高中数学高考第4讲　直线、平面平行的判定及其性质

第4讲　直线、平面平行的判定及其性质

一、选择题

1.(2017·保定模拟)有下列命题：

①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；

②若直线a在平面α外，则a∥α；

③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；

④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线.

其中真命题的个数是(　　)

A.1   B.2   C.3   D.4

解析　命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③a可以在平面α内，不正确；命题④正确.

答案　A

2.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的(　　)

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

解析　若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件.

答案　A

3.(2017·长郡中学质检)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　)

A.异面  　　　  B.平行

C.相交  　　　　 D.以上均有可能

解析　在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，

∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，

∴A1B1∥平面ABC，

∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.

∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.

答案　B

4.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)

A.①③   B.①④   C.②③   D.②④

解析　①中，易知NP∥AA′，

MN∥A′B，

∴平面MNP∥平面AA′B，

可得出AB∥平面MNP(如图).

④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.

在②③中不能判定AB∥平面MNP.

答案　B

5.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是(　　)

A.若m∥α，n∥α，则m∥n   B.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n

C.若m⊥α，m⊥n，则n∥α   D.若m∥α，m⊥n，则n⊥α

解析　若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错.

答案　B

二、填空题

6.在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.

解析　如图，取CD的中点E.

连接AE，BE，由于M，N分别是△ACD，△BCD的重心，所以AE，BE分别过M，N，则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，

所以MN∥AB.

因为AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，

所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.

答案　平面ABD与平面ABC

7.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.

解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2.又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝AC＝.

答案　

8.(2017·承德模拟)如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)

解析　连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，

∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.

答案　点M在线段FH上(或点M与点H重合)

三、解答题

9.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；

(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.

解　(1)点F，G，H的位置如图所示.

(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体，

所以BC∥FG，BC＝FG，

又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，

所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.

又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.

10.(2014·全国Ⅱ卷)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.

(1)证明：PB∥平面AEC；

(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥P－ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离.

(1)证明　设BD与AC的交点为O，连接EO.

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点.

又E为PD的中点，所以EO∥PB.

又因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.

(2)解　V＝PA·AB·AD＝AB.

由V＝，可得AB＝.作AH⊥PB交PB于H.

由题设知AB⊥BC，PA⊥BC，且PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.又AH⊂平面PAB，所以BC⊥AH，

又PB∩BC＝B，故AH⊥平面PBC.

∵PB⊂平面PBC，∴AH⊥PB，

在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB＝，

所以AH＝＝.

所以A到平面PBC的距离为.

11.给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；

②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.

其中真命题的个数为(　　)

A.3   B.2   C.1   D.0

解析　①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l，m；②中l与m也可能异面；③中⇒l∥n，同理，l∥m，则m∥n，正确.

答案　C

12.在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是(　　)

A.AC⊥BD

B.AC∥截面PQMN

C.AC＝BD

D.异面直线PM与BD所成的角为45°

解析　因为截面PQMN是正方形，所以MN∥QP，又PQ⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，则MN∥平面ABC，由线面平行的性质知MN∥AC，又MN⊂平面PQMN，AC⊄平面PQMN，则AC∥截面PQMN，同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，则AC⊥BD，故A，B正确.

又因为BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确.

答案　C

13.如图所示，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________.

解析　设BC1∩B1C＝O，连接OD.

∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，

∴A1B∥OD，∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.

答案　1

14.(2015·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：

(1)DE∥平面AA1C1C；

(2)BC1⊥AB1.

证明　(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.

又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C.

(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.

又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，

BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，

所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，

所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，

所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.

因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，

所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，

所以BC1⊥AB1.