初中数学苏科版七年级下册第11章 一元一次不等式11.4 解一元一次不等式习题

11.4  解一元一次不等式（1）

一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）

1．若是关于的方程的解，则关于的不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

将x=4代入方程，求出b=-4k＞0，求出k＜0，把b=-4k代入不等式，再求出不等式的解集即可．

【详解】

解：∵x=4是关于x的方程kx+b=0（k≠0，b＞0）的解，

∴4k+b=0，

即b=-4k＞0，

∴k＜0，

∵k（x-3）+2b＞0，

∴kx-3k-8k＞0，

∴kx＞11k，

∴x＜11，

故选：B．

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式和一元一次方程的解，能求出b=-4k和k＜0是解此题的关键．

2．如果一元一次不等式（m+2）x＞m+2的解集为x＜1，则m必须满足的条件是（　　）

A．m＜﹣2 B．m≤﹣2 C．m＞﹣2 D．m≥﹣2

【答案】A

【分析】

根据解集中不等号的方向发生了改变，得出m+2＜0，求出即可．

【详解】

解：∵不等式（m+2）x＞m+2的解集是x＜1，

∴m+2＜0，

∴m＜﹣2，

故选：A．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式，解题关键是明确不等式性质，列出不等式求解．

3．若关于x的方程2(x+k)=x+6的解是非负数，则k的取值范围是（　　）

A．k≤3 B．k＞3 C．k≥3 D．k＜3

【答案】A

【分析】

先求出方程的解，根据题意得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．

【详解】

解：2(x+k)=x+6，

x=6-2k，

∵关于x的方程2(x+k)=x+6的解是非负数，

∴6-2k≥0，

解得：k≤3，

故选：A．

【点睛】

本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，解此题的关键是能根据题意得出关于k的不等式，难度适中．

4．春节期间某商场为促销，将定价为50元/件的商品如下销售：一次性购买不超过5件按照原价销售；一次性购买超过5件则按原价的八折出售．旗旗现在有290元，则最多可购买这种商品（    ）件．

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】B

【分析】

设旗旗可以购买x件商品，根据该商场的促销策略结合总价不超过290元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论．

【详解】

解：设旗旗可以购买x件商品，

∵290＞250，

∴旗旗购买的商品超过5件，

依题意，得：

50×0.8x≤290，

解得：x≤7．

又∵x为整数，

∴x的最大值为7.

故选：B．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式的布列与求解，准确将生活问题转化数学不等式模型求解是解题的关键．

5．若关于x的不等式mx﹣m﹣n＞0的解集是x＜，则关于x的不等式3（m+n）＞m（x+1）的解集是（　　）

A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜﹣ D．x＞﹣

【答案】D

【分析】

先求出关于x的不等式mx﹣m﹣n＞0的解集，得出，再把所求不等式变形后代入求解即可．

【详解】

解：mx﹣m﹣n＞0，

mx＞m+n，

∵于x的不等式mx﹣m﹣n＞0的解集是x＜，

∴m＜0且，

∴3（m+n）＞m（x+1）

，

即，

解得x＞﹣．

故选：D．

【点睛】

此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

6．若实数是不等式的一个解，则可取的最小整数为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

将代入不等式得到关于a的不等式，求解即可.

【详解】

根据题意，是不等式的一个解，

∴将代入不等式，得：，

解得：，

则可取的最小整数为，

故选：D.

【点睛】

此题考查不等式的解的定义，解一元一次不等式，正确理解不等式的解的定义将x=3代入得到关于a的不等式是解题的关键.

二、填空题

7．已知关于的方程组的解满足不等式，求实数的取值范围__________．

【答案】a＜1．

【分析】

先解方程组，用含a的代数式表示x、y，再根据x＋y＜3，解不等式即可．

【详解】

解：

①＋②得，3x＝6a＋3，

解得：x＝2a＋1，

将x＝2a＋1代入①得，y＝2a−2，

∵x＋y＜3，

∴2a＋1＋2a−2＜3，即4a＜4，

a＜1．

故答案是：a＜1．

【点睛】

本题是一元一次不等式和二元一次方程组的综合题，用含a的代数式表示x、y是解题的关键．

8．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是________．

【答案】x＜2

【分析】

根据不等式的性质3，可得a、b的关系，再根据不等式的性质，可得答案．

【详解】

解：由关于x的不等式ax＋b＞0的解集为，得a＜0，，

∴a＝−2b＜0，即：b＞0，

解得：x＜＝＝2．

故答案为：x＜2．

【点睛】

本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出a＝−2b＜0，是解题关键．

9．我们知道，适合二元一次方程组的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，类似的，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解，对于二元一次不等式x＋2y≤6，它的正整数解有________个．

【答案】6

【分析】

根据定义，变形求不等式的整数解即可．

【详解】

∵x+2y≤6，∴2y≤6-x，当x=1时，2y≤5，∴y≤，∵y是正整数，∴y=1或y=2，

∴二元一次不等式x＋2y≤6的正整数解有， ；

当x=2时，2y≤4，∴y≤2，∵y是正整数，∴y=1或y=2，

∴二元一次不等式x＋2y≤6的正整数解有， ；

当x=3时，2y≤3，∴y≤，∵y是正整数，∴y=1，

∴二元一次不等式x＋2y≤6的正整数解有；

当x=4时，2y≤2，∴y≤1，∵y是正整数，∴y=1，

∴二元一次不等式x＋2y≤6的正整数解有；

一共有6组，

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了二元一次不等式的整数解，分类求解是解题的关键．

10．已知不等式6x+1＞5x﹣2的最小整数解是方程2x﹣kx＝4﹣2k的解，则k＝_____．

【答案】2

【分析】

首先解出一元一次不等式的解集，再确定出x的值，再把x的值代入方程即可得到关于k的方程，再解方程即可算出k的值．

【详解】

解：6x+1＞5x﹣2，

解得：x＞﹣3，

∵x是不等式5x﹣2＜6x+1的最小整数解，

∴x＝﹣2，

把x＝﹣2代入方程2x﹣kx＝4﹣2k中得：2×（﹣2）﹣（﹣2）×k＝4﹣2k，

解得：k＝2，

故答案为：2．

【点睛】

此题主要考查了一元一次不等式的解集，整数解，以及方程的解，关键是正确确定出x的值．

三、解答题

11．已知，且，．

（1）求b的取值范围

（2）设，求m的最大值．

【答案】（1）；（2）2

【分析】

（1）根据得到，再结合，可得b的取值范围；

（2）将化为，根据b的取值结合不等式的性质可得m的取值范围，从而得到最大值．

【详解】

解：（1）∵，

∴，

∵，

∴，

解得：，

又∵，

∴；

（2），

∵，

∴，

∴，

∴m的最大值为2．

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式，等式的性质和不等式的性质，解题的关键是理解题意，进行必要的等量代换．

12．定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“湘一数”．将一个“湘一数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）．例如：a＝23，对调个位数字与十位数字得到新两位数32，新两位数与原两位数的和为23＋32＝55，和与11的商为55÷11＝5，所以 f（23）＝5．

根据以上定义，回答下列问题：

（1）填空：

①下列两位数：50，42，33中，“湘一数”为　   　；

②计算：f（45）＝　   　．

（2）如果一个“湘一数”b的十位数字是k，个位数字是2（k＋1），且f（b）＝11，请求出“湘一数”b．

（3）如果一个“湘一数”c，满足c﹣5f（c）＞30，求满足条件的c的值．

【答案】（1）①42；②9；（2）38；（3）71，81，82，91，92，93

【分析】

（1）①由“湘一数”的定义可得；②根据定义计算可得；

（2）由f（10m＋n）＝m＋n，可求得k的值，即可求b；

（3）设c的十位上的数字是x，个位上的数字是y，根据c﹣5f（c）＞30可列出不等式，即可写出满足条件的c的值．

【详解】

解：（1）①由“湘一数”的定义可得，“湘一数”为42．

②f（45）＝（45＋54）÷11＝9．

故答案为：①42；②9．

（2）设任意一个“湘一数”的十位上的数字是m，个位上的数字是n，

则f（10m＋n）＝（10m＋n＋10n＋m）÷11＝m＋n．

又∵一个“湘一数”b的十位数字是k，个位数字是2（k＋1），且f（b）＝11，

∴k＋2（k＋1）＝11，解得k＝3．

∴b＝10k＋2（k＋1）＝12k＋2＝12×3＋2＝38．

（3）设c的十位上的数字是x，个位上的数字是y，

∵c﹣5f（c）＞30，

∴10x＋y﹣5（x＋y）＞30，

∴5x＞30＋4y，

∵y≥1，

∴5x＞34，即x＞6.8，

∵x为整数，

∴x可取7，8，9，

当x＝7时，y＝1，c＝71；

当x＝8时，y＝1或2，c＝81或82；

当x＝9时，y＝1或2或3，c＝91或92或93；

综上，满足条件的c的值为：71，81，82，91，92，93．

【点睛】

本题考查了因式分解的应用，解一元一次不等式；理解“湘一数”的定义，并按照定义分析是解题关键．

13．已知满足不等式5﹣3x≤1的最小正整数解是关于x的方程（a+9）x＝4（x+1）的解，求代数式2a+1的值．

【答案】－5

【分析】

先解不等式，求出x的取值范围，求出x的最小正整数代入方程中求出a的值，把a代入代数式求解．

【详解】

解：∵不等式5﹣3x≤1，

∴x≥，

∴x的最小正整数是2，

又∵x的最小正整数是关于x的方程（a+9）x＝4（x+1）的解，

∴（a+9）×2＝4×（2+1），

即a＝﹣3，

代数式2a+1

＝﹣6+1

＝﹣5．

【点睛】

本题考查了不等式的特解问题，一元一次方程的解法，代数式的值计算，确定不等式的特解，解一元一次方程是解题的关键．

14．已知a，b是某一等腰三角形的底边长与腰长，且．

（1）求a的取值范围；

（2）设，求c的取值范围

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）根据可得，再根据三角形三边关系得2b＞a，即可求出a的取值范围；

（2）用含a的代数式表示c，再根据a的取值范围和不等式的性质即可求得c的取值范围．

【详解】

解：（1）∵，

∴，

∵a，b是某一等腰三角形的底边长与腰长，

∴b+b=2b＞a＞0

∴＞0，

解得：；

（2）∵，，

∴=

∵，

∴，

即．

【点睛】

本题考查等式的性质、不等式的性质、解一元一次不等式、三角形的三边关系，掌握不等式的性质，以及三角形的三边关系是解答的关键．