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高中数学高考42第七章 不等式、推理与证明 7 6 直接证明与间接证明课件PPT
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这是一份高中数学高考42第七章 不等式、推理与证明 7 6 直接证明与间接证明课件PPT，共58页。PPT课件主要包含了内容索引，课时作业，基础知识自主学习，题型分类深度剖析，题型一综合法的应用，题型二分析法的应用，题型三反证法的应用等内容，欢迎下载使用。
NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
ZHISHISHULI
(1)综合法①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论).③思维过程：由因导果.
(2)分析法①定义：一般地，从 出发，逐步寻求使它成立的 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.(其中Q表示要证明的结论).③思维过程：执果索因.
反证法：一般地，假设原命题 (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设错误，从而证明___________的证明方法.
1.直接证明中的综合法是演绎推理吗？
提示 是.用综合法证明时常省略大前提.
2.综合法与分析法的推理过程有何区别？
提示 综合法是执因索果，分析法是执果索因，推理方式是互逆的.
3.反证法是“要证原命题成立，只需证其逆否命题成立”的推理方法吗？
提示 不是.反证法是命题中“p与綈p”关系的应用.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( )(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a
A.1 B.2 C.4 D.6
4.若a，b，c为实数，且aab>b2
解析 a2－ab＝a(a－b)，∵a0，∴a2>ab. ①又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2， ②由①②得a2>ab>b2.
解析 方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A.
5.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
6.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为____________.
解析 由题意得2B＝A＋C，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，
∴△ABC为等边三角形.
例1 已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：
证明 ∵a>0，∴3a＋1>1，
(1)从已知出发，逐步推理直到得出所证结论的方法为综合法；(2)计算题的计算过程也是根据已知的式子进行逐步推导的过程，也是使用的综合法.
跟踪训练1 设Tn是数列{an}的前n项之积，并满足：Tn＝1－an.
又∵T1＝1－a1＝a1，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
例2 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accs 60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立.于是原等式成立.
(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法.
所以要证的不等式成立.
由基本不等式及ab＝1，
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立.
证明 假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0
(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；
解 设等差数列{an}的公差为d.
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N*，
所以p＝r，与p≠r矛盾，所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.
1.在△ABC中，sin Asin C0，即cs(A＋C)>0，所以A＋C是锐角，
A.x2>1 B.x2>4C.x2>0 D.x2>1
因为x>0，所以x2>0成立，故原不等式成立.
3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值A.恒为负值 B.恒等于零C.恒为正值 D.无法确定正负
解析 由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)
A.至少有一个不大于2 B.都小于2C.至少有一个不小于2 D.都大于2
∴a，b，c都小于2错误.∴a，b，c三个数至少有一个不小于2.
5.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是A.②③ B.①②③ C.③ D.③④⑤
但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，下面用反证法证明：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.
6.用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设______________.
解析 “x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”.
a≥0，b≥0且a≠b
则cn随n的增大而减小，∴cn＋1
即其最小值为9，所以m≤9，即m的最大值等于9.
10.在不等边三角形ABC中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足_________.
得b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.
证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
由于a，b，c是不全相等的正数，∴上述三个不等式中等号不能同时成立，
12.若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a
解得b＝1或b＝3.因为b>1，所以b＝3.
解得a＝b，这与已知矛盾.故不存在.
A.A≤B≤C B.A≤C≤BC.B≤C≤A D.C≤B≤A
14.(2019·商丘模拟)若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围是____________.
解析 方法一 (补集法)若二次函数f(x)≤0在区间[－1,1]内恒成立，
方法二 (直接法)依题意有f(－1)>0或f(1)>0，
即2p2－p－1<0或2p2＋3p－9<0，
则f′(x)＝－2cs x＋2xsin x＋(2－x2)cs x－2xsin x
16.对于给定的正整数k，若数列{an}满足an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”.(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；
证明 因为{an}是等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，从而，当n≥4时，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1,2,3，所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，因此等差数列{an}是“P(3)数列”.
(2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列.
证明 数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，当n≥3时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an， ①当n≥4时，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an. ②由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)， ③an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an). ④将③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4，所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′.在①中，取n＝4，则a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝a3－d′，在①中，取n＝3，则a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，所以a1＝a3－2d′，所以数列{an}是等差数列.
NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
ZHISHISHULI
(1)综合法①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论).③思维过程：由因导果.
(2)分析法①定义：一般地，从 出发，逐步寻求使它成立的 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.(其中Q表示要证明的结论).③思维过程：执果索因.
反证法：一般地，假设原命题 (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设错误，从而证明___________的证明方法.
1.直接证明中的综合法是演绎推理吗？
提示 是.用综合法证明时常省略大前提.
2.综合法与分析法的推理过程有何区别？
提示 综合法是执因索果，分析法是执果索因，推理方式是互逆的.
3.反证法是“要证原命题成立，只需证其逆否命题成立”的推理方法吗？
提示 不是.反证法是命题中“p与綈p”关系的应用.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( )(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a
A.1 B.2 C.4 D.6
4.若a，b，c为实数，且a
解析 a2－ab＝a(a－b)，∵a
解析 方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A.
5.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
6.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为____________.
解析 由题意得2B＝A＋C，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，
∴△ABC为等边三角形.
例1 已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：
证明 ∵a>0，∴3a＋1>1，
(1)从已知出发，逐步推理直到得出所证结论的方法为综合法；(2)计算题的计算过程也是根据已知的式子进行逐步推导的过程，也是使用的综合法.
跟踪训练1 设Tn是数列{an}的前n项之积，并满足：Tn＝1－an.
又∵T1＝1－a1＝a1，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
例2 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accs 60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立.于是原等式成立.
(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法.
所以要证的不等式成立.
由基本不等式及ab＝1，
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立.
证明 假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0
(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；
解 设等差数列{an}的公差为d.
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N*，
所以p＝r，与p≠r矛盾，所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.
1.在△ABC中，sin Asin C
A.x2>1 B.x2>4C.x2>0 D.x2>1
因为x>0，所以x2>0成立，故原不等式成立.
3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值A.恒为负值 B.恒等于零C.恒为正值 D.无法确定正负
解析 由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)
A.至少有一个不大于2 B.都小于2C.至少有一个不小于2 D.都大于2
∴a，b，c都小于2错误.∴a，b，c三个数至少有一个不小于2.
5.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是A.②③ B.①②③ C.③ D.③④⑤
但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，下面用反证法证明：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.
6.用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设______________.
解析 “x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”.
a≥0，b≥0且a≠b
则cn随n的增大而减小，∴cn＋1
即其最小值为9，所以m≤9，即m的最大值等于9.
10.在不等边三角形ABC中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足_________.
得b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.
证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
由于a，b，c是不全相等的正数，∴上述三个不等式中等号不能同时成立，
12.若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a
解得b＝1或b＝3.因为b>1，所以b＝3.
解得a＝b，这与已知矛盾.故不存在.
A.A≤B≤C B.A≤C≤BC.B≤C≤A D.C≤B≤A
14.(2019·商丘模拟)若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围是____________.
解析 方法一 (补集法)若二次函数f(x)≤0在区间[－1,1]内恒成立，
方法二 (直接法)依题意有f(－1)>0或f(1)>0，
即2p2－p－1<0或2p2＋3p－9<0，
则f′(x)＝－2cs x＋2xsin x＋(2－x2)cs x－2xsin x
16.对于给定的正整数k，若数列{an}满足an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”.(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；
证明 因为{an}是等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，从而，当n≥4时，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1,2,3，所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，因此等差数列{an}是“P(3)数列”.
(2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列.
证明 数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，当n≥3时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an， ①当n≥4时，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an. ②由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)， ③an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an). ④将③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4，所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′.在①中，取n＝4，则a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝a3－d′，在①中，取n＝3，则a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，所以a1＝a3－2d′，所以数列{an}是等差数列.
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