高中数学高考第3讲　定积分与微积分基本定理

第3讲　定积分与微积分基本定理

一、选择题

1.(2017·西安调研)定积分(2x＋ex)dx的值为(　　)

A.e＋2   B.e＋1   C.e   D.e－1

解析　(2x＋ex)dx＝(x2＋ex))＝1＋e1－1＝e.故选C.

答案　C

2.若dx＝3＋ln 2(a>1)，则a的值是(　　)

A.2   B.3   C.4   D.6

解析　dx＝(x2＋ln x)＝a2＋ln a－1，

∴a2＋ln a－1＝3＋ln 2，则a＝2.

答案　A

3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为(　　)

A.g   B.g   C.g   D.2g

解析　电视塔高h＝gtdt＝1＝g.

答案　C

4.如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为(　　)

A.|x2－1|dx

B.

C.(x2－1)dx

D.(x2－1)dx＋(1－x2)dx

解析　由曲线y＝|x2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即|x2－1|dx.

答案　A

5.若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)

A.S1<S2<S3   B.S2<S1<S3

C.S2<S3<S1    D.S3<S2<S1

解析　

S2＝dx＝ln 2，S3＝exdx＝e2－e，

∵e2－e＝e(e－1)＞e＞＞ln 2，

∴S2＜S1＜S3.

答案　B

二、填空题

6.已知t>0，若(2x－2)dx＝8，则t＝________.

解析　由(2x－2)dx＝8得，(x2－2x) ＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去).

答案　4

7.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围成的面积为________.

解析　根据f(x)的图象可设f(x)＝a(x＋1)·(x－1)(a<0).

因为f(x)的图象过(0，1)点，

所以－a＝1，即a＝－1.

所以f(x)＝－(x＋1)(x－1)＝1－x2.

所以S＝(1－x2)dx＝2(1－x2)dx

＝2＝2＝.

答案　

8.(2017·济南模拟)设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.

解析　封闭图形如图所示，则dx＝＝a－0＝a2，解得a＝.

答案　

三、解答题

9.计算下列定积分：

(1)dx；

(2)dx；

(3) sindx；

(4)(x2tan x＋x3＋1)dx；

(5)|x2－2x|dx.

解　(1)原式＝＝－＝－ln 2；

(2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x＝0，x＝2，y＝，以及x轴围成的图象的面积，即圆(x－1)2＋y2＝1的面积的一半，∴＝；

(3)原式＝ (sin x＋cos x)dx＝(－cos x＋sin x) ＝－(－cos 0＋sin 0)＝2；

(4)原式＝(x2tan x＋x3)dx＋1dx＝0＋x＝2；

(5)∵|x2－2x|＝

∴|x2－2x|dx＝(x2－2x)dx＋(－x2＋2x)dx＝＋＝8.

10.求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积.

解　作出曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x的图象，所求面积为图中阴影部分的面积.

解方程组得交点(1，1)，

解方程组得交点(3，9)，

因此，所求图形的面积为

S＝(3x－x)dx＋(3x－x2)dx

＝2xdx＋(3x－x2)dx＝x2

＝1＋－＝.

11.若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝(　　)

A.－1    B.－

C.    D.1

解析　由题意知f(x)＝x2＋2f(x)dx，

设m＝f(x)dx，∴f(x)＝x2＋2m，

f(x)dx＝(x2＋2m)dx＝

＝＋2m＝m，∴m＝－.

答案　B

12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)

A.1＋25ln 5    B.8＋25ln

C.4＋25ln 5    D.4＋50ln 2

解析　令v(t)＝0，得t＝4或t＝－(舍去)，

∴汽车行驶距离s＝dt

＝

＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m).

答案　C

13.(2017·郑州调研)(＋ex－1)dx＝________.

解析　(＋ex－1)dx＝dx＋(ex－1)dx.

因为dx表示单位圆的上半部分的面积，

则dx＝，又(ex－1)dx＝(ex－x)|

＝(e1－1)－(e－1＋1)＝e－－2，

所以(＋ex－1)dx＝＋e－－2.

答案　＋e－－2

14.在区间[0，1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值.

解　S1面积等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－x2dx＝t3.

S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t2，1－t的面积，即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.

所以阴影部分的面积S(t)＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1).

令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0，得t＝0或t＝.

t＝0时，S(t)＝；t＝时，S(t)＝；t＝1时，S(t)＝.

所以当t＝时，S(t)最小，且最小值为.