高中数学高考42第七章 不等式、推理与证明 7 6 直接证明与间接证明

§7.6　直接证明与间接证明

1．直接证明

2.间接证明

(1)反证法的定义：

一般地，由证明p⇒q转向证明

t与     矛盾，或与        矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．

(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤：

①分清命题的      和      ；

②做出             的假定；

③由    出发，应用正确的推理方法，推出    的结果；

④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．

概念方法微思考

1．直接证明中的综合法是演绎推理吗？

2．综合法与分析法的推理过程有何区别？

3．反证法是“要证原命题成立，只需证其逆否命题成立”的推理方法吗？

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　 　)

(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　 　)

(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．(　 　)

(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(　 　)

(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(　 　)

(6)证明不等式＋<＋最合适的方法是分析法．(　 　)

题组二　教材改编

2．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)

A．P>Q   B．P＝Q

C．P<Q   D．由a的取值确定

3．设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，则＋等于(　　)

A．1  B．2  C．4  D．6

题组三　易错自纠

4．若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是(　　)

A．ac2<bc2   B．a2>ab>b2

C.<   D.>

5．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是(　　)

A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根

B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根

C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根

D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根

6．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为________．

题型一　综合法的应用

例1 已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：

(1)＋＋≤；

(2)＋＋≥.

跟踪训练1 设Tn是数列{an}的前n项之积，并满足：Tn＝1－an.

(1)证明：数列是等差数列；

(2)令bn＝，证明：{bn}的前n项和Sn<.

题型二　分析法的应用

例2  已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.

求证：＋＝.

跟踪训练2 已知a>0，证明：－≥a＋－2.

题型三　反证法的应用

例3 设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：

(1)a＋b≥2；

(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．

跟踪训练3 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.

(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；

(2)设bn＝(n∈N＋)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

1．在△ABC中，sin Asin C<cos Acos C，则△ABC一定是(　　)

A．锐角三角形   B．直角三角形

C．钝角三角形   D．不确定

2．分析法又称执果索因法，已知x>0，用分析法证明<1＋时，索的因是(　　)

A．x2>1   B．x2>4

C．x2>0   D．x2>1

3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)

A．恒为负值   B．恒等于零

C．恒为正值   D．无法确定正负

4．(2018·阜新调研)设x，y，z为正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)

A．至少有一个不大于2   B．都小于2

C．至少有一个不小于2   D．都大于2

5．设a，b是两个实数，给出下列条件：

①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.

其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是(　　)

A．②③  B．①②③  C．③  D．③④⑤

6．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设________．

7．如果a＋b>a＋b成立，则a，b应满足的条件是__________________________．

8．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N＋，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为____________．

9．(2018·包头质检)已知a>0，b>0，如果不等式＋≥恒成立，则m的最大值为________．

10．在不等边三角形ABC中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足________．

11．若a，b，c是不全相等的正数，求证：

lg＋lg＋lg>lg a＋lg b＋lg c.

12．若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a<b)，则称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数．

(1)设g(x)＝x2－x＋是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值；

(2)是否存在常数a，b(a>－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

13．已知函数f(x)＝x，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为(　　)

A．A≤B≤C   B．A≤C≤B

C．B≤C≤A   D．C≤B≤A

14．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围是____________．

15．已知关于x的不等式mcos x≥2－x2在上恒成立，则实数m的取值范围为(　　)

A．[3，＋∞)   B．(3，＋∞)

C．[2，＋∞)   D．(2，＋∞)

16．对于给定的正整数k，若数列{an}满足an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”．

(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；

(2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列．