y＝1代入第一个方程中，可得
x+2×1＝4，
解得：x＝2，
∴x﹣y＝2﹣1＝1，
故答案为：1；
解法二：∵，
由②﹣①可得：
x﹣y＝1，
故答案为：1．
21．（2022•安顺）若a+2b＝8，3a+4b＝18，则a+b的值为 ．
【答案】5
【解答】解：方法一、∵a+2b＝8，3a+4b＝18，
则a＝8﹣2b，
代入3a+4b＝18，
解得：b＝3，
则a＝2，
故a+b＝5．
方法二、∵a+2b＝8，3a+4b＝18，
∴2a+2b＝10，
∴a+b＝5，
故答案为：5．
22．（2022•淄博）解方程组：．
【解答】解：整理方程组得，
①×2﹣②得﹣7y＝﹣7，
y＝1，
把y＝1代入①得x﹣2＝3，
解得x＝5，
∴方程组的解为．
23．（2022•呼和浩特）解方程组：．
【解答】解：方程组整理得，
②﹣①×2得：﹣5x＝5，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①得：﹣4+y＝5，
解得：y＝9，
则方程组的解为．
考向2 二元一次方程组解的应用
24．（2022•雅安）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 ．
【答案】1
【解答】解：把代入ax+by＝3得：a+2b＝3，
则原式＝2（a+2b）﹣5
＝2×3﹣5
＝6﹣5
＝1．
故答案为：1．
25．（2022•荆州）已知方程组的解满足2kx﹣3y＜5，求k的取值范围．
【解答】解：①+②得：2x＝4，
∴x＝2，
①﹣②得：2y＝2，
∴y＝1，
代入2kx﹣3y＜5得：4k﹣3＜5，
∴k＜2．
答：k的取值范围为：k＜2．
【命题3 二元一次方程组的实际应用】
类型一 购买、销售问题
26．（2022•大连）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？
【解答】解：设冰墩墩毛绒玩具的单价为x元，雪容融毛绒玩具的单价为y元，
依题意得：，
解得：，
答：冰墩墩毛绒玩具的单价为200元，雪容融毛绒玩具的单价为100元．
27．（2022•海南）我省某村委会根据“十四五”规划的要求，打造乡村品牌，推销有机黑胡椒和有机白胡椒．已知每千克有机黑胡椒比每千克有机白胡椒的售价便宜10元，购买2千克有机黑胡椒和3千克有机白胡椒需付280元，求每千克有机黑胡椒和每千克有机白胡椒的售价．
【解答】解：设每千克有机黑胡椒的售价为x元，每千克有机白胡椒的售价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：每千克有机黑胡椒的售价为50元，每千克有机白胡椒的售价为60元．
类型二 分配问题
28．（2022•宜昌）五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（ ）
A．30B．26C．24D．22
【答案】B
【解答】解：设1艘大船可载x人，1艘小船可载y人，
依题意得：，
①+②得：3x+3y＝78，
∴x+y＝26，
即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26，
故选：B．
29．（2022•湖北）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 吨．
【答案】23.5
【解答】解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，
根据题意得：，
得：4x+3y＝23.5；
故答案为：23.5．
30．（2022•广东）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
【解答】解：设学生有x人，该书单价y元，
根据题意得：，
解得：．
答：学生有7人，该书单价53元．
31．（2022•连云港）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格．
【解答】解：设有x个人，物品的价格为y钱，
由题意得：，
解得：，
答：有7个人，物品的价格为53钱．
32．（2020•百色）某玩具生产厂家A车间原来有30名工人，B车间原来有20名工人，现将新增25名工人分配到两车间，使A车间工人总数是B车间工人总数的2倍．
（1）新分配到A、B车间各是多少人？
（2）A车间有生产效率相同的若干条生产线，每条生产线配置5名工人，现要制作一批玩具，若A车间用一条生产线单独完成任务需要30天，问A车间新增工人和生产线后比原来提前几天完成任务？
【解答】解：（1）设新分配到A车间x人，分配到B车间y人．
由题意可得，，解得，
∴新分配到A车间20人，分配到B车间5人．
（2）由（1）可得，分配后，A车间共有50人，
∵每条生产线配置5名工人，
∴分配工人前共有6条生产线，分配工人后共有10条生产线；
分配前，共需要的天数为30÷6＝5（天），
分配后，共需要的天数为30÷10＝3（天），
∴5﹣3＝2（天），
∴A车间新增工人和生产线后比原来提前2天完成任务．
类型三 工程问题
33．（2021•泰州）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？
【解答】解：设甲工程队原计划平均每月修建xkm，乙工程队原计划平均每月修建ykm，
根据题意得，，
解得，
答：甲工程队原计划平均每月修建2 km，乙工程队原计划平均每月修建3 km．
34．（2021•吉林）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km．其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4km．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
【解答】解：设港珠澳大桥隧道长度为xkm，桥梁长度为ykm．
由题意列方程组得：．
解得：
答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1km和5.9km．
类型四 行程问题
35．（2021春•伊通）小明和小丽两相距8千米，小明骑自行车，小丽步行．两人同时出发相向而行，0.8小时相遇；若两人同时出发同向而行，小明2小时可以追上小丽，求小明、小丽每小时各前行多少千米？
【解答】解：设小明每小时骑行x千米，小丽每小时走y千米，
根据题意得：，
解得：，
答：小明每小时骑行7千米，小丽每小时走3千米．
36．（2021春•黄埔）小明从甲地步行到乙地要走一段上坡路与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地步行到乙地需54min，从乙地步行到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少km？
【解答】解：设坡路长xkm；平路长ykm，
由题意得：，
解得：，
则x+y＝3.1，
答：甲地到乙地全程是3.1km．
类型五 阶梯费用问题
37．（2021•贺州）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过12m3时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过12m3时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为10m3，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为14m3，缴纳水费51.4元．
（1）问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
【解答】解：（1）设该市一级水费的单价为x元，二级水费的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：该市一级水费的单价为3.2元，二级水费的单价为6.5元．
（2）∵3.2×12＝38.4（元），38.4＜64.4，
∴用水量超过12m3．
设用水量为am3，
依题意得：38.4+6.5（a﹣12）＝64.4，
解得：a＝16．
答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为16m3．
类型六 比赛积分问题
38．（2021•鄂尔多斯）某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规定及奖励方案如下表：
当比赛进行到第11轮结束（每队均须比赛11场）时，A队共积17分，每赛一场，每名参赛队员均得出场费300元．设A队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为w（元）．
（1）试说明w是否能等于11400元．
（2）通过计算，判断A队胜、平、负各几场，并说明w可能的最大值．
【解答】解：设A队胜x场，平y场
（1）由题意得：，
解得：．
因为x+y＝2+11＝13，即胜2场，平11场与总共比赛11场不符，故w不能等于11400元．
（2）由3x+y＝17，得y＝17﹣3x
所以只能有下三种情况：
①当x＝3时，y＝8，即胜3场，平8场，负0场；
②当x＝4时，y＝5，即胜4场，平5场，负2场；
③当x＝5时，y＝2，即胜5场，平2场，负4场．
又w＝1300x+500y+3300
将y＝17﹣3x代入得：w＝﹣200x+11800
易知：当x＝3时，w最大＝﹣200×3+11800＝11200（元）．
t（小时）
0.2
0.6
0.8
s（千米）
20
60
80
胜一场
平一场
负一场
积分
3
1
0
奖金（元/人）
1300
500
0
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