高中数学高考第5讲　椭　圆

第5讲　椭　圆

一、选择题

1.椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值等于(　　)

A.5   B.3   C.5或3   D.8

解析　当m>4时，m－4＝1，∴m＝5；当0<m<4时，4－m＝1，∴m＝3.

答案　C

2.“2<m<6”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　　)

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

解析　若＋＝1表示椭圆.

则有∴2<m<6且m≠4.

故“2<m<6”是“＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件.

答案　B

3.设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝.故e＝＝＝.故选D.

答案　D

4.(2015·全国Ⅰ卷)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝(　　)

A.3   B.6   C.9   D.12

解析　抛物线C：y2＝8x的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x＝－2.从而椭圆E的半焦距c＝2.可设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为离心率e＝＝，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝12.由题意知|AB|＝＝2×＝6.故选B.

答案　B

5.(2016·江西师大附中模拟)椭圆ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则ax＋by＝1，ax＋by＝1，

即ax－ax＝－(by－by)，＝－1，

＝－1，∴×(－1)×＝－1，

∴＝，故选B.

答案　B

二、填空题

6.焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________.

解析　由题意知解得

又b2＝a2－c2，∴b2＝9，∴b＝3.

当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1，

当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.

答案　＋＝1或＋＝1

7.(2017·昆明质检)椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________.

解析　记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.

则m＝|PF1|·|PF2|≤＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.

∴点P的坐标为(－3，0)或(3，0).

答案　(－3，0)或(3，0)

8.(2017·乌鲁木齐调研)已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________.

解析　设P(x，y)，则·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①

将y2＝b2－x2代入①式解得

x2＝＝，

又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，

∴e＝∈.

答案　

三、解答题

9.设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；

(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.

解　(1)根据c＝及题设知M，2b2＝3ac.

将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝或＝－2(舍去).故C的离心率为.

(2)由题意，知原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①

由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.

设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则

即

代入C的方程，得＋＝1.②

 将①及c＝代入②得＋＝1.

解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2 .

10.(2017·兴义月考)已知点M(，)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)，求△PAB的面积.

解　(1)由已知得

解得

故椭圆C的方程为＋＝1.

(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0).

由消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，

则x0＝＝－m，y0＝x0＋m＝m，

即D.

因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PD⊥AB，

即PD的斜率k＝＝－1，解得m＝2.

此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，

则|AB|＝|x1－x2|＝·＝3，

又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝，

所以△PAB的面积为S＝|AB|·d＝.

11.(2016·海沧实验中学模拟)已知直线l：y＝kx＋2过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长为L，若L≥，则椭圆离心率e的取值范围是(　　)

A.    B.

C.    D.

解析　依题意，知b＝2，kc＝2.

设圆心到直线l的距离为d，则L＝2≥，

解得d2≤.又因为d＝，所以≤，

解得k2≥.

于是e2＝＝＝，所以0＜e2≤，解得0＜e≤.故选B.

答案　B

12.椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________.

解析　设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，

则＝(x＋，y)，＝(x－，y).

∵∠F1PF2为钝角，∴·<0，

即x2－3＋y2<0，①

∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0，

即x2<2，∴x2<.

解得－<x<，∴x∈.

答案　

13.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________.

解析　由已知条件易得B，C，F(c，0)，∴＝，＝，

由∠BFC＝90°，可得·＝0，

所以＋＝0，

c2－a2＋b2＝0，

即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，

∴3c2＝2a2.

所以＝，则e＝＝.

答案　

14.(2017·沈阳质监)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点.

(1)若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；

(2)若k＝，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；

(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈(－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围.

解　(1)由题意得c＝3，根据2a＋2c＝16，得a＝5.

结合a2＝b2＋c2，

解得a2＝25，b2＝16.

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)法一　由得x2－a2b2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以x1＋x2＝0，x1x2＝，

由AB，F1F2互相平分且共圆，易知，AF2⊥BF2，

因为＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)，

所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝x1x2＋9＝0.即x1x2＝－8，

所以有＝－8，

结合b2＋9＝a2，

解得a2＝12，∴e＝.

法二　设A(x1，y1)，又AB，F1F2互相平分且共圆，所以AB，F1F2是圆的直径，所以x＋y＝9，

又由椭圆及直线方程综合可得

由前两个方程解得x＝8，y＝1，

将其代入第三个方程并结合b2＝a2－c2＝a2－9，

解得a2＝12，故e＝.

(3)由(2)的结论知，椭圆方程为＋＝1，

由题可设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，k1＝，k2＝，所以k1k2＝，

又＝＝－.

即k2＝－，

由－2＜k1＜－1可知，＜k2＜.

故直线PB的斜率k2的取值范围是.